신도림고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)

신도림고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 이 시험은 1~4번이 연속으로 하 난이도로 시작하고, 상 난이도는 한 문항도 없습니다. 대신 중상 7문항이 10번 이후에 흩어져 있고, 서술형 4문항 중 두 문항(21·22번)이 중상입니다.

핵심 요약

• 22문항 — 정답 기록 기준 1~18번은 선택형, 19~22번은 답을 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 4 / 중 11 / 중상 7 / 상 0
• 배치 단원: 06 도함수의 활용 (3) 5 / 09 정적분의 활용 5 / 07 부정적분 4 / 05 도함수의 활용 (2) 4 / 08 정적분 3 / 03 미분계수와 도함수 1
• 두 번씩 나온 유형: 도함수가 주어질 때 함수 구하기(1·19번), 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(13·17번)
• 가장 까다로운 구간: 16~18번 중상 3연속, 서술형 21·22번(중상)

신도림고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

신도림고등학교는 서울 구로구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 22문항입니다.

정답 기록을 보면 1~18번이 선택형, 19~22번이 답을 직접 쓰는 형태입니다. 19번과 20번은 소문항이 두 개씩 있습니다.

배치 단원은 05·06 도함수의 활용 9문항, 07~09 적분 단원 12문항입니다. 여기에 범위 라벨(도함수의 활용~정적분의 활용)에 없는 03 미분계수와 도함수 문항이 1개(22번) 있습니다. 마지막 서술형이 미분가능성 문항이니, 앞 단원 개념도 함께 정리해 두어야 합니다.

2025학년 난이도 분포 — 하 4, 중 11, 중상 7

1~4번 네 문항이 모두 하입니다. 07 부정적분 두 문항(1·2번)과 08 정적분 두 문항(3·4번)이 기본 계산으로 출제됐습니다. 여기서 시간을 아끼면 뒤쪽에 여유가 생깁니다.

중상 7문항은 10번부터 시작합니다. 10·13번, 16~18번 세 문항 연속, 그리고 서술형 21·22번입니다. 서술형 19·20번은 중이니 서술형 앞 두 문항은 반드시 챙겨야 합니다.

출제 단원 — 도함수의 활용 (3)과 정적분의 활용 5문항씩

06 도함수의 활용 (3)은 5문항 중 3문항(10·13·17번)이 중상입니다. 운동 방향과 실근 개수 문항이 여기 몰려 있어 이 시험에서 가장 어려운 단원입니다.

반대로 05 도함수의 활용 (2) 4문항과 08 정적분 3문항에는 중상이 하나도 없습니다. 확보해야 할 단원입니다.

두 번씩 나온 유형

도함수가 주어질 때 함수 구하기가 1번(하)과 19번(중, 서술형) 에 나왔습니다. 1번은 도함수를 적분하고 초기값을 대입하는 기본형이고, 19번은 실수 전체에서 감소할 조건으로 상수를 정한 뒤 도함수와 한 점의 값으로 함수를 정합니다.

방정식 f(x)=k의 실근의 개수는 13번과 17번, 둘 다 중상입니다. 13번은 절댓값 삼차방정식의 근의 개수를 따지며 접하는 높이로 계수를 확정하고, 17번은 극값을 갖는 점이 정수인 조건에서 수평선과 만나는 점의 개수를 셉니다. 그래프를 그려 수평선을 움직이며 교점을 세는 연습이 두 문항의 공통 준비입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 부정적분 (1·2·16·19번)

1번 하 도함수가 주어질 때 함수 구하기, 2번 하 부정적분과 미분의 관계, 16번 중상 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기, 19번 중(서술형) 실수 전체의 집합에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건 · 도함수가 주어질 때 함수 구하기.

16번은 함수와 원시함수 사이의 다항식 항등식에서 가능한 차수를 나눠 보고 최고차항이 상쇄되는 조건으로 함수를 결정하는 문항입니다. 차수를 먼저 정하지 않으면 계수 비교를 시작할 수 없습니다.

2. 정적분 (3·4·14번)

3번 하 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우, 4번 하 정적분으로 정의된 함수의 극한, 14번 중 정적분의 계산; 절댓값 기호를 포함한 함수.

3번은 위끝과 아래끝을 같게 대입하고 미분하는 기본 절차, 4번은 정적분 극한을 미분계수 꼴로 보는 기본형입니다. 14번은 겹치는 적분 구간을 정리한 뒤 남은 구간을 부호에 따라 나눠 절댓값을 벗깁니다.

3. 도함수의 활용 (2) — 극값과 최대·최소 (5·9·12·20번)

5번 중 함수의 최대·최소, 9번 중 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 12번 중 함수의 극대·극소의 활용, 20번 중(서술형) 최대·최소의 활용; 부피.

