대진여고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

대진여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 배치 단원은 미분 쪽 12문항, 적분 쪽 9문항으로 미분이 조금 더 무겁습니다. 이 시험에서 가장 눈여겨볼 곳은 6~9번 네 문항입니다. 상 1문항(9번)과 중상 2문항(6·8번)이 여기 모여 있고, 세 문항 모두 방정식 f(x)=k의 실근의 개수를 다룹니다.

핵심 요약

• 21문항 — 정답 기록 기준 1~16번 선택형, 17~21번 서술형 5문항
• 난이도: 하 3 / 중 10 / 중상 7 / 상 1
• 배치 단원: 도함수의 활용 (3) 8 / 정적분 5 / 도함수의 활용 (2) 4 / 정적분의 활용 4
• 접선 단원(도함수의 활용 (1))에 배치된 문항은 0개
• 세 번 나온 유형: 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(6·8·9번)

대진여고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

대진여자고등학교는 서울 노원구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 고2는 2015 개정 교육과정이 적용되는 학년으로, 이 시험은 수학Ⅱ 2학기 기말고사입니다. 총 21문항이고, 정답 기록 기준으로 1~16번은 선택형, 17~21번 다섯 문항은 서술형입니다.

배치 단원을 크게 묶으면 이렇습니다.

• 미분 쪽 12문항 — 도함수의 활용 (3) 8 · 도함수의 활용 (2) 4
• 적분 쪽 9문항 — 정적분 5 · 정적분의 활용 4

시험 범위 이름에는 접선의 방정식이 들어 있지만, 배치 단원 기준으로 도함수의 활용 (1)(접선) 문항은 0개입니다.

배치 순서는 비교적 단원 순서를 따릅니다. 1~9번이 미분(도함수의 활용), 10~16번이 적분입니다. 서술형 17~21번에서 다시 미분 3문항(17·18·19번), 적분 2문항(20·21번)이 나옵니다.

2025학년 난이도 분포 — 중 10문항, 상 1문항

중 난이도가 절반 가까이입니다. 서술형 다섯 문항 중에서도 19번 하나만 중상이고 나머지 네 문항은 중입니다.

하 3문항은 2·10·11번입니다. 2번은 미분 파트의 첫 계산, 10·11번은 적분 파트의 첫 두 문항입니다. 각 파트의 입구에 쉬운 문항이 놓인 구조입니다.

어려운 문항은 두 구간에 몰려 있습니다. 6~9번(미분 후반) 에 중상 2·상 1, 12~15번(적분 중반) 에 중상 4문항입니다.

출제 단원 — 도함수의 활용 (3)이 8문항

도함수의 활용 (3) 8문항은 속도(2번), 부피의 변화율(3번), 삼차방정식의 근(4번), 부등식(7·19번), 실근의 개수(6·8·9번)로 이루어져 있습니다.

정적분 5문항에서는 12·13·14번 세 문항이 연속으로 중상입니다. 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소(12·14번)와 정적분을 포함한 등식(13번)입니다.

도함수의 활용 (2) 4문항은 모두 중입니다. 극대·극소를 이용한 미정계수 결정(1·17번), 구간에서 증가하기 위한 조건(5번), 최대·최소(18번)입니다.

시그니처 유형 — 6·8·9번 "방정식 f(x)=k의 실근의 개수"

6·8·9번 세 문항에 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 유형이 들어 있습니다. 9번은 이 유형이 주 유형이고, 6·8번은 다른 유형과 결합된 형태입니다.

• 6번 중상 — 함수의 극대·극소의 활용과 결합. 조각함수에서 연속 조건으로 계수를 줄이고, 극값의 곱을 판정한 뒤 수평선과의 교점 수로 보기를 판단합니다.
• 8번 중상 — 미분가능성과 연속성과 결합. 절댓값 함수에서 극한이 유한하게 되는 영점 구조를 정하고, 음수인 수평선과의 교점 배치를 따집니다.
• 9번 상 — 우미분 조건과 수평선의 실근 수. 구간 경계에서의 우미분으로 구조를 찾고, 삼차 도함수의 부호, 반직선 치역의 겹침까지 따지는 네 단계 문항입니다.

세 문항 모두 조각함수나 절댓값처럼 구간이 나뉘는 함수에 수평선을 긋는 구조입니다. 그래프를 구간별로 정확히 그리는 연습이 이 시험의 핵심입니다.

이 밖에 두 번씩 나온 유형은 다음과 같습니다.

• 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 — 1번(중) · 17번(중, 서술형)
• 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우 — 10번(하) · 20번(중, 서술형)
• 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 12번(중상) · 14번(중상)

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (2) (1·5·17·18번) — 4문항, 전부 중

1번 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 — 극값 조건으로 삼차함수의 계수를 결정하고 다른 극값을 계산합니다.

5번 주어진 구간에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건 — 조각으로 정의된 삼차함수의 증가 조건과 연속 조건을 함께 씁니다.

17번 (서술형) 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 — 대칭인 도함수와 극댓값·극솟값의 차로 함수를 결정합니다.

18번 (서술형) 함수의 최대·최소 — 사차함수의 닫힌 구간 최대·최소에서, 구간 끝점과 극값을 비교하고 자연수 구간에서 조건을 처음 만족하는 경우를 찾습니다.

