서울 도봉구 선덕고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

선덕고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 24문항입니다. 배치 단원은 도함수의 활용 (3) · 부정적분 · 정적분 · 정적분의 활용 네 갈래입니다. 이 시험의 가장 큰 특징은 정적분 한 단원에서 13문항이 나왔다는 점, 그리고 상 난이도가 6문항으로 많다는 점입니다.

핵심 요약

• 24문항 — 정답 기록 기준 1~16번 선택형, 17~24번 답을 직접 쓰는 형태(8문항)
• 난이도: 하 3 / 중 11 / 중상 4 / 상 6
• 배치 단원: 08 정적분 13 / 06 도함수의 활용 (3) 7 / 09 정적분의 활용 3 / 07 부정적분 1
• 최다 반복 유형: 정적분의 계산; 절댓값 기호를 포함한 함수 4회(12·13·16·23번)
• 상 6문항 중 5문항이 정적분 단원

선덕고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

선덕고등학교는 서울 도봉구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 24문항입니다. 정답 기록을 보면 1~16번은 선택형, 17~24번 여덟 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

단원 구성은 적분 쪽으로 크게 기울어 있습니다. 부정적분·정적분·정적분의 활용을 합치면 17문항(71%) 이고, 미분 쪽은 도함수의 활용 (3) 7문항뿐입니다.

시험 범위 라벨에는 함수의 증가와 감소가 들어 있지만, 실제 배치 단원으로 05 도함수의 활용 (2)에 해당하는 문항은 0개입니다. 미분 파트는 전부 06 도함수의 활용 (3)(방정식·부등식·속도) 문항입니다. 증가·감소와 극대·극소는 06 단원 문항을 풀기 위한 도구로 쓰인다고 보고 준비하세요.

2025학년 난이도 분포 — 상 6문항

하 난이도는 3문항뿐이고, 상이 6문항으로 네 문항 중 하나꼴입니다. 쉽게 주는 시험이 아닙니다.

상 6문항의 위치를 보면 선택형 13·15·16번, 답을 직접 쓰는 22·23·24번입니다. 선택형과 뒷부분 양쪽에 상 문항이 세 개씩 있습니다. 선택형 후반에서 시간을 다 쓰면 뒤쪽 상 세 문항을 볼 시간이 없어집니다.

중 11문항(2~12번 사이 대부분, 18~20번) 을 실수 없이 잡는 것이 기본 점수를 만드는 길입니다.

출제 단원 — 정적분 13문항

정적분 단원 하나가 전체의 54% 입니다. 상 6문항 중 5문항(13·15·16·22·23번)도 이 단원입니다. 나머지 상 1문항(24번)은 도함수의 활용 (3)입니다.

반대로 부정적분은 1문항(8번), 정적분의 활용(넓이·움직인 거리)은 3문항입니다. 같은 적분 파트라도 정적분 계산과 정적분으로 정의된 함수에 무게가 몰려 있습니다.

시그니처 유형 — 절댓값 기호를 포함한 정적분 4회

정적분의 계산; 절댓값 기호를 포함한 함수가 12·13·16·23번 네 문항에 나왔습니다. 그리고 그중 13·16·23번 세 문항이 상입니다.

• 12번 중 절댓값 정적분의 대소 비교
• 13번 상 절댓값 적분식의 교점 개수
• 16번 상 적분 영조건과 삼차 극대
• 23번 상 절댓값 누적적분의 정수해

네 문항 모두 출발점은 같습니다. 절댓값 안이 0이 되는 점을 찾아 구간을 나누고, 구간마다 부호를 정해 절댓값을 벗긴다. 이 절차가 자동으로 나오지 않으면 네 문항이 한꺼번에 흔들립니다.

여기에 다음 유형들이 두 번씩 겹칩니다.

• 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 21번(중상), 22번(상)
• 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 2번(중), 24번(상)
• 속도·가속도와 운동 방향 — 6번(중), 18번(중)

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 정적분 계산과 미적분의 기본정리 (1·3·10·17·20번)

1번 하 정적분의 계산; 적분 구간이 같은 경우 · 다항식 정적분 값 계산, 3번 하 미적분의 기본정리 · 적분함수의 도함수 계산, 10번 중 주기함수의 정적분, 17번 하 우함수·기함수의 정적분; 피적분함수가 주어진 경우 · 대칭 구간의 짝함수 적분, 20번 중 우함수·기함수의 정적분; 피적분함수가 주어지지 않은 경우 · 기함수와 도함수 대칭 적분.

하 3문항 중 1·3·17번이 모두 여기입니다. 반드시 확보해야 하는 구간입니다. 17·20번의 대칭 구간 적분은 우함수는 0부터 a까지의 2배, 기함수는 0이라는 성질 하나로 풀립니다.

2. 절댓값 정적분 (12·13·16·23번) — 4문항

위 시그니처 유형 참고. 12번(중)으로 구간 나누기를 확인하고, 13·16·23번(상)에서 교점 개수, 극대 조건, 정수해 조건이 덧붙습니다.

