서울 도봉구 창동고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

창동고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 배치 단원은 도함수의 활용 (1)·(2)·(3) · 부정적분 · 정적분 · 정적분의 활용 여섯 단원으로, 평균값 정리부터 정적분의 활용까지 넓게 걸쳐 있습니다. 이 시험의 특징은 하 5문항으로 기본 문항이 넉넉한 대신, 상 3문항이 17·18·20번으로 뒤에 몰려 있다는 점입니다.

핵심 요약

• 20문항 — 정답 기록 기준 1~18번 선택형, 19·20번 서술형(2문항)
• 난이도: 하 5 / 중 9 / 중상 3 / 상 3
• 배치 단원: 08 정적분 6 / 09 정적분의 활용 4 / 04 도함수의 활용 (1) 3 / 05 도함수의 활용 (2) 3 / 06 도함수의 활용 (3) 3 / 07 부정적분 1
• 반복 유형: 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우 2회(2·9번)
• 가장 까다로운 구간: 14~18번 다섯 문항 연속 중상 이상, 서술형 20번 상

창동고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

창동고등학교는 서울 도봉구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 20문항입니다. 정답 기록을 보면 1~18번은 선택형, 19·20번 두 문항은 풀이를 직접 쓰는 서술형입니다.

단원 비중은 미분 9문항(45%), 적분 11문항(55%) 으로 거의 반반입니다. 미분 쪽은 도함수의 활용 (1)·(2)·(3)이 정확히 3문항씩이고, 적분 쪽은 정적분 6문항, 정적분의 활용 4문항, 부정적분 1문항입니다.

이 시험은 유형 반복이 거의 없습니다. 20문항 중 같은 유형이 두 번 나온 것은 평균값 정리(2·9번) 하나뿐입니다. 나머지 18문항은 모두 서로 다른 유형입니다. 특정 유형만 반복 연습해서는 대비가 안 되고, 교과서 소단원별 대표 유형을 하나씩 다 훑는 공부가 필요합니다.

2025학년 난이도 분포 — 하 5, 상 3

하 5문항이 네 문항 중 하나꼴입니다. 1·2·5·9번은 선택형 앞쪽에, 19번은 서술형에 있습니다. 서술형 19번이 하라는 점은 반드시 챙겨야 할 포인트입니다.

난이도 배치가 매우 뚜렷합니다. 1~13번은 하와 중만, 14번부터 18번까지 다섯 문항이 연속 중상 이상(14·15·16번 중상, 17·18번 상)입니다. 앞 13문항을 빠르게 정리하고 뒤쪽 다섯 문항과 서술형 20번(상)에 시간을 남기는 것이 기본 전략입니다.

출제 단원 — 여섯 단원

정적분 6문항이 가장 많고, 그중 14·16·20번 세 문항이 중상 이상입니다. 세 문항 모두 정적분으로 정의된 함수(그래프와 정적분으로 정의된 함수, 극대·극소, 최대·최소)를 다룹니다.

도함수의 활용 (1) 3문항은 평균값 정리 두 문항(2·9번, 둘 다 하)과 접선의 기울기 최솟값(17번, 상)입니다. 같은 단원 안에서 난이도 차이가 큽니다.

핵심 — 정적분으로 정의된 함수

이 시험에서 가장 무게가 실린 주제는 정적분으로 정의된 함수입니다.

• 13번 중 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우 · 적분 항등식에서 계수 결정
• 14번 중상 그래프와 정적분으로 정의된 함수 · 적분함수 극값과 도형 넓이
• 16번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 · 적분함수 극값과 부호
• 20번 상(서술형) 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소 · 매개변수 정적분의 최소

이 유형들의 기본 도구는 위끝이 x인 정적분을 미분하면 피적분함수가 된다는 미적분의 기본정리입니다. 이것으로 도함수를 얻고, 그 부호로 극대·극소(16번), 그래프 해석(14번), 최대·최소(20번)를 따집니다.

평균값 정리 두 문항(2·9번) 은 모두 하입니다. 2번은 평균값 정리를 만족하는 상수를 계산하고, 9번은 평균값 정리로 상수함수를 판정하는 문항입니다. 정의를 알면 바로 풀리는 확보 문항입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (1) (2·9·17번) — 3문항

2번 하 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우 · 평균값 정리의 상수 계산, 9번 하 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우 · 평균값 정리에 의한 상수함수, 17번 상 접선의 기울기의 최댓값 또는 최솟값 · 접선 조건과 기울기의 최소.

17번은 평행한 접선과 인수 구조를 함께 쓰는 상 문항입니다. 같은 함숫값 조건에서 인수 구조를 세우고, 평행한 접선 조건과 기울기의 최소 조건으로 계수를 정하는 여러 단계를 거칩니다.

