서초고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025 서울 서초구)
서울 서초구 서초고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 한 문장으로 요약하면 중상 이상이 16문항인 시험입니다. 하 4문항, 중 2문항을 빼면 나머지는 전부 중상 또는 상이고, 상 난이도만 5문항입니다. 서술형 4문항 중 3문항이 상입니다.
핵심 요약
- 22문항 — 정답 기록 기준 1~18번 선택형, 19~22번 서술형 4문항
- 난이도: 하 4 / 중 2 / 중상 11 / 상 5
- 배치 단원: 06 도함수의 활용 (3) 6 / 08 정적분 5 / 05 도함수의 활용 (2) 4 / 09 정적분의 활용 4 / 07 부정적분 2 / 04 도함수의 활용 (1) 1
- 반복 유형: 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(6·14번), 절댓값이 들어간 함수(14·15·17·18·20번)
- 고비 구간: 8번부터 22번까지 15문항 연속 중상 이상
서초고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
서초고등학교는 서울 서초구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 22문항입니다. 정답 기록을 보면 1~18번은 ①~⑤ 선택형, 19~22번은 서술형입니다.
배치 단원은 도함수 쪽(04·05·06 단원)이 11문항, 적분 쪽(07·08·09 단원)이 11문항으로 정확히 반반입니다. 단원별로는 06 도함수의 활용 (3)이 6문항으로 가장 많습니다. 범위의 앞쪽 끝은 도함수의 활용 (2)로 잡혀 있지만, 21번 서술형 1문항은 04 도함수의 활용 (1)의 평균값 정리입니다.
난이도 배치가 아주 앞쪽에 몰려 있습니다. 하 4문항(1·2·4·5번)과 중 2문항(3·7번)이 모두 7번 안쪽에 있고, 6번이 첫 중상입니다. 8번부터 마지막 22번까지는 중상과 상만 이어집니다. 앞 7문항을 빠르게 끝내야 뒤에 시간을 쓸 수 있는 구조입니다.
2025학년 난이도 분포 — 하·중은 1~7번에만
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 4 | 18% | 1·2·4·5 |
| 중 | 2 | 9% | 3·7 |
| 중상 | 11 | 50% | 6·8·9·10·11·12·13·15·16·19·21 |
| 상 | 5 | 23% | 14·17·18·20·22 |
상 5문항 중 선택형은 14·17·18번, 서술형은 20·22번입니다. 선택형 뒷부분 14~18번 다섯 문항 중 세 문항이 상이라, 객관식 후반부에서 이미 시간이 많이 듭니다. 서술형은 19·21번이 중상, 20·22번이 상입니다.
출제 단원 — 도함수의 활용 (3) 6문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 | 난이도 구성 |
|---|---|---|---|
| 06 도함수의 활용 (3) | 6 | 5·6·9·11·14·19 | 하 1 / 중상 4 / 상 1 |
| 08 정적분 | 5 | 4·13·15·16·20 | 하 1 / 중상 3 / 상 1 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 4 | 1·3·7·18 | 하 1 / 중 2 / 상 1 |
| 09 정적분의 활용 | 4 | 8·10·12·22 | 중상 3 / 상 1 |
| 07 부정적분 | 2 | 2·17 | 하 1 / 상 1 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 1 | 21 | 중상 1 |
한 단원도 쉬운 단원이 없습니다. 다섯 단원(04 제외)에 상 문항이 하나씩 고르게 들어가 있습니다. 특히 07 부정적분은 2문항뿐인데 그중 하나(17번)가 상이고, 05 도함수의 활용 (2)도 1·3·7번은 하·중이지만 18번은 상입니다.
09 정적분의 활용 4문항은 하·중이 하나도 없습니다. 넓이 문항이 모두 중상 이상이라는 뜻입니다.
시그니처 유형 — 절댓값과 근의 구조
이 시험의 상·중상 문항에는 절댓값이 들어간 함수가 반복해서 나옵니다.
