서울 노원구 용화여고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

용화여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 19문항입니다. 배치 단원은 도함수의 활용 (2) · 도함수의 활용 (3) · 부정적분 · 정적분 · 정적분의 활용 다섯 갈래입니다. 이 시험의 특징은 문항 수가 19개로 적은 대신 서술형 3문항이 모두 중 이상이라는 점, 그리고 두 번씩 나온 유형이 네 개나 된다는 점입니다.

핵심 요약

• 19문항 — 정답 기록 기준 1~16번 선택형, 17~19번 서술형(3문항)
• 난이도: 하 3 / 중 10 / 중상 5 / 상 1
• 배치 단원: 08 정적분 7 / 06 도함수의 활용 (3) 6 / 09 정적분의 활용 3 / 07 부정적분 2 / 05 도함수의 활용 (2) 1
• 반복 유형: 움직인 거리(4·10번), 우함수·기함수의 정적분(6·12번), 속도·가속도와 운동 방향(7·17번), 절댓값 정적분(9·16번) 각 2회
• 유일한 상: 16번(절댓값 기호를 포함한 정적분)

용화여고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

용화여자고등학교는 서울 노원구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 19문항입니다. 정답 기록을 보면 1~16번은 선택형, 17~19번 세 문항은 풀이를 직접 쓰는 서술형입니다.

단원 비중은 적분 쪽이 더 큽니다. 부정적분·정적분·정적분의 활용이 12문항(63%), 도함수의 활용 (2)·(3)이 7문항(37%) 입니다.

시험 범위 라벨에는 함수의 증가와 감소가 있지만, 배치 단원 기준 05 도함수의 활용 (2) 문항은 13번 하나입니다. 그것도 증가·감소를 직접 묻기보다 최대·최소를 이용해 미정계수를 정하는 유형입니다. 미분 파트의 나머지 6문항은 06 도함수의 활용 (3)(속도·부등식·교점)입니다.

2025학년 난이도 분포 — 하 3, 중 10, 중상 5, 상 1

하 3문항이 1~3번에 연속으로 놓여 있습니다. 속도 계산, 포물선과 x축 사이 넓이, 인접 구간의 정적분 합산입니다. 시험 시작 직후 세 문항은 빠르게 확보해야 합니다.

4~10번은 일곱 문항 연속 중입니다. 그 뒤 11번부터 중상과 상이 섞이기 시작합니다. 선택형 11·13·15번이 중상, 16번이 상입니다.

서술형 세 문항은 17번 중, 18·19번 중상입니다. 서술형 안에서도 뒤로 갈수록 어려워지는 배치입니다.

출제 단원 — 정적분 7문항, 도함수의 활용 (3) 6문항

정적분 7문항이 가장 많고, 유일한 상인 16번과 서술형 19번이 이 단원입니다. 도함수의 활용 (3) 6문항이 뒤를 잇고, 서술형 17번이 여기에 속합니다.

서술형 세 문항은 17번 도함수의 활용 (3), 18번 부정적분, 19번 정적분으로 단원이 하나씩 나뉘어 있습니다. 서술형 대비를 한 단원에만 집중하면 안 되는 구조입니다.

반복 유형 — 네 유형이 두 번씩

이 시험은 19문항 중 8문항이 두 번씩 나온 유형입니다.

• 움직인 거리 — 4번(속도 부호에 따른 거리 적분), 10번(이동거리와 변위의 경계). 둘 다 중.
• 우함수·기함수의 정적분; 피적분함수가 주어지지 않은 경우 — 6번(기함수 도함수의 대칭 적분), 12번(점대칭 함수를 대칭 구간 적분). 둘 다 중.
• 속도·가속도와 운동 방향 — 7번(속도 부호와 운동 방향 조건, 중), 17번(속도·가속도로 위치식 복원, 서술형 중).
• 정적분의 계산; 절댓값 기호를 포함한 함수 — 9번(부호 조건으로 이차함수 복원, 중), 16번(절댓값 적분으로 계수 개수, 상).

속도와 움직인 거리를 묶으면 1·4·7·10·17번 다섯 문항이 수직선 위 점의 운동을 다룹니다. 위치를 미분하면 속도, 속도를 미분하면 가속도, 거꾸로 속도를 적분하면 위치의 변화량, 속도의 절댓값을 적분하면 움직인 거리입니다. 이 네 관계를 한 장에 정리해 두면 다섯 문항이 한 번에 대비됩니다.

4번과 10번의 차이는 움직인 거리와 변위의 구분입니다. 속도의 부호가 바뀌는 시각에서 구간을 나누지 않으면 움직인 거리 대신 위치의 변화량을 구하게 됩니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (3) — 속도·운동 (1·7·17번)

1번 하 속도 · 위치를 미분하여 속도 계산, 7번 중 속도·가속도와 운동 방향 · 속도 부호와 운동 방향 조건, 17번 중(서술형) 속도·가속도와 운동 방향 · 속도·가속도로 위치식 복원.

17번은 속도·가속도로 위치식을 복원하는 서술형입니다. 조건을 하나씩 식으로 옮기는 과정을 순서대로 적어야 합니다.

