서울 광진구 대원여고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

서울 광진구 대원여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 23문항입니다. 이 시험의 가장 큰 특징은 중상 난이도가 12문항으로 절반이 넘는다는 점, 그리고 상 난이도 2문항이 모두 마지막 서술형 22·23번이라는 점입니다.

핵심 요약

• 23문항 — 정답 기록 기준 1~18번은 선택형, 19~23번은 답을 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 3 / 중 6 / 중상 12 / 상 2
• 배치 단원: 06 도함수의 활용 (3) 5 / 08 정적분 5 / 09 정적분의 활용 5 / 07 부정적분 4 / 05 도함수의 활용 (2) 3 / 04 도함수의 활용 (1) 1
• 두 번 나온 유형: 정적분의 계산; 구간에 따라 다르게 정의된 함수(4·12번)
• 가장 까다로운 구간: 12~15번 중상 4연속, 서술형 22·23번(상)

대원여고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

대원여자고등학교는 서울 광진구에 있는 고등학교입니다. 같은 광진구에 있는 대원고, 대원외고와는 서로 다른 학교이니 기출을 찾을 때 학교 이름을 정확히 확인하세요.

2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 23문항입니다. 정답 기록을 보면 1~18번이 선택형, 19~23번 다섯 문항이 답을 직접 쓰는 형태입니다.

배치 단원은 04 도함수의 활용 (1)부터 09 정적분의 활용까지 여섯 단원에 걸쳐 있습니다. 미분 쪽(04~06단원)이 9문항, 적분 쪽(07~09단원)이 14문항으로 적분 비중이 더 큽니다. 04 도함수의 활용 (1)은 서술형 21번 한 문항뿐입니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 12문항

중상이 12문항입니다. 선택형 18문항 중 중상이 10문항이라, 선택형만 놓고 봐도 절반 이상이 중상입니다. 특히 12~15번은 네 문항 연속 중상이고 17·18번도 중상입니다.

하 3문항은 1·2번과 서술형 19번입니다. 서술형은 19번 하로 시작해 20·21번 중상, 22·23번 상으로 갈수록 어려워집니다. 시험지 맨 끝 두 문항이 이 시험의 최고 난도입니다.

출제 단원 — 세 단원이 5문항씩

06·08·09단원이 5문항씩으로 가장 많습니다. 07 부정적분도 4문항으로 비중이 작지 않고, 그중 22번은 상 난이도입니다.

08 정적분 5문항은 4번(중)을 빼면 전부 중상 이상입니다. 12·15·18번이 중상, 23번이 상입니다. 이 시험에서 가장 공을 들여야 할 단원입니다.

두 번 나온 유형 — 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 정적분

정적분의 계산; 구간에 따라 다르게 정의된 함수가 4번(중)과 12번(중상) 에 나왔습니다. 4번은 조각별로 정의된 함수의 정적분을 구간을 나눠 계산하는 기본형이고, 12번은 누적 최댓값으로 정의된 함수를 구간마다 나눠 적분하는 문항입니다. 어디서 식이 바뀌는지 경계를 먼저 찾는 것이 두 문항의 공통 출발점입니다.

비슷한 흐름으로 정적분을 포함한 등식도 15번(위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우)과 18번(아래끝과 위끝이 상수인 경우)에 각각 나왔습니다. 둘 다 중상입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 접선과 극값 (3·14·20·21번)

3번 중 함수의 극대·극소, 14번 중상 최대·최소의 활용; 부피, 20번 중상(서술형) 삼차함수가 주어진 구간에서 극값을 가질 조건, 21번 중상(서술형) 기울기가 주어진 접선의 방정식의 활용.

3번은 삼차함수의 극값을 구해 더하는 기본형입니다. 14번은 구에 내접하는 원기둥의 부피가 최대가 되는 경우를 찾는 문항으로, 피타고라스 정리로 부피식을 세운 뒤 미분합니다. 20번은 지정된 구간에서 삼차함수가 극값을 가질 조건을 도함수의 판별식, 축의 범위, 끝값의 부호로 나눠 따집니다. 21번은 수평 접선 조건으로 함수의 계수를 정하는 문항입니다.

2. 도함수의 활용 (3) — 운동·방정식·부등식 (2·6·11·13·16번)

2번 하 가속도, 6번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 11번 중 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건, 13번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 부호, 16번 중 시각에 대한 길이의 변화율.

6번은 절댓값을 씌운 삼차방정식이 서로 다른 두 실근을 가질 조건을 묻습니다. 13번은 두 점이 만나는 상황을 방정식으로 바꿔 양의 시각에서의 해 개수를 따지는 문항입니다. 16번은 닮음으로 그림자 길이를 시각의 식으로 나타낸 뒤 미분하는 변화율 문제로, 중 난이도라 확보해야 합니다.