- 14번 상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 기함수인 삼차식의 구조를 정하고, 절댓값 그래프와 수평선의 교점 수가 바뀌는 높이로 계수를 결정
- 15번 중상 절댓값 기호를 포함한 함수의 정적분 — 도함수의 중복도를 판정하고 절댓값 적분을 부호별로 나누어 계산
- 17번 상 부정적분과 극대·극소 — 도함수를 적분해 사차식의 극값과 절댓값 함수의 단순근 개수를 연결
- 18번 상 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 — 절댓값 함수의 유일한 미분 불가능한 점으로 단순근과 삼중근을 구별
- 20번(서술) 상 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소 — 매개변수 위치에 따라 절댓값 적분을 세 범위로 나눔
다섯 문항의 공통 재료는 "근의 중복도와 그래프 모양의 관계" 그리고 "절댓값을 씌우면 그래프가 어디서 꺾이는가" 입니다. 17·18번 모두 분석표에 사차식의 근(단순근·삼중근)과 절댓값 함수가 함께 기록돼 있습니다.
방정식 f(x)=k의 실근의 개수는 6번(중상)과 14번(상) 두 번 나왔습니다. 6번은 네 단조구간과 세 극점에서 수평선과의 교점 수를 경우별로 세는 문항입니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 도함수의 활용 (2) (1·3·7·18번) — 4문항
1번 하 함수의 극대·극소(삼차함수 그림의 극점 좌표 읽기), 3번 중 함수의 증가와 감소(도함수의 양·음 구간으로 증가구간과 극점 종류 구분), 7번 중 실수 전체에서 삼차함수가 감소하기 위한 조건(정수 매개변수 개수), 18번 상 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정.
7번은 감소 조건을 도함수의 부호로 바꾸고, 이차식이 항상 0 이하일 조건으로 정수 매개변수의 범위를 셉니다. 등호 포함 여부가 개수를 바꾸니 끝까지 확인하세요.
2. 도함수의 활용 (3) (5·6·9·11·14·19번) — 6문항
5번 하 속도(위치함수를 미분해 지정 시각의 속도), 6번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 9번 중상 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건, 11번 중상 속도·가속도와 운동 방향, 14번 상 실근의 개수, 19번(서술) 중상 접선의 개수.
9번은 두 함수의 차로 사차식을 만들고 모든 극점을 비교해 부등식이 항상 성립하는 경계값을 정합니다. 11번은 원점으로 돌아오는 시각과 속도의 부호가 바뀌는 시각을 구한 뒤, 끝점과 극점의 위치를 비교해 세 진술을 판단합니다.
19번 서술형은 접점을 매개변수로 두고 접선이 점을 지나는 조건을 삼차식으로 바꾸는 문항입니다. 서로 다른 접선이 두 개가 되는 임계 높이를 구해야 합니다.
3. 부정적분 (2·17번) — 2문항
2번 하 부정적분의 계산(다항식의 각 항을 부정적분해 선택지 대조), 17번 상 부정적분과 극대·극소.
2번은 반드시 확보해야 하는 문항이고, 17번은 선택형 상 세 문항 중 하나입니다. 같은 단원 안에서 난이도 차가 가장 큰 단원입니다.
4. 정적분 (4·13·15·16·20번) — 5문항
4번 하 피적분함수가 같은 정적분(인접 구간을 합쳐 계산), 13번 중상 정적분을 포함한 등식(위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우), 15번 중상 절댓값 기호를 포함한 함수의 정적분, 16번 중상 주기함수의 정적분, 20번(서술) 상 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소.
13번은 적분식을 미분하고, 아래끝에서의 두 경계조건으로 계수를 결정합니다. 16번은 주기 접합조건으로 계수를 줄인 뒤, 여러 주기와 나머지 구간의 적분 조건으로 함숫값을 정합니다.
20번 서술형은 매개변수 위치에 따라 절댓값 적분을 세 범위로 나누고, 내부의 극소와 두 바깥 범위의 하한을 비교합니다. 경우를 나누는 기준을 답안에 분명히 적어야 합니다.
