삼성고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)

삼성고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 이 시험은 중 난이도가 13문항으로 가장 많고, 상 난이도는 없습니다. 단원으로는 08 정적분이 6문항으로 가장 많고, 그중 "적분 구간이 같은 경우"의 정적분 계산이 세 번(2·10·20번) 나왔습니다.

핵심 요약

• 22문항 — 정답 기록 기준 1~19번은 선택형, 20~22번은 답을 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 4 / 중 13 / 중상 5 / 상 0
• 배치 단원: 08 정적분 6 / 09 정적분의 활용 5 / 05 도함수의 활용 (2) 4 / 06 도함수의 활용 (3) 4 / 07 부정적분 2 / 03 미분계수와 도함수 1
• 최다 반복 유형: 정적분의 계산; 적분 구간이 같은 경우 3회(2·10·20번)
• 가장 까다로운 구간: 17~19번 중상 3연속

삼성고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

삼성고등학교는 서울 관악구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 22문항입니다.

정답 기록을 보면 1~19번이 선택형, 20~22번이 답을 직접 쓰는 형태입니다. 20번은 소문항이 두 개 있습니다.

배치 단원은 적분 쪽(07~09단원) 13문항, 도함수의 활용(05·06단원) 8문항으로 적분 비중이 큽니다. 여기에 범위 라벨(도함수의 활용~정적분의 활용)에 없는 03 미분계수와 도함수 문항이 1개(17번) 있습니다.

2025학년 난이도 분포 — 중 13문항, 상 0

1~4번이 모두 하입니다. 부정적분 계산, 정적분 계산, 곡선과 x축 사이의 넓이, 위치의 변화량까지 기본 계산 네 문항으로 시작합니다.

중상 5문항은 13번, 17~19번 세 문항 연속, 서술형 21번입니다. 선택형 끝부분 17~19번이 고비이고, 서술형 20·22번은 중 난이도라 꼭 챙겨야 할 문항입니다.

출제 단원 — 정적분 6문항

08 정적분 6문항이 가장 많고, 그중 13·18번 두 문항이 중상입니다. 정적분 계산 자체를 묻는 문항(2·6·10·20번)은 하·중 난이도라 확보 구간이지만, 정적분을 포함한 등식(13번)과 정적분으로 정의된 함수(18번)는 한 단계 더 어렵습니다.

05 도함수의 활용 (2) 4문항은 모두 중입니다. 극값과 최대·최소를 이용한 계수 결정, 부피 최대, 감소 조건이 고르게 나왔습니다.

시그니처 유형 — "적분 구간이 같은 경우" 3회

정적분의 계산; 적분 구간이 같은 경우가 2번(하), 10번(중), 20번(중, 서술형) 에 나왔습니다. 2번은 같은 구간의 정적분을 더하고 빼는 기본형, 10번은 자연수가 들어간 정적분의 부분합을 구하는 문항, 20번은 두 소문항으로 정적분을 정확히 계산하는 서술형입니다.

같은 구간이면 피적분함수끼리 합치고, 같은 피적분함수면 구간끼리 이어 붙인다. 이 두 성질이 2·6·10·20번 네 문항의 공통 도구입니다. 6번(피적분함수가 같은 경우)까지 포함하면 정적분의 성질 문항이 네 개입니다.

위치와 위치의 변화량도 4번(하)과 21번(중상, 서술형) 에 나왔습니다. 4번은 속도를 적분해 위치의 변화량을 구하는 기본형이고, 21번은 두 운동점의 위치를 조합한 식에서 원점으로 돌아오는 시각을 찾는 문항입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 부정적분 (1·11번)

1번 하 부정적분의 계산, 11번 중 부정적분과 극대·극소.

11번은 도함수의 그래프로 원함수의 형태를 정하고, 극값의 차와 한 점의 값으로 적분상수를 정하는 문항입니다.

2. 정적분 (2·6·10·13·18·20번)

2번 하 정적분의 계산; 적분 구간이 같은 경우, 6번 중 정적분의 계산; 피적분함수가 같은 경우, 10번 중 적분 구간이 같은 경우, 13번 중상 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우, 18번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소, 20번 중(서술형) 적분 구간이 같은 경우.

6번은 적분 구간의 방향과 더하기·빼기, 그리고 홀함수·짝함수 성질의 참·거짓을 반례로 판정합니다. 13번은 변수가 든 적분 등식에서 위끝과 아래끝을 같게 놓은 조건, 미분한 등식의 조건, 원래 등식으로 적분상수를 검증하는 과정을 모두 거칩니다. 18번은 세 조각으로 정의된 함수를 적분해 만든 함수가 극값을 하나만 갖는 조건을 따집니다.