3. 정적분을 포함한 등식과 정적분으로 정의된 함수 (15·19·21·22번)

15번 상 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우 · 적분 부등식과 접합 함수, 19번 중 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우 · 상수 적분값으로 함수 복원, 21번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 · 이동구간 적분의 극소 조건, 22번 상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 · 정적분 극값과 근 개수 조건.

19번처럼 적분 구간이 상수면 그 정적분은 하나의 상수입니다. 상수 k로 두고 식에 다시 대입하는 것이 표준 풀이입니다. 21·22번처럼 정적분으로 정의된 함수의 극값을 물으면 미분해서 도함수를 얻는 것이 출발점입니다.

4. 도함수의 활용 (3) — 방정식·부등식 (2·5·9·11·24번)

2번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 · 삼차방정식의 실근 두 개, 5번 중 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건 · 구간 최솟값과 부등식, 9번 중 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건 · 차이함수의 구간 부등식, 11번 중상 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건 · 전 구간 부등식과 중근 조건, 24번 상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 · 합성함수 고정점의 개수.

부등식 세 문항(5·9·11번)은 한쪽으로 모아 h(x)=f(x)−g(x)를 만들고 최솟값이 0 이상인지 본다는 방법이 기본입니다. 같은 틀로 접근할 수 있고, 구간이 주어졌는지(5·9번), 모든 실수인지(11번)가 다릅니다.

24번은 합성함수의 고정점 개수를 묻는 상 문항으로, 시험 마지막 문항입니다.

5. 도함수의 활용 (3) — 속도와 가속도 (6·18번)

6번 중 속도·가속도와 운동 방향 · 두 점의 속도 부호 비교, 18번 중 속도·가속도와 운동 방향 · 속도 부호 변화의 순간 위치.

운동 방향이 바뀌는 순간은 속도의 부호가 바뀌는 순간입니다. 속도가 0이 되는 것만으로는 부족하고, 그 앞뒤에서 부호가 바뀌는지 확인해야 합니다.

6. 정적분의 활용 (4·7·14번) — 3문항

4번 중 그래프에서의 위치와 움직인 거리 · 속도 그래프의 위치 변화, 7번 중상 곡선과 직선 사이의 넓이 · 포물선 영역의 넓이 관계, 14번 중상 움직인 거리 · 이동거리로 위치함수 판정.

위치의 변화량은 속도를 그대로 적분, 움직인 거리는 속도의 절댓값을 적분합니다. 4번과 14번은 이 구분이 핵심입니다.

7. 부정적분 (8번) — 1문항

8번 중 부정적분과 미분의 관계를 이용하여 함수 구하기 · 가법식 도함수로 함수 복원.

주의 문항 — 상 6문항, 중상 4문항

13·16·23번 상 (절댓값 정적분) — 시그니처 유형의 심화 세 문항입니다.

15번 상 (정적분을 포함한 등식) — 적분 부등식과 접합 함수가 결합된 문항입니다.

22번 상 (정적분으로 정의된 함수의 극대·극소) — 극값과 근의 개수 조건을 함께 따집니다.

24번 상 (합성함수 고정점의 개수) — 미분 파트의 유일한 상 문항이자 마지막 문항입니다.

7·11·14·21번 중상 — 포물선 영역의 넓이, 모든 실수에서의 부등식, 이동거리로 위치함수 판정, 이동구간 적분의 극소. 단원이 서로 다르니 한쪽만 대비하지 마세요.

선덕고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 다항함수 정적분 계산과 미적분의 기본정리 — 1·3번 대비. 확보 구간.
2. 우함수·기함수의 정적분 — 17·20번 대비.
3. 주기함수의 정적분 — 10번 대비.
4. ★ 절댓값 정적분 구간 나누기 — 12·13·16·23번 대비. 이 시험의 시그니처.
5. 적분 구간이 상수인 등식 — 19번 대비. 상수로 두고 대입.
6. ★ 변수가 들어간 정적분 등식, 정적분으로 정의된 함수의 극값 — 15·21·22번 대비. 양변 미분.
7. 방정식의 실근 개수 — 2번 대비. 그래프와 직선 y=k.
8. ★ 부등식이 항상 성립할 조건 — 5·9·11번 대비. 차함수의 최솟값.
9. 합성함수와 실근 개수 — 24번 대비.
10. 속도·가속도와 운동 방향 — 6·18번 대비.
11. 위치 변화량과 움직인 거리 구분 — 4·14번 대비.
12. 곡선과 직선 사이의 넓이 — 7번 대비.
13. 부정적분과 미분의 관계 — 8번 대비.

자주 나오는 질문

선덕고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 24문항입니다. 정답 기록 기준 1~16번은 선택형, 17~24번 여덟 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분이 13문항으로 압도적입니다. 이어서 도함수의 활용 (3) 7문항, 정적분의 활용 3문항, 부정적분 1문항입니다.

함수의 증가와 감소 단원은 안 나왔나요?

범위 라벨에는 있지만 배치 단원 기준으로 05 도함수의 활용 (2) 문항은 0개입니다. 미분 파트 7문항은 모두 06 도함수의 활용 (3)입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 13·15·16·22·23·24번 여섯 문항입니다. 그중 다섯 문항이 정적분 단원이고, 24번만 도함수의 활용 (3)입니다.

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