구일고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

구일고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 배치 단원은 미분 쪽 10문항, 적분 쪽 10문항으로 정확히 반반입니다. 이 시험의 가장 큰 특징은 중상 난이도가 11문항이라는 점입니다. 전체의 절반이 넘습니다.

핵심 요약

• 20문항 — 정답 기록 기준 1~18번 선택형, 19·20번은 답을 직접 쓰는 서술형 2문항
• 난이도: 하 3 / 중 5 / 중상 11 / 상 1
• 배치 단원: 도함수의 활용 (3) 6 / 정적분 5 / 정적분의 활용 3 / 도함수의 활용 (2) 3 / 부정적분 2 / 미분계수와 도함수 1
• 세 번 나온 유형: 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(14·15·16번)
• 최고 난도: 16번(상) — 실근 개수 유형 세 문항 중 마지막

구일고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

구일고등학교는 서울 구로구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 고2는 2015 개정 교육과정이 적용되는 학년으로, 이 시험은 수학Ⅱ 2학기 기말고사입니다. 총 20문항이고, 정답 기록 기준으로 1~18번은 선택형, 19·20번은 서술형입니다.

배치 단원을 크게 묶으면 이렇습니다.

• 미분 쪽 10문항 — 도함수의 활용 (3) 6 · 도함수의 활용 (2) 3 · 미분계수와 도함수 1
• 적분 쪽 10문항 — 정적분 5 · 정적분의 활용 3 · 부정적분 2

단원 순서대로 배치되어 있지 않습니다. 1~6번은 부정적분·정적분·정적분의 활용이 섞여 나오고, 7번부터 극대·극소와 부등식 같은 미분 문항이 들어옵니다. 그 뒤로도 미분과 적분이 번갈아 나옵니다. 그리고 서술형 19번은 미분계수와 도함수 단원의 항등식 문항입니다. 2학기 기말인데도 1학기에 배운 미분 단원이 한 문항 들어 있다는 점은 기억해 두세요.

2025학년 난이도 분포 — 중상 11문항

하 난이도 세 문항은 1·2·4번, 모두 적분 기본 계산입니다. 시작은 가볍습니다.

문제는 7번부터입니다. 7번 이후 선택형 12문항(7~18번) 중 9번 하나만 중이고 나머지 11문항이 중상 또는 상입니다. 사실상 시험의 후반 3분의 2가 중상 구간입니다. 1~6번을 빨리 끝내야 뒤에 쓸 시간이 남습니다.

서술형 두 문항은 19번 중, 20번 중상입니다.

출제 단원 — 도함수의 활용 (3)이 6문항으로 최다

도함수의 활용 (3) 6문항 중 9번을 뺀 5문항이 중상 이상입니다. 부등식이 항상 성립할 조건(8·20번)과 방정식의 실근의 개수(14·15·16번)가 여기 몰려 있습니다.

정적분 5문항은 2번(하)과 6번(중)으로 시작해 12·17·18번 세 문항이 중상입니다. 정적분을 포함한 등식, 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소, 우함수·기함수의 정적분이 그 세 문항입니다.

도함수의 활용 (2) 세 문항(7·10·11번)은 전부 중상입니다. 극대·극소, 최대·최소의 활용(부피), 극대·극소를 이용한 미정계수 결정이 한 문항씩 나왔습니다.

시그니처 유형 — "방정식 f(x)=k의 실근의 개수" 3회 연속

14·15·16번 세 문항이 모두 방정식 f(x)=k의 실근의 개수입니다. 번호도 연달아 붙어 있고, 난이도는 중상 → 중상 → 상으로 올라갑니다.

• 14번 중상 — 상대 속도를 적분해 만남 조건을 만들고, 양의 시각에서 세 실근을 갖는 정수 높이를 찾는 문항입니다. 운동 상황과 실근 개수가 결합됐습니다.
• 15번 중상 — 극대 조건으로 계수를 줄인 삼차함수에, 두 실근 조건을 접점으로 해석해 적용합니다.
• 16번 상 — 짝함수의 홀수 실근 조건과 절댓값 방정식의 교점 수를 이용해 정수 계수 후보를 모두 확인하는 문항입니다.

