자양고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)

자양고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 이 시험은 상 난이도가 5문항이고, 그 다섯 문항이 모두 11~18번 사이에 있습니다. 반대로 마지막 19~21번은 세 문항 모두 중 난이도라, 고난도 구간이 시험지 가운데에 놓인 구조입니다.

핵심 요약

• 21문항 — 정답 기록 기준 1~12번은 선택형, 13~21번은 답을 직접 쓰는 형태
• 난이도: 하 1 / 중 8 / 중상 7 / 상 5
• 배치 단원: 08 정적분 6 / 06 도함수의 활용 (3) 4 / 07 부정적분 4 / 09 정적분의 활용 4 / 05 도함수의 활용 (2) 3
• 두 번씩 나온 유형: 부정적분과 미분계수(5·8번), 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(10·16번)
• 가장 까다로운 구간: 11~18번 — 상 5문항이 모두 여기

자양고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

자양고등학교는 서울 광진구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 21문항입니다.

정답 기록을 보면 1~12번은 선택지 번호, 13~21번은 수나 식으로 답이 기록돼 있습니다. 답을 직접 쓰는 문항이 9개로, 시험의 절반 가까이를 차지합니다.

배치 단원은 05·06 도함수의 활용 7문항, 07~09 적분 단원 14문항입니다. 적분 쪽이 두 배 가까이 많고, 단일 단원으로는 08 정적분 6문항이 가장 많습니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 5문항

하는 1번 하나뿐입니다. 중 8문항은 2·4·5·6·8번과 19·20·21번으로 앞쪽과 맨 뒤에 나뉘어 있습니다.

상 5문항(11·13·15·16·18번)은 모두 11~18번 구간에 있고, 그 사이 12·14·17번도 중상입니다. 11번부터 18번까지 여덟 문항이 전부 중상 이상입니다. 이 구간에 들어가기 전에 앞 문항을 빨리 끝내고, 맨 뒤 19~21번(중)을 먼저 확보한 뒤 가운데로 돌아오는 순서도 고려해 볼 만합니다.

출제 단원 — 정적분 6문항

05 도함수의 활용 (2)는 3문항 중 2문항(11·18번)이 상입니다. 문항 수는 가장 적지만 난도는 가장 높은 단원입니다.

상 5문항을 단원별로 보면 05단원 2문항(11·18번), 06단원 1문항(16번), 08단원 1문항(13번), 09단원 1문항(15번) 입니다. 07 부정적분에는 상이 없습니다.

두 번씩 나온 유형

부정적분과 미분계수가 5번과 8번, 둘 다 중으로 나왔습니다. 5번은 극한값이 존재하려면 분자가 0이 되어야 한다는 조건과 미분계수로 계수를 정한 뒤 원함수를 복원하고, 8번은 부정적분 등식에서 함수를 구한 뒤 대칭 차분 꼴의 극한을 미분계수로 계산합니다. 극한 식을 미분계수의 정의로 바꿔 읽는 연습이 두 문항의 공통 준비입니다.

방정식 f(x)=k의 실근의 개수는 10번(중상)과 16번(상) 입니다. 10번은 절댓값을 씌운 삼차함수에서 높이별 실근 개수를 구하고 개수가 불연속으로 바뀌는 높이까지 구별합니다. 16번은 구간별로 정의된 함수의 도함수 영점과 평행이동한 집합이 겹치는 개수로 세 영점의 간격과 두 계수를 정하는 문항으로, 이 시험에서 가장 구성이 복잡한 문항 중 하나입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 정적분 (1·6·9·13·17·20번)

1번 하 미적분의 기본정리, 6번 중 정적분의 계산; 피적분함수가 같은 경우, 9번 중상 우함수·기함수의 정적분; 피적분함수가 주어지지 않은 경우, 13번 상 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우, 17번 중상 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소, 20번 중(서술형) 정적분의 계산; 절댓값 기호를 포함한 함수.

1번은 적분으로 정의된 함수의 도함수를 구해 접점에 대입하고 기울기를 구합니다. 9번은 점대칭인 삼차식을 놓고 도함수의 정적분 조건으로 계수를 정합니다. 13번은 위끝에 변수가 있는 적분 등식을 미분해 다항식 계수를 정한 뒤 원래 등식으로 적분상수까지 검증해야 하는 문항입니다. 17번은 매개변수 위치에서 절댓값 적분을 나눠 함수식을 만들고 최솟값을 구합니다. 20번은 절댓값 안의 식이 0이 되는 점마다 구간을 나눠 적분하는 기본 서술형입니다.

2. 도함수의 활용 (3) — 운동·실근·부등식 (2·10·12·16번)

2번 중 가속도, 10번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 12번 중상 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건, 16번 상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수.