2. 도함수의 활용 (3) — 부등식과 교점 (5·11·15번)

5번 중 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건 · 두 함수 차의 구간 최솟값, 11번 중상 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건 · 도함수 절댓값 부등식 조건, 15번 중상 두 그래프의 교점의 개수 · 합성함수 교점 개수의 조건.

5번은 h(x)=f(x)−g(x)로 놓고 구간에서의 최솟값을 구하는 표준 유형입니다. 11·15번은 같은 단원의 심화로, 각각 도함수에 절댓값이 붙은 부등식과 합성함수의 교점 개수를 다룹니다.

3. 도함수의 활용 (2) (13번) — 1문항

13번 중상 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정 · 도함수 부호로 사차식 복원.

4. 부정적분 (8·18번) — 2문항

8번 중 부정적분과 극대·극소 · 원시함수의 축 접촉 조건, 18번 중상(서술형) 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기 · 부정적분 관계식을 미분.

18번처럼 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어지면 양변을 미분하는 것이 출발점입니다. 미분한 뒤 적분상수를 정하는 조건을 빠뜨리지 않아야 서술형 감점이 없습니다.

5. 정적분 (3·6·9·12·14·16·19번) — 7문항

3번 하 정적분의 계산; 피적분함수가 같은 경우 · 인접 구간의 정적분 합산, 6번 중 우함수·기함수의 정적분 · 기함수 도함수의 대칭 적분, 9번 중 절댓값 기호를 포함한 함수 · 부호 조건으로 이차함수 복원, 12번 중 우함수·기함수의 정적분 · 점대칭 함수를 대칭 구간 적분, 14번 중 정적분의 계산; 구간에 따라 다르게 정의된 함수 · 정적분 최솟값, 16번 상 절댓값 기호를 포함한 함수 · 절댓값 적분으로 계수 개수, 19번 중상(서술형) 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우 · 정적분 항등식의 함수 복원.

6·12번 대칭 구간 적분은 기함수를 −a부터 a까지 적분하면 0, 우함수면 0부터 a까지의 2배라는 성질을 씁니다. 12번처럼 그래프가 점대칭이면 대칭의 중심으로 평행이동해 기함수로 만드는 발상이 필요합니다.

19번처럼 적분 구간이 상수인 정적분은 하나의 상수입니다. 상수 k로 두고 원래 식에 대입해 k에 대한 방정식을 세우는 것이 표준 풀이입니다.

6. 정적분의 활용 (2·4·10번) — 3문항

2번 하 곡선과 x축 사이의 넓이 · 포물선과 축 사이 넓이, 4번 중 움직인 거리 · 속도 부호에 따른 거리 적분, 10번 중 움직인 거리 · 이동거리와 변위의 경계.

주의 문항 — 상 1문항, 중상 5문항

16번 상 (절댓값 정적분) — 절댓값 적분 조건을 만족하는 계수의 개수를 묻습니다.

11번 중상 (모든 실수에서 부등식) — 도함수에 절댓값이 붙은 부등식 조건입니다.

13번 중상 (최대·최소를 이용한 미정계수) — 도함수의 부호에서 사차식을 복원합니다.

15번 중상 (합성함수의 교점 개수) — 합성함수 교점 유형은 안쪽 함수의 값 범위부터 따지는 것이 기본입니다.

18·19번 중상 (서술형) — 부정적분 관계식과 정적분 항등식입니다. 둘 다 함수를 복원하는 문항이라 과정을 단계별로 써야 부분 점수를 지킬 수 있습니다.

용화여고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 위치·속도·가속도·움직인 거리 관계 정리 — 1·4·7·10·17번 대비. 다섯 문항 공통 토대.
2. 정적분 기본 계산과 구간 합치기 — 3번 대비. 확보 구간.
3. 곡선과 x축 사이의 넓이 — 2번 대비. 확보 구간.
4. ★ 우함수·기함수와 대칭 구간 적분 — 6·12번 대비. 점대칭은 평행이동.
5. ★ 절댓값 정적분 — 9·16번 대비. 16번은 유일한 상.
6. 구간별로 정의된 함수의 정적분 — 14번 대비.
7. 부등식이 항상 성립할 조건 — 5·11번 대비. 차함수의 최솟값.
8. 합성함수의 교점 개수 — 15번 대비.
9. 최대·최소를 이용한 미정계수 결정 — 13번 대비.
10. 부정적분과 극대·극소 — 8번 대비.
11. ★ 부정적분 관계식, 정적분 항등식 — 18·19번 서술형 대비. 미분하거나 상수로 두기.

자주 나오는 질문

용화여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 19문항입니다. 정답 기록 기준 1~16번은 선택형, 17~19번은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분이 7문항으로 가장 많고, 도함수의 활용 (3)이 6문항입니다. 적분 세 단원을 합치면 12문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 16번 한 문항(절댓값 기호를 포함한 정적분)입니다. 중상은 11·13·15·18·19번 다섯 문항입니다.

서술형은 어떤 단원에서 나오나요?

17번 도함수의 활용 (3)(속도·가속도), 18번 부정적분, 19번 정적분으로 세 단원에서 하나씩 나왔습니다.

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