3. 부정적분 (1·8·19·22번)

1번 하 부정적분과 미분의 관계, 8번 중상 부정적분과 함수의 연속성, 19번 하(서술형) 부정적분의 계산, 22번 상(서술형) 부정적분과 극대·극소.

1번과 19번은 계산만 정확하면 되는 확보 문항입니다. 8번은 구간별로 주어진 도함수를 적분한 뒤 경계에서 원함수가 연속이 되도록 상수를 맞춥니다. 22번은 도함수가 중근을 갖는 경우를 걸러 내고, 원함수의 극값 조건으로 부정적분을 복구하는 문항입니다.

4. 정적분 (4·12·15·18·23번)

4번 중 정적분의 계산; 구간에 따라 다르게 정의된 함수, 12번 중상 같은 유형, 15번 중상 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우, 18번 중상 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우, 23번 상(서술형) 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소.

15번은 적분 등식을 미분해 함숫값을 구하는 대표 유형입니다. 18번은 최고차항 조건으로 다항함수의 차수를 정하고, 대칭 구간 적분으로 계수 조건을 연립합니다. 23번은 절댓값이 들어간 함수를 적분해 만든 함수의 모든 극값을 더하는 문항으로, 서술형 중 가장 손이 많이 갑니다.

5. 정적분의 활용 (5·7·9·10·17번)

5번 중상 미적분의 기본정리의 활용 · 곡선과 직선 사이의 넓이, 7번 중 두 곡선 사이의 넓이, 9번 중상 움직인 거리, 10번 중 함수와 그 역함수의 정적분, 17번 중상 곡선과 x축 사이의 넓이; 그래프 꼴.

5번은 적분과 미분, 넓이와 극값을 각각 묻는 보기 판단형입니다. 7번은 두 이차곡선 사이 넓이를 교점과 차함수 적분으로 구하는 기본형이고, 10번은 함수와 역함수의 정적분 합을 직사각형 넓이의 차로 보는 유형입니다. 9번은 가속도가 구간별로 주어진 상황에서 속도 구간을 나누고 방향이 바뀌는 지점을 따져 이동 거리를 구합니다. 17번은 홀함수의 성질을 이용해 x축과 이루는 전체 넓이를 대칭으로 구합니다.

주의 문항 — 상 2문항과 중상 연속 구간

22번 상 (서술형, 부정적분과 극대·극소) — 도함수의 인수와 중근 여부로 경우를 거른 뒤 원함수를 복구합니다.

23번 상 (서술형, 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소) — 극값을 모두 찾아 더해야 해서 하나라도 빠지면 답이 달라집니다.

12~15번 중상 4연속 — 누적 최댓값 함수의 적분(12번), 실근의 부호(13번), 부피 최대(14번), 정적분 등식(15번)이 단원을 바꿔 가며 이어집니다.

8번 중상 (부정적분과 연속성) — 선택형 앞쪽에 있는 중상이라 시간을 뺏기기 쉽습니다.

대원여고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 부정적분 계산과 미분의 관계, 가속도 — 1·2·19번 대비. 확보 구간.
2. 삼차함수의 극값 — 3번 대비.
3. ★ 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 정적분 — 4·12번 대비. 경계 찾기부터.
4. 두 곡선 사이의 넓이, 역함수의 정적분 — 7·10번 대비.
5. 부등식이 항상 성립할 조건, 길이의 변화율 — 11·16번 대비.
6. 절댓값 삼차방정식의 실근 개수와 부호 — 6·13번 대비.
7. 부정적분과 연속성 — 8번 대비.
8. 움직인 거리 — 9번 대비. 방향 전환 지점 확인.
9. 최대·최소의 활용; 부피 — 14번 대비.
10. ★ 정적분을 포함한 등식 — 15·18번 대비.
11. 홀함수와 넓이 — 17번 대비.
12. 구간에서 극값을 가질 조건, 접선의 활용 — 20·21번 대비.
13. 부정적분·정적분으로 정의된 함수의 극값 — 22·23번 대비. 서술형 최고 난도.

자주 나오는 질문

대원여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 23문항입니다. 정답 기록 기준으로 1~18번은 선택형, 19~23번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 06 도함수의 활용 (3), 08 정적분, 09 정적분의 활용이 각 5문항입니다. 이어서 07 부정적분 4문항, 05 도함수의 활용 (2) 3문항, 04 도함수의 활용 (1) 1문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 서술형 22·23번 두 문항입니다. 다만 중상이 12문항이라 상 문항 외에도 시간이 걸리는 문항이 많습니다.

서술형은 어떤 난이도인가요?

19번 하, 20·21번 중상, 22·23번 상입니다. 19번은 반드시 챙기고, 22·23번은 남은 시간에 따라 부분 점수를 노리는 전략이 현실적입니다.

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