서울 광진구 대원고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

서울 광진구 대원고등학교(대원고) 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 이 시험의 성격은 숫자 하나로 정리됩니다. 중상 13문항, 전체의 59%입니다. 하 난이도는 1번 하나뿐이고, 2번부터는 중 이상입니다. 그리고 서술형 네 문항 중 세 문항이 같은 유형(정적분을 포함한 등식)입니다.

핵심 요약

• 22문항 — 정답 기록 기준 1~18번 선택형, 19~22번 서술형 4문항
• 난이도: 하 1 / 중 5 / 중상 13 / 상 3
• 배치 단원: 정적분 7 / 도함수의 활용 (3) 4 / 정적분의 활용 4 / 부정적분 3 / 도함수의 활용 (2) 2 / 도함수의 활용 (1) 2
• 세 번 나온 유형: 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우(19·20·22번, 전부 서술형)
• 상 3문항: 15·18번(선택형), 20번(서술형)

대원고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

대원고등학교는 서울 광진구에 있는 고등학교입니다. 같은 이름의 학교가 다른 지역에도 있고, 대원여고·대원외고와도 다른 학교입니다. 이 글은 서울 광진구 대원고 기준입니다. 2025학년 고2는 2015 개정 교육과정이 적용되는 학년으로, 이 시험은 수학Ⅱ 2학기 기말고사입니다. 총 22문항이고, 정답 기록 기준으로 1~18번은 선택형, 19~22번은 서술형입니다. 21번은 소문항 두 개로 이루어져 있습니다.

배치 단원을 크게 묶으면 이렇습니다.

• 적분 쪽 14문항 — 정적분 7 · 정적분의 활용 4 · 부정적분 3
• 미분 쪽 8문항 — 도함수의 활용 (3) 4 · 도함수의 활용 (2) 2 · 도함수의 활용 (1) 2

적분이 3분의 2 가까이입니다. 시험 범위 이름은 미분계수와 도함수부터 시작하지만, 배치 단원 기준으로 미분계수와 도함수 단원 문항은 0개입니다. 미분 쪽 8문항은 전부 도함수의 활용 (1)~(3)입니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 13문항

3번부터 이미 중상입니다. 3·4·5번이 연속 중상이고, 이후로도 중 난이도(6·8·12·14번)가 중상 사이사이에 끼어 있는 정도입니다. 쉬어 가는 구간이 거의 없는 시험입니다.

상 3문항은 15·18·20번입니다. 선택형 후반에 두 개, 서술형에 하나입니다. 서술형 네 문항은 19·21·22번 중상, 20번 상입니다.

출제 단원 — 정적분이 7문항

정적분 7문항이 최다입니다. 선택형 네 문항(6·8·11·18번)과 서술형 세 문항(19·20·22번)으로 나뉘며, 18·20번이 상입니다.

정적분의 활용 4문항은 전부 중상 이상입니다(4·9·10번 중상, 15번 상). 움직인 거리, 역함수와 넓이, 곡선과 직선이 나눈 넓이의 비, 곡선과 접선으로 둘러싸인 넓이가 한 문항씩 나왔습니다.

도함수의 활용 (1) 두 문항은 접선(7번)과 롤의 정리(21번, 서술형)입니다. 증명 과정을 묻는 서술형이 들어 있다는 점이 이 시험의 특징입니다.

시그니처 유형 — 서술형 세 문항이 "정적분을 포함한 등식"

19·20·22번 세 문항이 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우입니다. 세 문항 모두 서술형입니다.

• 19번 중상 — 적분함수의 대칭을 이용해 미분하고, 계수 항등식으로 계수를 정한 뒤 다시 확인합니다.
• 20번 상 — 절댓값이 들어간 적분 등식에서 미분가능성 조건(중근)을 쓰고, 양쪽 가지를 나눠 함수를 복원한 뒤 계수를 구합니다.
• 22번 중상 — 적분 등식을 미분하고, 원점이 아닌 점을 대입해 상수를 연립합니다.

공통 뼈대는 "양변을 미분한다 → 적당한 값을 대입한다 → 계수를 정한다" 입니다. 서술형이므로 미분하는 근거와 대입하는 값을 답안에 분명히 쓰는 연습이 필요합니다. 이 유형 하나를 확실히 잡으면 서술형 세 문항의 뼈대가 해결됩니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 부정적분 (3·12·17번) — 3문항

3번 중상 부정적분과 함수의 연속성 — 조각별로 부정적분한 뒤 연속성과 초기조건으로 적분상수를 정합니다.

12번 중 함수의 증가와 감소 · 부정적분의 정의 — 미분과 적분의 정의, 증가 조건에 관한 보기를 판정합니다. 필요조건과 반례를 비교해야 합니다.

17번 중상 부정적분과 극대·극소 — 조각별 도함수의 부정적분과 극값을 다루며, 세 보기를 판정합니다.

2. 정적분 (6·8·11·18번) — 선택형 4문항

6번 중 우함수·기함수의 정적분; 피적분함수가 주어지지 않은 경우 — 짝수차 사차함수의 정적분 조건으로 계수를 연립합니다.

8번 중 정적분의 계산; 피적분함수가 같은 경우 — 적분 구간의 방향과 구간 합치기를 다룹니다.

11번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극한 — 변수 끝과 피적분함수의 극한 관계에서 두 적분을 연립합니다.