2. 도함수의 활용 (3) (2·3·4·6·7·8·9·19번) — 8문항

2번 하 속도 — 위치를 미분해 속도를 구하고 대입합니다.

3번 중 시각에 대한 부피의 변화율 — 닮은 원뿔에서 수면 반지름을 닮음으로 설정하고 부피를 미분합니다.

4번 중 삼차방정식의 근의 판별 — 세 실근을 가질 조건에서 삼차함수의 극값 사이 구간을 구하고, 경계를 제외한 정수 개수를 셉니다.

6·8·9번 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 위 시그니처 유형 참고.

7번 중 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건; 최대·최소의 활용 — 치환으로 얻은 닫힌 구간에서 끝점과 정지점의 최솟값을 비교합니다.

19번 중상 (서술형) 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건 — 양쪽 부등식에서 계수의 위아래 제약을 얻고, 대칭인 최소점으로 계수를 정한 뒤 미분값을 구합니다.

3. 정적분 (10·12·13·14·20번) — 5문항

10번 하 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우 — 정적분을 계산해 상수 등식을 정리합니다.

12번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 이차식을 정한 뒤 적분함수의 극값과 절댓값 방정식의 근의 수를 연결합니다.

13번 중상 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우 — 자연수 계수 조건이 붙은 적분 등식으로, 후보를 좁힌 뒤 미분 부호로 판정합니다.

14번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 적분함수가 극값을 하나만 가질 조건으로 매개변수의 경계를 구합니다.

20번 중 (서술형) 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우 — 함수 등식을 연립해 함수를 구한 뒤 닫힌 구간에서 정적분합니다.

4. 정적분의 활용 (11·15·16·21번) — 4문항

11번 하 곡선과 x축 사이의 넓이 — 절댓값이 들어간 곡선과 x축 사이 넓이입니다. 부호가 정해진 구간이라 한 번에 적분됩니다.

15번 중상 두 곡선 사이의 넓이 — 대칭인 삼차함수와 포물선 사이의 넓이로, 교점과 부호를 구한 뒤 모든 유계 영역을 적분합니다.

16번 중 움직인 거리 — 첫 방향 전환 뒤 되돌아오는 시각까지의 총 이동 거리를 구간별로 더합니다.

21번 중 (서술형) 두 도형의 넓이가 같을 조건 — 세 부분으로 나뉜 넓이가 등차 관계를 이루는 조건을 씁니다.

주의 문항 — 중상 이상 8문항

6번 중상 (조각함수 극값과 실근) — 미분 파트에서 처음 만나는 고비입니다.

8번 중상 (절댓값 함수와 실근) — 미분가능성과 극한 조건을 함께 따집니다.

9번 상 (우미분과 실근의 개수) — 이 시험 유일한 상입니다. 선택형 앞쪽(9번)에 놓여 있어 시간 배분에 주의하세요.

12·13·14번 중상 (정적분 연속 3문항) — 적분 파트 중반의 고비입니다.

15번 중상 (대칭 삼차와 포물선 사이 넓이) — 교점이 여러 개라 영역을 빠짐없이 나눠야 합니다.

19번 중상 (서술형, 전 구간 부등식) — 서술형 중 유일한 중상입니다.

대진여고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 속도와 변화율 — 2·3번 대비. 확보 구간.
2. 극대·극소를 이용한 미정계수 결정 — 1·17번 대비.
3. 구간에서 증가하기 위한 조건(조각함수) — 5번 대비.
4. 삼차방정식의 근의 판별 — 4번 대비. 극값 사이 정수 세기.
5. ★ 조각함수·절댓값 함수의 실근의 개수 — 6·8·9번 대비. 이 시험의 시그니처.
6. 부등식이 항상 성립할 조건 — 7·19번 대비.
7. 닫힌 구간 최대·최소 — 18번 서술형 대비.
8. 정적분을 포함한 등식(상수 끝) — 10·20번 대비.
9. 곡선과 x축 사이 넓이 — 11번 대비. 확보 구간.
10. ★ 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 12·14번 대비.
11. 정적분을 포함한 등식(변수 끝) — 13번 대비.
12. 두 곡선 사이의 넓이 — 15번 대비.
13. 움직인 거리 — 16번 대비. 방향 전환 시각부터.
14. 넓이의 등차 조건 — 21번 서술형 대비.

자주 나오는 질문

대진여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 21문항입니다. 정답 기록 기준 1~16번은 선택형, 17~21번 다섯 문항은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 도함수의 활용 (3)이 8문항으로 가장 많습니다. 이어서 정적분 5문항, 도함수의 활용 (2)·정적분의 활용 각 4문항입니다.

접선의 방정식은 나오나요?

배치 단원 기준으로 도함수의 활용 (1)(접선) 문항은 0개입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 9번 한 문항입니다. 우미분 조건과 방정식의 실근의 개수를 결합한 문항입니다. 바로 앞 6·8번(중상)도 같은 실근 개수 유형이 섞여 있어, 6~9번 구간이 실질적인 고비입니다.

서술형은 어렵나요?

다섯 문항 중 17·18·20·21번은 중, 19번만 중상입니다. 풀이 과정을 정리하는 연습만 되어 있으면 충분히 확보할 수 있는 구성입니다.

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