세 문항의 공통 뼈대는 y=f(x)의 그래프와 수평선 y=k의 교점 수를 극값 기준으로 따지는 것입니다. 15번의 "두 실근 = 극값에서 접한다"는 해석은 16번에서도 다시 쓰입니다. 이 세 문항을 한 묶음으로 연습해 두는 것이 이 시험 대비의 핵심입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 부정적분 (1·3번) — 2문항

1번 하 도함수가 주어질 때 함수 구하기 — 주어진 도함수를 부정적분하고 초기 함숫값으로 적분상수를 결정합니다.

3번 중 부정적분과 미분계수 — 극한을 미분계수로 해석한 뒤, 원함수 값 조건으로 계수를 결정합니다.

2. 정적분 (2·6·12·17·18번) — 5문항

2번 하 정적분의 계산; 적분 구간이 같은 경우 — 적분 구간이 같은 두 유리식의 차를 다항식으로 정리해 정적분합니다. 공통분모로 묶으면 바로 인수분해되는 구조입니다.

6번 중 주기함수의 정적분 — 한 주기의 조각함수 넓이를 구하고 주기 개수만큼 곱하는 문항입니다.

12번 중상 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우 — 적분 아래끝을 대입한 식과 미분한 식, 두 조건으로 계수를 정한 뒤 다시 미분해 함수를 복원합니다.

17번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 정적분 함수의 극소점 조건과 두 교점 조건을 함께 씁니다.

18번 중상 우함수·기함수의 정적분; 피적분함수가 주어지지 않은 경우 — 임의의 대칭 구간 적분 조건으로 짝수차 항을 지우고, 접점의 중근 조건을 결합합니다.

12·17·18번은 모두 "적분 조건을 다항식 조건으로 바꾸는" 문항입니다. 적분 기호를 보고 바로 계산에 들어가기보다, 미분하거나 대칭성을 써서 계수 조건으로 옮기는 습관이 필요합니다.

3. 정적분의 활용 (4·5·13번) — 3문항

4번 하 위치와 위치의 변화량 — 속도를 정적분해 위치 변화량을 부호 있게 계산합니다. 움직인 거리(절댓값)가 아니라 위치 변화량이라는 점을 구분하세요.

5번 중 두 곡선 사이의 넓이 — 두 곡선의 세 교점을 구하고, 위아래 관계가 바뀌는 구간을 나누어 넓이를 더합니다.

13번 중상 두 도형의 넓이가 같을 조건 — 포물선의 대칭을 이용해 "세 영역의 넓이가 같다"를 "가운데 영역이 전체의 3분의 1"로 바꾸는 문항입니다.

4. 도함수의 활용 (2) (7·10·11번) — 3문항, 전부 중상

7번 함수의 극대·극소 — 두 조각으로 된 함수에서 각 조각의 극솟값과, 연결점의 극댓값을 따로 판정합니다.

10번 최대·최소의 활용; 부피 — 정사각뿔의 높이와 밑변 관계로 부피를 한 변수 함수로 나타내고 최대점을 구합니다.

11번 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 — 매개변수의 부호별로 양쪽 도함수와 연결점의 극값을 비교해 양의 극댓값 조건을 적용합니다.

7번과 11번은 둘 다 조각으로 정의된 함수의 연결점 극값을 다룹니다. 연결점에서 미분이 안 되더라도 극값이 될 수 있다는 점을 짚고 넘어가야 합니다.

5. 도함수의 활용 (3) (8·9·14·15·16·20번) — 6문항

8번 중상 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건 — 짝함수인 사차식 부등식을 양의 반축에서의 최솟값 문제로 바꿉니다.

9번 중 위치의 그래프의 해석 — 위치 그래프의 증가·감소와 원점과의 거리를 구분해 세 명제를 판단합니다.

14·15·16번 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 위 시그니처 유형 참고.