18번 상 주기함수의 정적분 — 음이 아닌 주기함수의 최적화와 정적분입니다. 점별 최소, 주기 연속성, 단위 구간 적분, 전체 주기 합까지 네 단계입니다.

3. 정적분의 활용 (4·9·10·15번) — 4문항, 전부 중상 이상

4번 중상 움직인 거리 — 세 구간에서 가속도가 주어질 때 속도와 정지 시각을 구하고 움직인 거리를 합합니다.

9번 중상 함수와 그 역함수의 정적분 — 역함수의 대칭성을 이용해 교점을 구하고 넓이를 적분합니다.

10번 중상 곡선과 직선 사이의 넓이 — 곡선과 직선이 나눈 넓이의 비를 구합니다.

15번 상 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 — 교점 개수 조건과 두 그래프가 접하는 조건으로 경계를 정한 뒤 넓이를 적분합니다.

4. 도함수의 활용 (1)·(2) (7·21·2·13번) — 4문항

7번 중상 기울기가 주어진 접선의 방정식의 활용 — 접점에서의 접선이 곡선과 다시 만나는 점을 구하고, 그 점에서 새 접선을 긋습니다.

21번 중상 (서술형) 롤의 정리 — 롤의 정리 증명의 순서를 맞추고 빈칸을 채우는 소문항 두 개입니다. 내부 극점, 한쪽 부호, 미분가능성의 연결이 핵심입니다. 교과서의 롤의 정리 증명 과정을 그대로 따라 쓸 수 있는지 묻는 문항입니다.

2번 중 함수의 최대·최소 — 닫힌 구간에서 다항함수의 임계점과 끝값을 비교합니다.

13번 중상 실수 전체의 집합에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건 — 역함수가 존재할 조건과 삼차함수가 극값을 갖지 않을 조건을 판별식으로 구하고, 두 조건을 함께 만족하는 정수를 셉니다.

5. 도함수의 활용 (3) (1·5·14·16번) — 4문항

1번 하 속도 — 위치를 미분해 속도를 구합니다. 이 시험 유일한 하 문항입니다.

5번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 부호 — 사차방정식의 양근과 음근 개수를 극값으로 따지고 정수 경계를 구합니다.

14번 중 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건; 최대·최소의 활용 — 닫힌 구간에서 절댓값 부등식이 성립하는 가장 좋은 상수를 극값과 끝값으로 구합니다.

16번 중상 접선의 개수 — 주어진 점에서 그은 접선의 개수를 접점 방정식의 극값으로 분류합니다.

주의 문항 — 상 3문항과 초반 중상

15번 상 (곡선과 접선으로 둘러싸인 넓이) — 접하는 조건을 먼저 세워야 넓이 계산이 가능합니다.

18번 상 (주기함수의 정적분) — 주기 계산에 함수의 최솟값을 따지는 과정까지 더해져 네 단계를 거칩니다.

20번 상 (서술형, 절댓값 적분 등식) — 미분가능성 조건을 놓치면 함수가 정해지지 않습니다.

3·4·5번 중상 연속 — 시험 초반부터 중상이 이어집니다. 조각별 부정적분, 구간별 가속도, 사차방정식의 근의 부호입니다.

대원고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 속도·닫힌 구간 최대·최소 — 1·2번 대비. 확보 구간.
2. 조각함수의 부정적분과 연속성 — 3번 대비.
3. 구간별 가속도와 움직인 거리 — 4번 대비.
4. 실근의 부호(사차방정식) — 5번 대비.
5. 우함수·기함수의 정적분, 적분 구간의 방향 — 6·8번 대비.
6. 접선과 다시 만나는 점 — 7번 대비.
7. 역함수와 넓이 — 9번 대비.
8. 곡선과 직선이 나눈 넓이의 비 — 10번 대비.
9. 정적분으로 정의된 함수의 극한 — 11번 대비.
10. 미분·적분 정의와 증가 조건 보기 — 12번 대비.
11. 삼차함수의 증가 조건과 역함수 존재 — 13번 대비.
12. 절댓값 부등식의 최적 상수 — 14번 대비.
13. 곡선과 접선으로 둘러싸인 넓이 — 15번 대비.
14. 접선의 개수 — 16번 대비.
15. 조각별 도함수의 부정적분과 극값 — 17번 대비.
16. 주기함수의 정적분 — 18번 대비.
17. ★ 정적분을 포함한 등식(변수 끝) — 19·20·22번 서술형 대비. 이 시험의 시그니처.
18. ★ 롤의 정리 증명 — 21번 서술형 대비. 교과서 증명 그대로.

자주 나오는 질문

대원고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

서울 광진구 대원고 2025학년 기준 22문항입니다. 정답 기록 기준 1~18번은 선택형, 19~22번 네 문항은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분이 7문항으로 가장 많습니다. 도함수의 활용 (3)과 정적분의 활용이 각 4문항, 부정적분 3문항입니다.

미분계수와 도함수 단원도 나오나요?

배치 단원 기준으로 미분계수와 도함수 단원 문항은 0개입니다. 미분 쪽 문항은 모두 도함수의 활용 (1)~(3)입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 15·18·20번 세 문항입니다. 다만 중상이 13문항이라 시험 전체 체감 난도가 높습니다.

서술형은 어떤 문항인가요?

정답 기록 기준 19·20·22번은 정적분을 포함한 등식, 21번은 롤의 정리 증명(소문항 두 개) 입니다. 같은 유형이 세 번 나오므로 정적분 등식 풀이를 답안 형태로 정리해 두면 효과가 큽니다.

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