3. 정적분의 활용 (3·4·9·16·21번)

3번 하 곡선과 x축 사이의 넓이, 4번 하 위치와 위치의 변화량, 9번 중 그래프에서의 위치와 움직인 거리, 16번 중 두 곡선 사이의 넓이의 활용; 이등분, 21번 중상(서술형) 위치와 위치의 변화량.

9번은 속도 그래프에서 위치의 변화량과 움직인 거리가 서로 다른 시각 범위를 구분하는 문항입니다. 16번은 곡선이 영역의 넓이를 이등분하는 조건으로 매개변수를 정합니다.

4. 도함수의 활용 (2) — 극값과 최대·최소 (5·8·15·22번)

5번 중 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 8번 중 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정, 15번 중 최대·최소의 활용; 부피, 22번 중(서술형) 실수 전체의 집합에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건.

5번은 극소점과 그 높이로 삼차함수의 계수를 정하고 다른 극값을 구합니다. 8번은 정적분을 매개변수에 대한 이차식으로 정리한 뒤 최솟값을 찾는, 정적분과 최대·최소가 결합된 문항입니다. 15번은 사각뿔에 내접하는 직육면체 부피의 최대를 단면의 닮음으로 식을 세워 구합니다. 22번은 실수 전체에서 감소할 조건으로 계수 범위를 정하고 함숫값의 최댓값을 구합니다.

5. 도함수의 활용 (3) — 부등식·운동·교점 (7·12·14·19번)

7번 중 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건, 12번 중 속도·가속도와 운동 방향, 14번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 부호, 19번 중상 두 그래프의 교점의 개수.

12번은 속도 함수의 단일근과 접하는 근을 구분해 운동 방향이 바뀌는지 판정합니다. 14번은 극값의 높이와 원점의 높이를 비교해 세 실근의 부호를 정합니다. 19번은 구간마다 직선으로 정의된 함수와 삼차곡선의 교점 개수를 세는 문항으로, 수평선마다 실근을 중복 없이 더해야 합니다.

6. 미분가능성 (17번)

17번 중상 미분가능성과 연속성. 절댓값을 씌운 사차함수가 미분가능할 조건을 실근의 중복도로 따지고, 극대점의 높이로 함수를 정합니다. 범위 라벨에 없는 03단원 문항입니다.

주의 문항 — 중상 5문항

13번 중상 (정적분을 포함한 등식) — 미분한 뒤 원래 등식으로 상수를 다시 검증해야 합니다.

17번 중상 (미분가능성) — 앞 단원 개념이라 대비에서 빠지기 쉽습니다.

18번 중상 (정적분으로 정의된 함수의 극값) — 조각별 부호 구조를 먼저 정리해야 합니다.

19번 중상 (두 그래프의 교점의 개수) — 구간마다 교점을 따로 세서 합칩니다.

21번 중상 (서술형, 위치의 변화량) — 두 점의 위치식을 세우고 허용된 시각 범위 안에서 답을 골라야 합니다.

삼성고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 부정적분·정적분 기본 계산 — 1·2번 대비. 확보 구간.
2. 곡선과 x축 사이의 넓이, 위치의 변화량 — 3·4번 대비. 확보 구간.
3. ★ 정적분의 성질(구간·피적분함수가 같은 경우) — 2·6·10·20번 대비.
4. 극값·최대·최소를 이용한 미정계수 결정 — 5·8번 대비.
5. 부등식이 항상 성립할 조건 — 7번 대비.
6. 위치와 움직인 거리 — 9번 대비.
7. 부정적분과 극값 — 11번 대비.
8. 운동 방향과 실근의 부호 — 12·14번 대비.
9. 최대·최소의 활용; 부피 — 15번 대비.
10. 넓이의 이등분 — 16번 대비.
11. 삼차함수의 감소 조건 — 22번 대비.
12. 정적분을 포함한 등식, 정적분으로 정의된 함수 — 13·18번 대비.
13. 절댓값 함수의 미분가능성 — 17번 대비. 03단원 복습.
14. 두 그래프의 교점 개수, 두 운동점의 위치 — 19·21번 대비.

자주 나오는 질문

삼성고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 22문항입니다. 정답 기록 기준으로 1~19번은 선택형, 20~22번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 08 정적분이 6문항으로 가장 많습니다. 이어서 09 정적분의 활용 5문항, 05·06 도함수의 활용이 각 4문항, 07 부정적분 2문항, 03 미분계수와 도함수 1문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 없습니다. 최고 난도는 중상 5문항(13·17·18·19·21번)입니다.

서술형은 어떻게 나오나요?

20~22번 세 문항입니다. 20·22번은 중, 21번은 중상입니다. 20번은 정적분 계산 두 소문항이라 확실히 챙겨야 합니다.

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