2. 도함수의 활용 (2) (3·11·15번) — 3문항

3번 중 함수의 증가와 감소 · 증가와 감소의 구간, 11번 중 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 · 극값에서 다항함수 복원, 15번 중상 사차함수가 극댓값 또는 극솟값을 가질 조건 · 실근 수와 사차함수 극값.

15번 사차함수의 극값 조건은 도함수인 삼차방정식의 실근 개수로 바뀝니다. 삼차방정식 f′(x)=0이 서로 다른 세 실근을 가질 때 극대와 극소가 모두 생깁니다.

3. 도함수의 활용 (3) (7·10·19번) — 3문항

7번 중 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건 · 구간 부등식의 한계, 10번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 · 삼차방정식의 두 실근, 19번 하(서술형) 속도 · 위치함수에서 속도 계산.

10번처럼 삼차방정식이 서로 다른 두 실근을 가지려면 극댓값과 극솟값 중 하나가 0이어야 합니다. 그래프가 x축에 접하는 상황입니다.

4. 부정적분 (6번) — 1문항

6번 중 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기 · 함수와 부정적분의 항등식.

5. 정적분 (1·8·13·14·16·20번) — 6문항

1번 하 정적분의 계산; 적분 구간이 같은 경우 · 다항함수의 정적분 계산, 8번 중 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우 · 상수 정적분에서 함수 복원, 13·14·16·20번 위 핵심 항목 참고.

8번(구간이 상수)과 13번(위끝에 변수) 은 정적분 등식의 두 대표 유형입니다. 상수 구간이면 정적분을 상수 k로 두고, 변수 구간이면 양변을 미분합니다.

6. 정적분의 활용 (4·5·12·18번) — 4문항

4번 중 곡선과 x축 사이의 넓이 · 부호에 따른 곡선의 넓이, 5번 하 위치와 위치의 변화량 · 속도 적분에서 위치 계산, 12번 중 움직인 거리 · 구간별 속도와 이동거리, 18번 상 함수와 역함수의 그래프의 y=x 대칭을 이용한 넓이.

18번은 역함수 대칭을 이용한 넓이입니다. 함수와 역함수의 그래프는 직선 y=x에 대해 대칭이므로, 역함수 쪽 넓이를 원래 함수 쪽 넓이로 바꿔 계산합니다.

주의 문항 — 상 3문항, 중상 3문항

17번 상 (접선의 기울기의 최솟값) — 인수 구조, 평행한 접선, 기울기 최소가 한 문항에 들어갔습니다.

18번 상 (역함수 대칭 넓이) — y=x 대칭으로 넓이를 옮기는 발상이 필요합니다.

20번 상 (서술형, 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소) — 매개변수가 들어간 정적분의 최솟값을 구하는 마지막 문항입니다. 과정을 단계별로 적어야 부분 점수를 지킬 수 있습니다.

14·16번 중상 (정적분으로 정의된 함수) — 기본정리로 도함수를 얻은 뒤 그래프와 부호를 해석합니다.

15번 중상 (사차함수의 극값 조건) — 도함수의 실근 개수로 바꾸는 것이 핵심입니다.

창동고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. ★ 평균값 정리의 정의 — 2·9번 대비. 하 두 문항 확보.
2. 다항함수 정적분 계산, 속도로 위치 구하기 — 1·5번 대비. 확보 구간.
3. 위치함수에서 속도 — 19번 서술형 대비. 확보 구간.
4. 증가·감소 구간, 극값으로 미정계수 결정 — 3·11번 대비.
5. 사차함수가 극값을 가질 조건 — 15번 대비.
6. 삼차방정식의 실근 개수 — 10번 대비. 극값과 x축.
7. 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건 — 7번 대비.
8. 함수와 부정적분 관계식 — 6번 대비.
9. 정적분 등식 두 유형 — 8·13번 대비.
10. ★ 정적분으로 정의된 함수의 극값·최대·최소 — 14·16·20번 대비. 이 시험의 핵심.
11. 곡선과 x축 사이 넓이, 움직인 거리 — 4·12번 대비.
12. 접선의 기울기의 최대·최소 — 17번 대비.
13. 역함수 대칭을 이용한 넓이 — 18번 대비.

자주 나오는 질문

창동고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항입니다. 정답 기록 기준 1~18번은 선택형, 19·20번은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분 6문항이 가장 많고, 정적분의 활용 4문항이 뒤를 잇습니다. 도함수의 활용 (1)·(2)·(3)은 각 3문항, 부정적분은 1문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 17·18·20번 세 문항입니다. 접선의 기울기의 최솟값, 역함수 대칭을 이용한 넓이, 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소(서술형)입니다.

평균값 정리는 어렵게 나오나요?

아닙니다. 평균값 정리 두 문항(2·9번)은 모두 하입니다. 정의를 정확히 알면 확보할 수 있습니다.

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