서울 노원구 영신여고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

이 글은 서울 노원구 영신여자고등학교 시험지 분석입니다. 경기 수원시에도 같은 이름의 영신여고가 있으니 학교를 확인하고 읽어 주세요.

영신여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 배치 단원은 도함수의 활용 (2) · 도함수의 활용 (3) · 부정적분 · 정적분 · 정적분의 활용 다섯 갈래입니다. 이 시험의 특징은 도함수의 활용 (3)이 8문항으로 가장 많다는 점, 그리고 상은 1문항뿐이지만 중상이 6문항이라는 점입니다.

핵심 요약

• 21문항 — 정답 기록 기준 1~18번 선택형, 19~21번 답을 직접 쓰는 형태(3문항)
• 난이도: 하 4 / 중 10 / 중상 6 / 상 1
• 배치 단원: 06 도함수의 활용 (3) 8 / 08 정적분 5 / 09 정적분의 활용 4 / 05 도함수의 활용 (2) 3 / 07 부정적분 1
• 반복 유형: 곡선과 x축 사이의 넓이 2회(3·11번), 속도 2회(4·12번), 두 그래프의 교점의 개수 2회(16·18번)
• 유일한 상: 18번(두 그래프의 교점의 개수)

영신여고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

서울 노원구 영신여자고등학교의 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 21문항입니다. 정답 기록을 보면 1~18번은 선택형, 19~21번 세 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

미분과 적분의 비중이 거의 반반입니다. 도함수의 활용 (2)·(3) 11문항, 부정적분·정적분·정적분의 활용 10문항입니다. 2학기 기말 범위가 미분 후반부터 적분 끝까지 넓게 걸쳐 있다는 뜻입니다.

미분 파트 안에서는 도함수의 활용 (3)이 8문항으로, 극대·극소를 직접 묻는 도함수의 활용 (2) 3문항보다 훨씬 많습니다. 극대·극소를 그 자체로 묻기보다 방정식·부등식·속도 문제를 푸는 도구로 쓰는 시험입니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 6문항, 상 1문항

1~3번이 연속 하로 시작합니다. 극댓값 계산, 일차함수의 정적분, 포물선과 x축 사이의 넓이로 각 파트의 기본 공식을 확인하는 문항들입니다.

중상 6문항은 11번부터 21번 사이에 흩어져 있습니다. 선택형 11·14·16·17번과 뒤쪽 20·21번입니다. 상은 18번 한 문항입니다. 11번 이후로는 거의 두 문항에 하나꼴로 중상 이상이 나온다고 보면 됩니다.

뒤쪽 세 문항 중 19번은 하입니다. 시험 마지막 구간에도 확보할 수 있는 문항이 있으니, 선택형 후반에서 막히면 19번부터 먼저 챙기는 것도 방법입니다.

출제 단원 — 도함수의 활용 (3) 8문항

도함수의 활용 (3) 한 단원이 38% 입니다. 이 단원 8문항 안에 속도·운동 3문항(4·12·19번), 변화율 1문항(9번), 실근·교점 개수 3문항(13·16·18번), 부등식 1문항(8번) 이 들어 있습니다. 유일한 상인 18번도 이 단원입니다.

적분 쪽은 정적분 5문항, 정적분의 활용 4문항으로 비교적 고르게 나뉘었고, 부정적분은 7번 하나입니다.

시그니처 — 교점 개수와 속도

두 번씩 나온 유형이 세 개입니다.

• 두 그래프의 교점의 개수 — 16번(중상, 직선 교점 수와 극값 조건), 18번(상, 구간별 함수의 교점 조건)
• 속도 — 4번(중, 두 점의 같은 속도 순간 거리), 12번(중, 두 점의 거리 감소 구간)
• 곡선과 x축 사이의 넓이 — 3번(하, 포물선과 축의 영역 넓이), 11번(중상, 짝함수 사차식 영역 넓이)

교점 개수 유형이 중상·상으로 두 번 나왔다는 점이 가장 중요합니다. 13번(방정식의 실근 개수, 절댓값 함수)까지 포함하면 그래프를 그려 교점을 세는 문항이 세 개입니다. 극대·극소를 구해 그래프의 개형을 정확히 그리는 힘이 이 시험의 핵심입니다.

속도 두 문항(4·12번)은 모두 두 점의 운동을 다룹니다. 두 점의 속도가 같은 순간, 두 점 사이 거리가 줄어드는 구간처럼 두 위치 함수를 함께 비교하는 설정입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (2) — 극대·극소 (1·5·21번) — 3문항

1번 하 함수의 극대·극소 · 삼차함수의 극댓값 계산, 5번 중 도함수의 그래프를 이용한 함수의 극대·극소 · 도함수 그래프의 극값 판정, 21번 중상 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 · 접선 절편 함수와 미분가능성.

5번은 f′(x)의 그래프가 주어지는 유형입니다. f′(x)의 부호가 +에서 −로 바뀌면 극대, −에서 +로 바뀌면 극소입니다. 그래프가 x축에 닿기만 하고 부호가 그대로면 극값이 아니라는 점을 놓치지 마세요.

2. 도함수의 활용 (3) — 속도와 변화율 (4·9·12·19번)

4번 중 속도 · 두 점의 같은 속도 순간 거리, 9번 중 시각에 대한 부피의 변화율 · 원뿔 물 부피의 변화율, 12번 중 속도 · 두 점의 거리 감소 구간, 19번 하 속도·가속도와 운동 방향 · 속도 부호와 운동 방향 변화.