5번은 정지점과 구간 끝점을 후보로 모아 비교하는 기본 절차입니다. 9번은 두 정지점 조건과 주어진 극솟값으로 계수와 극댓값을 구합니다. 12번은 대칭인 사차함수의 극값 차를 다루고, 20번은 원기둥 부피가 최대가 되는 경우를 구한 뒤 반구를 합친 전체 부피를 계산합니다.

4. 도함수의 활용 (3) — 운동·접선·실근 (6·10·11·13·17번)

6번 중 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건; 최대·최소의 활용, 10번 중상 속도·가속도와 운동 방향, 11번 중 접선의 개수, 13번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 17번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수.

10번은 운동 방향이 세 번 바뀌는 조건을 속도 함수의 정지점과 극값의 부호로 따지는 문항입니다. 경계에서 중근이 되는 경우와 시각이 0인 경우를 제외하는 단계에서 실수가 나옵니다. 11번은 곡선 밖의 점에서 그은 접선의 개수를 접선의 절편을 나타내는 삼차함수로 바꿔 셉니다.

5. 정적분의 활용 (7·8·15·18·21번)

7번 중 그래프에서의 위치와 움직인 거리, 8번 중 포물선과 직선 사이의 넓이; 1/6 공식, 15번 중 움직인 거리, 18번 중상 두 곡선 사이의 넓이의 활용; 넓이의 최솟값, 21번 중상(서술형) 두 곡선 사이의 넓이.

7번은 속도 그래프에서 방향이 바뀌는 순서를 읽고 위치와 거리를 구분합니다. 8번은 포물선과 직선이 만드는 두 영역의 넓이 비를 구하는 문항으로 1/6 공식을 알면 빠릅니다. 15번은 가속도로 속도를 복원한 뒤 이동 거리를 구합니다. 18번은 이차항 계수 조건이 붙은 상태에서 두 곡선 사이 넓이의 하한을 따지는 문항이고, 21번은 홀함수인 삼차함수와 포물선 사이의 넓이를 서로 반대 부호인 두 영역으로 나눠 적분합니다.

6. 미분가능성 (22번)

22번 중상(서술형) 미분가능성과 연속성. 절댓값을 씌운 사차함수가 미분가능할 조건을 실근의 중복도로 따지고, 극소점 조건으로 남은 계수를 정합니다. 범위 라벨에는 없는 03단원 개념이지만 마지막 서술형으로 나왔습니다.

주의 문항 — 중상 7문항

10번 중상 (운동 방향) — 방향 전환 횟수를 정지점과 극값 부호로 셉니다.

13번 중상 (절댓값 삼차방정식의 근의 개수) — 접하는 높이에서 계수가 결정됩니다.

16번 중상 (함수와 부정적분의 관계식) — 차수 결정이 첫 단계입니다.

17번 중상 (정수 극값점과 실근 개수) — 수평선이 접하는 높이에서 경우가 갈립니다.

18번 중상 (넓이의 최솟값) — 넓이의 하한과 실제 도달 여부를 구분해야 합니다.

21번 중상 (서술형, 두 곡선 사이의 넓이) — 교점을 모두 찾은 뒤 영역별로 나눠 적분합니다.

22번 중상 (서술형, 미분가능성) — 앞 단원 개념이라 대비가 소홀하기 쉽습니다.

신도림고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 부정적분과 미분의 관계, 기본 정적분 등식과 극한 — 1~4번 대비. 확보 구간.
2. 구간 최대·최소와 극값을 이용한 미정계수 — 5·9번 대비.
3. 대칭 사차함수의 극값 — 12번 대비.
4. 부등식이 항상 성립할 조건 — 6번 대비.
5. 위치와 움직인 거리 — 7·15번 대비. 위치 변화량과 거리 구분.
6. 포물선과 직선 사이의 넓이(1/6 공식) — 8번 대비.
7. 접선의 개수 — 11번 대비.
8. 절댓값 정적분 — 14번 대비.
9. 최대·최소의 활용; 부피 — 20번 대비.
10. 증가·감소 조건과 함수 구하기 — 19번 대비.
11. ★ 운동 방향 전환 — 10번 대비.
12. ★ 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 13·17번 대비.
13. 함수와 부정적분의 관계식 — 16번 대비.
14. 넓이의 최솟값, 두 곡선 사이의 넓이 — 18·21번 대비.
15. 절댓값 함수의 미분가능성 — 22번 대비. 03단원 복습.

자주 나오는 질문

신도림고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 22문항입니다. 정답 기록 기준으로 1~18번은 선택형, 19~22번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 06 도함수의 활용 (3)과 09 정적분의 활용이 각 5문항으로 가장 많습니다. 07 부정적분과 05 도함수의 활용 (2)가 각 4문항, 08 정적분 3문항, 03 미분계수와 도함수 1문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 없습니다. 최고 난도는 중상 7문항(10·13·16·17·18·21·22번)입니다.

시험 범위 밖 문항도 나오나요?

범위 라벨은 도함수의 활용~정적분의 활용이지만, 22번 서술형이 03 미분계수와 도함수 단원의 미분가능성 문항으로 배치됐습니다.

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