용산고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025 서울 용산구)
서울 용산구 용산고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 23문항입니다. 이 시험의 무게중심은 분명히 적분입니다. 08 정적분 9문항, 09 정적분의 활용 8문항으로 두 단원이 23문항 중 17문항을 차지합니다. 서술형은 5문항이고, 그중 22·23번이 상입니다.
핵심 요약
- 23문항 — 정답 기록 기준 1~18번 선택형, 19~23번 서술형 5문항
- 난이도: 하 2 / 중 8 / 중상 9 / 상 4
- 배치 단원: 08 정적분 9 / 09 정적분의 활용 8 / 06 도함수의 활용 (3) 5 / 07 부정적분 1
- 반복 유형: 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(11·14·20번), 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소(16·23번)
- 고비 구간: 13~18번 여섯 문항 연속 중상 이상, 서술형 22·23번 상
용산고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
용산고등학교는 서울 용산구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 23문항입니다. 정답 기록을 보면 1~18번은 ①~⑤ 선택형, 19~23번은 서술형입니다.
배치 단원은 06 도함수의 활용 (3)부터 09 정적분의 활용까지 네 단원입니다. 적분 쪽(07·08·09 단원)이 18문항, 도함수 쪽은 06 도함수의 활용 (3) 5문항뿐입니다. 범위 라벨에는 접선의 방정식이 들어 있지만, 04 도함수의 활용 (1)에 배치된 문항은 0개입니다. 접선은 15번 넓이 문항 안에서만 등장합니다. 05 도함수의 활용 (2) 단원 문항도 없습니다.
07 부정적분은 서술형 21번 한 문항(하) 뿐입니다. 부정적분을 따로 공부하기보다 정적분 계산 안에서 함께 익혀 두는 편이 이 시험에 맞습니다.
2025학년 난이도 분포 — 중과 중상이 17문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 2 | 9% | 1·21 |
| 중 | 8 | 35% | 2·3·4·6·9·10·12·19 |
| 중상 | 9 | 39% | 5·7·8·11·13·14·15·17·20 |
| 상 | 4 | 17% | 16·18·22·23 |
중과 중상이 23문항 중 17문항입니다. 1~12번 구간은 중과 중상이 섞여 나오고(5·7·8·11번이 중상), 13번부터 18번까지는 중상과 상만 이어집니다. 선택형 상은 16·18번입니다.
서술형 5문항의 난이도는 고르지 않습니다. 19번 중, 20번 중상, 21번 하, 22·23번 상입니다. 21번처럼 바로 쓸 수 있는 문항과 22·23번처럼 경우를 따지는 문항이 섞여 있으니, 서술형도 쉬운 것부터 확보하는 순서가 필요합니다.
출제 단원 — 정적분 9문항, 정적분의 활용 8문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 | 난이도 구성 |
|---|---|---|---|
| 08 정적분 | 9 | 1·8·9·12·14·16·18·19·23 | 하 1 / 중 3 / 중상 2 / 상 3 |
| 09 정적분의 활용 | 8 | 3·4·5·7·13·15·17·22 | 중 2 / 중상 5 / 상 1 |
| 06 도함수의 활용 (3) | 5 | 2·6·10·11·20 | 중 3 / 중상 2 |
| 07 부정적분 | 1 | 21 | 하 1 |
상 4문항 중 3문항(16·18·23번)이 08 정적분입니다. 정적분 단원은 하부터 상까지 폭이 넓어서, 1번 같은 기본 계산과 16·23번 같은 정적분으로 정의된 함수의 극값 문항이 함께 나옵니다.
09 정적분의 활용 8문항 중 6문항이 중상 이상입니다. 넓이 문항이 많고, 위치의 변화량(13번)과 역함수의 정적분(17번)도 들어 있습니다.
06 도함수의 활용 (3) 5문항에는 상이 없습니다. 운동(6·10번), 부등식(2번), 실근의 개수(11·20번)로 구성됩니다.
시그니처 유형 — 실근의 개수와 정적분으로 정의된 함수
방정식 f(x)=k의 실근의 개수가 세 문항에서 쓰였습니다.
- 11번 중상 삼차함수의 극값과 실근 개수
- 14번 중상 삼차함수의 교점·최대최소와 적분함수의 최소(정적분으로 정의된 함수의 최대·최소와 결합)
- 20번(서술) 중상 삼차방정식이 두 실근을 가질 조건과 극값
세 문항 모두 삼차함수의 극값을 구해 수평선과 비교하는 기본 틀을 공유합니다. 14번은 여기에 정적분으로 정의된 함수의 최솟값이 얹혀 08 정적분 단원으로 배치됐습니다.
정적분으로 정의된 함수의 극대·극소는 16번(상)과 23번(서술, 상) 두 번 나왔습니다. 16번은 적분함수의 도함수와 극값, 절댓값 함수의 미분가능성을 함께 다루고, 23번은 구간별 도함수의 부호와 서로 다른 극값 조건을 따집니다. 적분으로 정의된 함수는 미분하면 피적분함수가 된다는 출발점을 확실히 해 두어야 두 상 문항에 접근할 수 있습니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 도함수의 활용 (3) (2·6·10·11·20번) — 5문항
2번 중 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건(차함수의 최솟값), 6번 중 속도·가속도와 운동 방향(위치 미분, 방향 전환, 가속도), 10번 중 위로 던진 물체의 위치와 속도(최고 높이와 착지 속도), 11번 중상 실근의 개수, 20번(서술) 중상 실근의 개수.