9번은 원뿔 물 부피의 변화율 문항입니다. 원뿔 모양 그릇의 부피 변화율 유형은 수면의 높이와 반지름의 관계를 닮음비로 먼저 정리한 뒤, 부피를 시각 t의 식으로 놓고 미분하는 것이 기본 절차입니다.

3. 도함수의 활용 (3) — 방정식·부등식 (8·13·16·18번)

8번 중 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건 · 구간의 부등식 최솟값 조건, 13번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 · 절댓값 함수의 실근 개수, 16번 중상 두 그래프의 교점의 개수 · 직선 교점 수와 극값 조건, 18번 상 두 그래프의 교점의 개수 · 구간별 함수의 교점 조건.

13번처럼 절댓값이 들어간 함수는 절댓값 안의 부호에 따라 그래프를 나눠 그려야 합니다. 그래프를 정확히 그리면 직선 y=k와의 교점 개수는 눈으로 셀 수 있습니다.

4. 부정적분 (7번) — 1문항

7번 중 부정적분과 미분의 관계를 이용하여 함수 구하기 · 도함수와 인수 조건으로 계수.

5. 정적분 (2·6·14·15·20번) — 5문항

2번 하 정적분의 계산; 적분 구간이 같은 경우 · 일차함수의 정적분 계산, 6번 중 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우 · 상수 적분값의 항등식, 14번 중상 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소 · 누적 적분의 최댓값 비교, 15번 중 주기함수의 정적분 · 준주기함수의 블록 적분, 20번 중상 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우 · 변수 정적분 항등식의 복원.

6번(구간이 상수)과 20번(위끝 또는 아래끝에 변수) 은 정적분을 포함한 등식의 두 대표 유형입니다. 구간이 상수면 정적분을 상수로 두고, 변수가 들어 있으면 양변을 미분하는 것이 기본입니다.

6. 정적분의 활용 (3·10·11·17번) — 4문항

3번 하 곡선과 x축 사이의 넓이 · 포물선과 축의 영역 넓이, 10번 중 움직인 거리 · 속도식의 위치와 이동거리, 11번 중상 곡선과 x축 사이의 넓이 · 짝함수 사차식 영역 넓이, 17번 중상 곡선과 직선 사이의 넓이 · 직선과 삼차곡선 영역 넓이.

11번처럼 짝함수가 나오면 y축 대칭을 써서 한쪽만 계산하고 2배 하면 계산이 절반으로 줄어듭니다. 10번은 위치와 움직인 거리를 구분하는 문항입니다. 위치는 속도를 그대로, 움직인 거리는 속도의 절댓값을 적분합니다.

주의 문항 — 상 1문항, 중상 6문항

18번 상 (두 그래프의 교점의 개수) — 구간별로 정의된 함수와의 교점 조건을 따지는 문항입니다. 구간마다 그래프를 나눠 그려야 합니다.

16번 중상 (교점의 개수) — 직선과의 교점 수를 극값 조건과 연결합니다. 18번의 전 단계로 보면 됩니다.

11·17번 중상 (넓이) — 짝함수 사차식의 영역 넓이, 직선과 삼차곡선 사이의 넓이입니다. 교점을 먼저 구해야 적분 구간이 정해집니다.

14번 중상 (정적분으로 정의된 함수의 최대·최소) — 누적 적분의 최댓값을 비교합니다.

20번 중상 (변수 정적분 항등식) — 답을 직접 쓰는 문항입니다.

21번 중상 (극대·극소를 이용한 미정계수) — 시험 마지막 문항으로, 접선의 절편을 함수로 보고 미분가능성까지 따지는 문항입니다.

영신여고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 극댓값·극솟값 계산 — 1번 대비. 확보 구간.
2. ★ 도함수의 그래프로 극값 판정 — 5번 대비. 부호 변화 확인.
3. ★ 그래프 개형으로 실근·교점 개수 세기 — 13·16·18번 대비. 이 시험의 핵심.
4. 부등식이 항상 성립할 조건 — 8번 대비. 차함수의 최솟값.
5. 두 점의 속도와 위치 비교 — 4·12번 대비.
6. 운동 방향이 바뀌는 순간 — 19번 대비. 속도 부호 변화.
7. 부피의 변화율 — 9번 대비. 닮음비로 반지름 정리.
8. 부정적분과 미분의 관계 — 7번 대비.
9. 기본 정적분 계산 — 2번 대비. 확보 구간.
10. 정적분을 포함한 등식 두 유형 — 6·20번 대비.
11. 주기함수의 정적분, 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소 — 14·15번 대비.
12. 곡선과 x축·직선 사이의 넓이 — 3·11·17번 대비. 대칭 활용.
13. 위치와 움직인 거리 — 10번 대비.
14. 극대·극소를 이용한 미정계수 결정 — 21번 대비.

자주 나오는 질문

영신여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 21문항입니다. 정답 기록 기준 1~18번은 선택형, 19~21번은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 도함수의 활용 (3)이 8문항으로 가장 많습니다. 이어서 정적분 5문항, 정적분의 활용 4문항, 도함수의 활용 (2) 3문항, 부정적분 1문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 18번 한 문항(두 그래프의 교점의 개수)입니다. 대신 중상이 6문항(11·14·16·17·20·21번)으로 많습니다.

수원 영신여고와 같은 학교인가요?

아닙니다. 이 글은 서울 노원구 영신여자고등학교 시험지입니다.

과년도 영신여고 기출도 볼 수 있나요?

내신판은 확보된 원문만 제공합니다. 찾는 시험지가 없으면 내신판에서 요청할 수 있습니다.

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