2번은 위치가 다시 0이 되는 첫 양의 시각을 찾은 뒤 가속도를 계산합니다. 12번은 사차함수의 최솟값과 이차함수의 최댓값 사이에 들어가는 정수 높이의 개수로 계수를 정하는 문항입니다.

3. 부정적분 (3·5·8·14번)

3번 중상 도함수가 주어질 때 함수 구하기, 5번 중 부정적분과 미분계수, 8번 중 부정적분과 미분계수, 14번 중상(서술형) 부정적분과 극대·극소.

3번은 두 함수의 합과 곱의 도함수가 주어진 상황에서 합과 곱을 먼저 복원하고 초기값으로 두 함수를 구별하는 문항입니다. 14번은 도함수 그림의 중근과 단순근, 극솟값으로 원함수의 계수를 정합니다.

4. 정적분의 활용 (4·7·15·21번)

4번 중 곡선과 x축 사이의 넓이, 7번 중상 움직인 거리, 15번 상(서술형) 곡선과 직선 사이의 넓이, 21번 중(서술형) 위치와 위치의 변화량.

4번은 제1사분면의 정해진 영역을 포물선 아래와 직선 아래로 나눠 넓이를 구합니다. 7번은 속도 부호의 변화, 위치, 실제 이동 거리를 보기마다 따로 계산하는 보기형입니다. 15번은 두 영역의 넓이 차로 직선의 기울기를 정한 뒤 절댓값 적분을 부호 구간별로 계산합니다. 21번은 주어진 위치의 변화량으로 속도의 상수를 정하는 기본 서술형입니다.

5. 도함수의 활용 (2) — 증가·감소와 극값 (11·18·19번)

11번 상 실수 전체의 집합에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건, 18번 상(서술형) 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정, 19번 중(서술형) 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정.

11번은 역함수가 존재할 조건을 증가·감소 조건으로 바꾸고, 계수 범위와 도함수 영점의 경계 경우까지 보기별로 판정하는 문항입니다. 선택형 중 첫 상 문항입니다. 18번은 하나뿐인 극대점 양쪽에서 도함수 부호 조건을 만족하는 매개변수 범위를 구합니다. 19번은 두 극점의 대칭과 극댓값으로 삼차함수를 복원해 극솟값을 구하는 기본형입니다.

주의 문항 — 상 5문항

11번 상 (증가·감소 조건, 보기형) — 역함수 존재 조건과 경계 경우를 보기마다 따져야 합니다.

13번 상 (정적분을 포함한 등식) — 미분 후 원래 등식으로 상수를 검증하는 단계까지 가야 합니다.

15번 상 (곡선과 직선 사이의 넓이) — 넓이 조건으로 기울기를 정한 뒤 적분을 한 번 더 합니다.

16번 상 (f(x)=k 실근의 개수) — 영점 집합의 겹침을 직접 따지는 문항입니다.

18번 상 (최대·최소를 이용한 미정계수) — 두 방향의 부호 조건을 함께 만족시켜야 합니다.

자양고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 미적분의 기본정리와 접선의 기울기 — 1번 대비. 확보 구간.
2. 가속도와 위치 — 2·21번 대비.
3. 곡선과 x축 사이의 넓이 — 4번 대비.
4. ★ 부정적분과 미분계수 — 5·8번 대비. 극한을 미분계수로 읽기.
5. 정적분의 성질, 절댓값 정적분 — 6·20번 대비.
6. 극점 대칭과 극값 — 19번 대비.
7. 도함수가 주어질 때 함수 구하기 — 3번 대비.
8. 움직인 거리 — 7번 대비.
9. 우함수·기함수의 정적분 — 9번 대비.
10. 부정적분과 극값, 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소 — 14·17번 대비.
11. ★ 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 10·16번 대비.
12. 부등식이 항상 성립할 조건 — 12번 대비.
13. 증가·감소 조건과 역함수 — 11번 대비.
14. 정적분을 포함한 등식 — 13번 대비.
15. 곡선과 직선 사이의 넓이 — 15번 대비.
16. 최대·최소를 이용한 미정계수 — 18번 대비.

자주 나오는 질문

자양고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 21문항입니다. 정답 기록 기준으로 1~12번은 선택형, 13~21번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 08 정적분이 6문항으로 가장 많습니다. 06 도함수의 활용 (3), 07 부정적분, 09 정적분의 활용이 각 4문항, 05 도함수의 활용 (2)가 3문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도가 5문항(11·13·15·16·18번) 입니다. 모두 11~18번 사이에 있습니다.

마지막 문항이 가장 어렵나요?

아닙니다. 19~21번은 모두 중 난이도입니다. 가장 어려운 구간은 11~18번이니, 맨 뒤 세 문항을 놓치지 않도록 시간을 남겨 두세요.

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