2번은 두 함수의 차를 하나의 함수로 놓고 최솟값이 0 이상이 되게 하는 기본형입니다. 10번은 최고 높이에서 속도가 0이라는 점과 착지 시각을 구하는 흐름입니다.
2. 부정적분 (21번) — 서술형 1문항
21번(서술) 하 부정적분의 계산. 소문항별로 다항함수의 부정적분을 구합니다. 서술형 중 유일한 하 문항이니 적분상수까지 빠짐없이 적어 확실히 점수를 챙기세요.
3. 정적분 (1·8·9·12·14·16·18·19·23번) — 9문항
1번 하 적분 구간이 같은 정적분의 계산(다항함수 정적분), 8번 중상 함수의 증가와 감소와 결합된 정적분(중근 구조와 도함수 부호), 9번 중 피적분함수가 같은 정적분(이동 구간 정적분의 가법성), 12번 중 적분 구간이 같은 정적분(평행이동한 정적분과 피적분함수 선형결합), 14번 중상 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소, 16번 상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소, 18번 상 절댓값 기호를 포함한 함수의 정적분, 19번(서술) 중 정적분으로 정의된 함수의 극한, 23번(서술) 상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소.
18번은 매개변수와 적분 구간에 따라 절댓값을 나누는 문항입니다.
19번 서술형은 적분함수의 극한과 곱 구조의 미분을 다룹니다. 소문항 두 개로 나뉘어 있습니다.
4. 정적분의 활용 (3·4·5·7·13·15·17·22번) — 8문항
3번 중 곡선과 x축 사이의 넓이(그래프의 부호에 따른 넓이), 4번 중 두 곡선 사이의 넓이(로렌츠 곡선과 균등직선 사이의 넓이), 5번 중상 포물선과 직선 사이의 넓이(포물선 평행이동과 넓이 공식), 7번 중상 곡선과 직선 사이의 넓이(절댓값 그래프와 수평선 사이), 13번 중상 위치와 위치의 변화량(상대속도 적분과 두 점 사이 최대 거리), 15번 중상 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이, 17번 중상 함수와 그 역함수의 정적분, 22번(서술) 상 두 곡선 사이의 넓이(연속성과 최대점으로 함수 결정).
4번 로렌츠 곡선은 교과서 밖 소재처럼 보이지만, 문항 구조는 두 곡선 사이 넓이 그대로입니다. 소재에 당황하지 않는 것이 중요합니다.
13번은 두 점의 속도 차를 적분해 거리가 최대가 되는 순간을 찾습니다.
22번 서술형은 연속 조건과 최대점 조건으로 미정계수를 먼저 정한 뒤 넓이를 적분하는 두 단계 구조입니다. 앞 단계에서 계수를 틀리면 넓이까지 모두 틀리니, 조건을 식으로 옮기는 과정을 답안에 분명히 남기세요.
주의 문항 — 상 4문항
16번 상 (정적분으로 정의된 함수의 극대·극소) — 절댓값 함수의 미분가능성까지 함께 따집니다.
18번 상 (절댓값 정적분) — 선택형 마지막 문항으로, 매개변수 경우 나누기가 필요합니다.
22번 상 (서술, 두 곡선 사이의 넓이) — 연속성과 최대점으로 함수를 정하는 단계가 앞에 붙습니다.
23번 상 (서술, 정적분으로 정의된 함수의 극값) — 구간별 도함수 부호를 따져 극값 조건을 찾습니다.
이 밖에 13·14·15·17번이 중상이라, 선택형 13번부터는 연속으로 시간이 드는 구간입니다.
용산고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서
- 정적분 기본 계산, 부정적분 계산 — 1·21번 대비. 확보 구간.
- 차함수로 부등식 조건 풀기 — 2번 대비.
- 곡선과 x축, 두 곡선 사이의 넓이 — 3·4번 대비.
- 속도·가속도, 위로 던진 물체 — 6·10번 대비.
- 정적분의 가법성과 평행이동 — 9·12번 대비.
- 포물선과 직선 사이 넓이 공식, 절댓값 그래프의 넓이 — 5·7번 대비.
- ★ 삼차함수 극값과 실근의 개수 — 11·14·20번 대비.
- 도함수 부호와 정적분 — 8번 대비.
- 위치의 변화량과 상대속도 — 13번 대비.
- 곡선과 접선으로 둘러싸인 넓이 — 15번 대비.
- 역함수의 정적분 — 17번 대비.
- 절댓값 함수의 정적분(매개변수) — 18번 대비.
- 정적분으로 정의된 함수의 극한 — 19번(서술) 대비.
- ★ 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 16·23번 대비. 상 두 문항.
- 연속·최대 조건으로 함수 정하고 넓이 구하기 — 22번(서술) 대비.
자주 나오는 질문
용산고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 서울 용산구 용산고 기준 23문항입니다. 정답 기록상 1~18번은 선택형, 19~23번은 서술형입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
08 정적분 9문항, 09 정적분의 활용 8문항입니다. 06 도함수의 활용 (3)이 5문항, 07 부정적분이 1문항입니다.
접선의 방정식 문항도 나오나요?
배치 단원 기준으로 04 도함수의 활용 (1) 문항은 없습니다. 접선은 15번 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 문항에서만 등장합니다.
가장 어려운 문항은 무엇인가요?
상 난이도는 16·18·22·23번입니다. 그중 세 문항이 08 정적분 단원입니다.
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