20번 중상 (서술형) 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건; 증가·감소의 활용 — 구간 왼쪽 끝의 등호를 따로 처리하고, 인수분해한 뒤 증가하는 이차식의 최댓값을 구하는 문항입니다.

6. 미분계수와 도함수 (19번) — 서술형 1문항

19번 중 항등식에서 미분법의 활용 — 다항함수와 도함수의 항등식에서 최고차항을 비교해 차수와 계수를 결정합니다. 서술형이라 차수를 정하는 근거(최고차항 비교)를 답안에 써야 합니다.

주의 문항 — 중상 이상 12문항

7번 중상 (조각함수의 극대·극소) — 선택형 첫 중상입니다. 연결점 처리가 핵심입니다.

8번 중상 (모든 실수에서 부등식) — 짝함수 대칭으로 범위를 반으로 줄이는 발상이 필요합니다.

10번 중상 (정사각뿔 부피의 최대) — 공간도형에서 직각삼각형 관계를 먼저 세워야 합니다.

11번 중상 (미정계수 결정) — 매개변수의 부호에 따라 경우를 나눕니다.

12번 중상 (정적분을 포함한 등식) — 대입과 미분, 두 번의 조건 추출이 필요합니다.

13번 중상 (넓이가 같을 조건) — 대칭 구조를 읽지 못하면 계산이 길어집니다.

14·15번 중상, 16번 상 (실근의 개수) — 이 시험의 중심 세 문항입니다.

17번 중상 (정적분으로 정의된 함수의 극대·극소) — 극소 조건과 교점 조건을 함께 씁니다.

18번 중상 (우함수·기함수의 정적분) — 피적분함수가 주어지지 않아 대칭 조건에서 함수를 직접 정해야 합니다.

20번 중상 (서술형, 구간 부등식) — 끝점의 등호 처리를 답안에서 분명히 보여야 합니다.

구일고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 부정적분과 적분상수 결정 — 1·3번 대비. 확보 구간입니다.
2. 정적분 기본 계산과 위치 변화량 — 2·4번 대비. 위치 변화량과 움직인 거리 구분하기.
3. 두 곡선 사이의 넓이 — 5번 대비. 교점부터 구하고 구간 나누기.
4. 주기함수의 정적분 — 6번 대비.
5. 위치 그래프 해석 — 9번 대비.
6. 조각함수의 극대·극소와 연결점 — 7·11번 대비.
7. 최대·최소의 활용(부피) — 10번 대비.
8. ★ 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 14·15·16번 대비. 극값과 수평선의 교점 수, 접점 해석까지.
9. 부등식이 항상 성립할 조건 — 8·20번 대비. 모든 실수/주어진 구간 두 형태 모두.
10. 정적분을 포함한 등식 — 12번 대비. 대입 → 미분 → 복원 순서.
11. 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 17번 대비.
12. 우함수·기함수의 정적분 — 18번 대비. 짝수차·홀수차 항 정리.
13. 두 도형의 넓이가 같을 조건 — 13번 대비.
14. 항등식에서 미분법의 활용 — 19번 서술형 대비. 1학기 단원 복습.

자주 나오는 질문

구일고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항입니다. 정답 기록 기준 1~18번은 선택형, 19·20번은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 도함수의 활용 (3)이 6문항으로 가장 많고, 정적분 5문항이 뒤를 잇습니다. 크게 묶으면 미분 쪽 10문항, 적분 쪽 10문항으로 반반입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 16번 한 문항입니다. 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 유형입니다. 다만 중상이 11문항이나 되므로, 한 문항보다 7~18번 구간 전체의 시간 관리가 더 중요합니다.

1학기 범위도 나오나요?

배치 단원 기준으로 19번 한 문항이 미분계수와 도함수 단원입니다. 다항함수와 도함수의 항등식 문항이므로 1학기 미분법 복습을 빼먹지 마세요.

서술형은 어떤 문항인가요?

정답 기록 기준 19번(항등식에서 미분법의 활용, 중)과 20번(주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건, 중상) 두 문항입니다.

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