인헌고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)

인헌고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 이 시험은 중 난이도가 14문항으로 전체의 64% 를 차지하고, 상 난이도는 한 문항도 없습니다. 그리고 05 도함수의 활용 (2) 단원에서만 8문항이 나와 극값·최대·최소 비중이 매우 높습니다.

핵심 요약

• 22문항 — 정답 기록 기준 1~18번은 선택형, 19~22번은 답을 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 4 / 중 14 / 중상 4 / 상 0
• 배치 단원: 05 도함수의 활용 (2) 8 / 06 도함수의 활용 (3) 4 / 08 정적분 4 / 09 정적분의 활용 4 / 07 부정적분 2
• 최다 반복 유형: 함수의 극대·극소 4회(1·9·13·20번), 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정 3회(4·12·18번)
• 가장 까다로운 구간: 중상 4문항(15·16·18·21번)

인헌고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

인헌고등학교는 서울 관악구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 22문항입니다.

정답 기록을 보면 1~18번이 선택형, 19~22번이 답을 직접 쓰는 형태입니다. 그중 19·20번은 소문항 세 개씩, 21번은 소문항 두 개로 나뉘어 있습니다.

배치를 크게 나누면 05·06 도함수의 활용이 12문항, 07~09 적분 단원이 10문항입니다. 미분 쪽이 조금 더 많고, 특히 05단원 8문항은 단일 단원으로 전체의 3분의 1이 넘습니다.

2025학년 난이도 분포 — 중 14문항, 상 0

상 난이도가 없고 중이 14문항이라, 손도 못 댈 문항은 없지만 중 난이도에서 하나씩 흘리면 그대로 점수 차가 됩니다. 실수 관리가 가장 중요한 시험입니다.

하 4문항은 1·2·3·7번으로 모두 앞쪽에 있습니다. 중상 4문항은 15·16·18번과 서술형 21번입니다. 선택형 15~18번 구간에 중상 세 문항이 몰려 있으니 앞에서 시간을 아껴 두는 편이 좋습니다.

출제 단원 — 도함수의 활용 (2) 8문항

05단원 8문항이 이 시험의 중심입니다. 극대·극소, 최대·최소, 미정계수 결정이 번갈아 나옵니다. 나머지 네 단원은 2~4문항씩 나눠 가졌습니다.

중상 4문항은 05단원 18번, 06단원 16번, 08단원 15번, 07단원 21번으로 단원마다 하나씩 흩어져 있습니다. 09 정적분의 활용 네 문항은 하 1개, 중 3개로 모두 중 이하입니다.

시그니처 유형 — "함수의 극대·극소" 4회

함수의 극대·극소가 1번(하), 9번(중), 13번(중), 20번(중, 서술형) 네 문항에서 쓰였습니다. 1번은 다항함수의 극값 조건에서 미분계수와 함숫값을 대입하는 기본형이고, 9번은 극값과 증가·감소에 관한 명제를 판단하는 문항, 13번은 이차함수의 높이 조건과 극값을 다루는 문항, 20번은 삼차함수의 두 극값을 구하고 삼차방정식의 실근 개수를 판정하는 서술형입니다.

여기에 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정이 4·12·18번 세 번 나옵니다. 4번은 닫힌구간에서 최댓값 조건으로 상수를 정하고, 12번은 같은 도함수를 갖는 함수의 위아래 이동과 최솟값을, 18번은 절댓값 삼차함수의 미분가능성과 사차함수의 최솟값을 함께 묻습니다.

곡선과 x축 사이의 넓이는 3번(하)과 11번(중) 에 나왔습니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 극대·극소와 최대·최소 (1·4·5·9·10·12·13·18번) — 05단원 8문항

1번 하 함수의 극대·극소, 4번 중 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정, 5번 중 최대·최소의 활용; 넓이, 9번 중 함수의 극대·극소, 10번 중 함수의 최대·최소, 12번 중 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정, 13번 중 함수의 극대·극소, 18번 중상 미분가능성과 연속성 · 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정.

9번과 10번은 명제형입니다. 9번은 극값과 증가·감소, 10번은 극값과 전체 범위의 최댓값·최솟값의 정의를 놓고 참·거짓을 가립니다. 극값과 최댓값은 같은 말이 아니라는 것, 그리고 반례를 떠올리는 연습이 필요합니다.

5번은 제1사분면에 만든 삼각형 넓이가 최대가 되는 경우를 찾는 활용 문항입니다. 4번은 구간 끝점의 값과 극값을 비교해 최댓값을 확정하는 기본 절차를 그대로 묻습니다.

18번은 이 단원에서 유일한 중상입니다. 절댓값을 씌운 삼차함수가 미분가능할 조건에서 영점의 중복도를 따지고, 그 결과로 사차함수를 정리해 최솟값과 계수를 구합니다.