5. 정적분의 활용 (8·10·12·22번) — 4문항, 전부 중상 이상
8번 중상 두 곡선 사이의 넓이(교점을 구하고 위아래 함수를 정해 차를 적분), 10번 중상 곡선과 x축 사이의 넓이(도형의 넓이와 첫째 모멘트를 각각 정적분해 제시된 무게중심 공식에 대입), 12번 중상 두 도형의 넓이가 같을 조건(그래프 아래 넓이와 직사각형 넓이 비교), 22번(서술) 상 움직인 거리.
10번은 문제에 주어진 무게중심 공식을 쓰는 낯선 형태입니다. 공식을 외울 필요는 없지만, 넓이와 또 하나의 적분값을 각각 정확히 계산해야 합니다.
22번 서술형은 초기 높이로 위치함수를 구하고, 두 물체가 만나는 방정식을 검증한 뒤 속도 부호와 누적 이동거리를 구하는 다단계 문항입니다. 위치 변화량과 움직인 거리를 구분하는 것이 핵심입니다.
6. 도함수의 활용 (1) (21번) — 서술형 1문항
21번(서술) 중상 평균값 정리(정의를 이용하는 경우). 보조함수를 구성해 연속성과 미분가능성을 확인하고, 양 끝값이 같다는 점에 롤의 정리를 적용해 결론을 얻는 증명형 서술입니다. 교과서의 평균값 정리 증명 흐름을 그대로 쓸 수 있어야 합니다.
주의 문항 — 상 5문항
14번 상 (절댓값 삼차함수와 실근 개수) — 선택형 후반부 첫 상 문항입니다.
17번 상 (부정적분과 극대·극소) — 사차식의 극값과 단순근 개수를 함께 따집니다.
18번 상 (단순근·삼중근 구별) — 선택형 마지막 문항입니다.
20번 상 (서술, 정적분으로 정의된 함수의 최소) — 세 범위 경우 나누기가 필요합니다.
22번 상 (서술, 움직인 거리) — 위치·속도·이동거리를 모두 다룹니다.
이 밖에 8~13번과 15·16번이 연속 중상입니다. 선택형 중반부터 쉬어 갈 문항이 없습니다.
서초고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서
- 극대·극소 읽기, 부정적분·정적분 기본 계산 — 1·2·4번 대비. 확보 구간.
- 위치함수와 속도 — 5번 대비.
- 도함수 부호와 증가·감소, 삼차함수 감소 조건 — 3·7번 대비.
- 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 6번 대비, 14번의 기초.
- 두 곡선 사이의 넓이 — 8번 대비.
- 부등식이 항상 성립할 조건(사차식) — 9번 대비.
- 넓이 계산과 주어진 공식 적용 — 10·12번 대비.
- 속도·가속도와 운동 방향 — 11번 대비.
- 정적분을 포함한 등식, 주기함수의 정적분 — 13·16번 대비.
- ★ 근의 중복도와 절댓값 그래프 — 14·15·17·18번 대비. 이 시험의 시그니처.
- 접선의 개수 — 19번(서술) 대비.
- 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소 — 20번(서술) 대비.
- 평균값 정리 증명 — 21번(서술) 대비.
- 위치·속도·움직인 거리 — 22번(서술) 대비.
자주 나오는 질문
서초고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 서울 서초구 서초고 기준 22문항입니다. 정답 기록상 1~18번은 선택형, 19~22번은 서술형입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
06 도함수의 활용 (3)이 6문항으로 가장 많고, 08 정적분 5문항, 05 도함수의 활용 (2)와 09 정적분의 활용이 각 4문항, 07 부정적분 2문항, 04 도함수의 활용 (1) 1문항입니다.
시험이 어려운 편인가요?
네. 22문항 중 16문항이 중상 이상이고, 8번부터는 하·중 문항이 없습니다.
서술형은 어떻게 나오나요?
4문항입니다. 19번 접선의 개수(중상), 20번 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소(상), 21번 평균값 정리 증명(중상), 22번 움직인 거리(상)입니다.
과년도 서초고 기출도 볼 수 있나요?
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