2. 도함수의 활용 (3) — 운동·부등식·실근 (2·14·16·20번)

2번 하 가속도, 14번 중 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건; 최대·최소의 활용, 16번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 20번 중(서술형) 함수의 극대·극소 · 삼차방정식의 근의 판별.

2번은 위치를 두 번 미분해 시각을 대입하는 확보 문항입니다. 14번은 오른쪽으로 뻗은 구간 전체에서 부등식이 성립할 조건을 삼차식의 부호로 따집니다. 16번은 사차함수의 정지점과 수평선의 교점 수를 세는 문항으로, 도함수의 두 근이 겹치는 경우까지 나눠 봐야 합니다.

3. 부정적분 (6·21번)

6번 중 부정적분과 극대·극소, 21번 중상(서술형) 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기.

6번은 접선의 기울기로 원함수를 구하고 극값 조건으로 적분상수를 정합니다. 21번은 관계식에서 다항함수의 차수를 먼저 정하는 단계가 핵심입니다. 가능한 차수를 나눠 보고, 최고차항이 맞아야 한다는 조건으로 좁혀 가는 문항입니다.

4. 정적분 (7·8·15·19번)

7번 하 정적분으로 정의된 함수의 극한, 8번 중 미적분의 기본정리, 15번 중상 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우, 19번 중(서술형) 정적분의 계산; 적분 구간이 같은 경우.

7번은 정적분을 미분계수 꼴로 보는 극한으로, 한 번에 대입해 끝나는 문항입니다. 8번은 자연수 구간마다 쌓이는 정적분과 전체 적분으로 빠진 첫 구간을 정합니다. 15번은 변수가 들어간 적분 등식을 미분해 함수를 복원하는 대표 유형이고, 19번은 정적분의 성질로 세 소문항을 계산합니다.

5. 정적분의 활용 (3·11·17·22번)

3번 하 곡선과 x축 사이의 넓이, 11번 중 도함수의 그래프를 이용한 함수의 극대·극소 · 곡선과 x축 사이의 넓이, 17번 중 곡선과 직선 사이의 넓이, 22번 중(서술형) 움직인 거리.

11번은 도함수의 부호로 극값을 판정하고, 색칠된 넓이로 두 끝점의 함숫값 차를 판정하는 문항입니다. 도함수 그래프 아래 넓이가 곧 원함수 값의 변화량이라는 연결이 핵심입니다. 22번은 속도의 부호가 바뀌는 구간마다 나눠 거리를 적분하고 그 최솟값을 비교합니다.

주의 문항 — 중상 4문항

15번 중상 (정적분을 포함한 등식) — 미분해서 함수를 복원할 때 사라지는 상수를 원래 등식으로 다시 확인해야 합니다.

16번 중상 (f(x)=k 실근의 개수) — 도함수 근의 중복 여부로 경우가 갈립니다.

18번 중상 (미분가능성과 최솟값) — 절댓값 삼차함수의 미분가능성 조건부터 정확히 세워야 합니다.

21번 중상 (서술형, 부정적분 관계식) — 차수 결정 과정을 풀이에 남겨야 합니다.

인헌고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 극값의 기본 조건과 가속도 — 1·2번 대비. 확보 구간.
2. 곡선과 x축 사이의 넓이 — 3번 대비. 확보 구간.
3. 정적분으로 정의된 함수의 극한 — 7번 대비. 확보 구간.
4. ★ 닫힌구간 최댓값·최솟값과 미정계수 — 4·12번 대비. 끝점과 극값 비교.
5. 극값·최댓값 명제와 반례 — 9·10번 대비.
6. 최대·최소의 활용; 넓이 — 5번 대비.
7. 부정적분과 극값, 미적분의 기본정리 — 6·8번 대비.
8. 도함수 그래프와 넓이 — 11번 대비.
9. 부등식이 항상 성립할 조건 — 14번 대비.
10. 곡선과 직선 사이의 넓이, 움직인 거리 — 17·22번 대비.
11. ★ 정적분을 포함한 등식 — 15번 대비.
12. 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 16·20번 대비.
13. 절댓값 함수의 미분가능성 — 18번 대비.
14. 부정적분 관계식과 차수 결정 — 21번 대비.

자주 나오는 질문

인헌고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 22문항입니다. 정답 기록 기준으로 1~18번은 선택형, 19~22번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 05 도함수의 활용 (2)가 8문항으로 가장 많습니다. 06 도함수의 활용 (3), 08 정적분, 09 정적분의 활용이 각 4문항, 07 부정적분이 2문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 한 문항도 없습니다. 최고 난도는 중상 4문항(15·16·18·21번)입니다.

서술형은 어떻게 나오나요?

19~22번 네 문항입니다. 난이도는 19·20·22번 중, 21번 중상입니다. 19·20번은 소문항이 세 개씩 있어 중간 계산을 차례로 적어야 합니다.

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