서울 노원구 불암고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)
서울 노원구 불암고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 배치 단원은 04 도함수의 활용 (1)부터 09 정적분의 활용까지 여섯 단원으로, 미분과 적분이 한 시험지에 함께 들어 있습니다. 중 난이도가 11문항으로 절반이고, 상 2문항은 선택형 마지막 18번과 서술형 21번에 있습니다.
핵심 요약
- 22문항. 정답 기록 기준 1~18번 선택형, 19~22번 서술형 4문항
- 난이도: 하 3 / 중 11 / 중상 6 / 상 2
- 배치 단원: 08 정적분 6 / 06 도함수의 활용 (3) 5 / 09 정적분의 활용 5 / 05 도함수의 활용 (2) 4 / 07 부정적분 1 / 04 도함수의 활용 (1) 1
- 눈에 띄는 묶음: 넓이 세 문항(6·12·16번), 방정식 f(x)=k의 실근 문항 두 개(2·21번)
- 상 난이도: 18·21번 (21번은 서술형)
불암고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
불암고등학교는 서울 노원구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 22문항이고, 정답 기록 기준 1~18번이 선택형, 19~22번 네 문항이 서술형입니다.
미분 파트(04·05·06 단원)는 10문항, 적분 파트(07·08·09 단원)는 12문항입니다. 적분이 조금 더 많지만 거의 반반입니다. 문항 순서는 단원 순이 아니라 미분과 적분이 번갈아 나옵니다. 1번이 정적분 계산이고, 2번은 다시 방정식의 실근 문제입니다.
04 도함수의 활용 (1)로 배치된 문항은 서술형 20번 롤의 정리 한 문항입니다.
2025학년 난이도 분포 — 중 11문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 3 | 14% | 1·19·20 |
| 중 | 11 | 50% | 2·3·4·5·6·7·8·10·11·13·16 |
| 중상 | 6 | 27% | 9·12·14·15·17·22 |
| 상 | 2 | 9% | 18·21 |
하 3문항 중 두 개가 서술형(19·20번) 입니다. 선택형에서 하 난이도는 1번 하나뿐이라, 선택형은 사실상 중 난이도부터 시작합니다.
선택형 2~8번 일곱 문항이 모두 중입니다. 이 구간을 빠르게 지나가야 9번(중상)부터 이어지는 뒷부분에 시간을 쓸 수 있습니다. 선택형 14·15·17·18번은 중상과 상이 몰린 구간입니다.
출제 단원 — 08 정적분 6문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 08 정적분 | 6 | 1·7·14·15·17·19 |
| 06 도함수의 활용 (3) | 5 | 2·8·10·11·21 |
| 09 정적분의 활용 | 5 | 6·12·13·16·22 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 4 | 4·5·9·18 |
| 07 부정적분 | 1 | 3 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 1 | 20 |
08 정적분 6문항이 가장 많고, 그중 14·15·17번 세 문항이 중상입니다. 06 도함수의 활용 (3)과 09 정적분의 활용이 5문항씩 뒤를 잇습니다. 상 난이도 두 문항은 05 단원(18번)과 06 단원(21번), 즉 미분 파트에서 나왔습니다.
시그니처 — 넓이 세 문항과 실근 두 문항
같은 유형이 두 번 나온 경우는 없습니다. 대신 비슷한 주제가 묶여서 나옵니다.
- 6번 중 곡선과 x축 사이의 넓이
- 12번 중상 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이
- 16번 중 곡선과 직선 사이의 넓이
세 문항 모두 교점을 먼저 구하고, 위아래 부호를 정한 뒤 적분하는 같은 흐름입니다. 12번은 여기에 접선의 방정식을 세우는 단계가 하나 더 붙어 중상입니다.
방정식의 실근도 두 번 나왔습니다. 2번(중)은 세 실근의 부호 조건, 21번(상, 서술형)은 절댓값이 들어간 방정식의 실근 개수입니다. 두 문항 모두 그래프와 직선 y=k의 교점으로 바꿔 보는 것이 출발점입니다.
빈출 유형 정리 (2025학년 기출 기준)
1. 정적분 (1·7·14·15·17·19번) — 6문항
1번 하 적분 구간이 같은 경우의 정적분 계산(다항식 정적분값 계산), 7번 중 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소(정적분값의 최솟값 조건), 14번 중상 우함수·기함수의 정적분, 피적분함수가 주어지지 않은 경우(대칭 조건과 정적분값 계산), 15번 중상 정적분을 포함한 등식, 아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우, 17번 중상 그래프와 정적분으로 정의된 함수(도함수 그림과 적분함수 판정), 19번 하 서술형 피적분함수가 같은 경우의 정적분 계산(같은 함수의 적분 구간 결합).
7번은 매개변수에 대해 적분한 결과가 이차식이 되고, 그 이차식의 최솟값을 구하는 흐름입니다.
14번은 함수식이 직접 주어지지 않습니다. 대칭 조건으로 미정값을 정하고 함수를 복원한 뒤 정적분을 계산합니다.
15번은 정적분이 들어간 항등식입니다. 양변을 미분해 함수의 계수를 정하고 함숫값을 구합니다.
17번은 도함수의 그림이 주어지고 적분함수의 성질을 판정하는 문항입니다. 도함수의 부호를 읽어 적분함수가 증가하는 구간을 판단합니다.
2. 도함수의 활용 (3) (2·8·10·11·21번) — 5문항
2번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 부호(세 실근의 부호 조건 해석), 8번 중 속도·가속도와 운동 방향(속도 부호로 운동 방향 판정), 10번 중 시각에 대한 부피의 변화율(물의 부피에 대한 순간 변화율), 11번 중 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건(주어진 구간의 부등식 최대 조건), 21번 상 서술형 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(절댓값 방정식의 실근 개수).
10번은 닮음으로 반지름을 구하고 부피를 미분하는 순서입니다.
8번은 속도의 부호가 바뀌는 시각이 운동 방향이 바뀌는 시각이라는 점을 씁니다.
21번 서술형은 대칭으로 중심이 되는 근을 먼저 찾고, 높이별로 근의 개수를 나누는 상 난이도 문항입니다.
3. 정적분의 활용 (6·12·13·16·22번) — 5문항
6번 중 곡선과 x축 사이의 넓이, 12번 중상 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이, 13번 중 함수와 그 역함수의 정적분(함수와 역함수의 적분 관계), 16번 중 곡선과 직선 사이의 넓이(곡선과 직선의 넓이 차), 22번 중상 서술형 움직인 거리(가속도 조건과 움직인 거리).
13번 역함수의 정적분은 직사각형 넓이에서 빼는 관계를 그림으로 확인하면 계산이 짧아집니다.
22번 서술형은 가속도 조건으로 시각을 정하고, 속도 부호별로 거리를 나눠 구하는 문항입니다. 위치의 변화량과 움직인 거리를 구분하는지가 핵심입니다.
4. 도함수의 활용 (2) (4·5·9·18번) — 4문항
4번 중 함수의 극대·극소(극대점과 극댓값 계산), 5번 중 실수 전체의 집합에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건(전 구간 증가의 판별식 조건), 9번 중상 최대·최소의 활용, 넓이(삼각형 넓이의 최댓값), 18번 상 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정(구간 최소함수의 미분불가 조건).
5번은 도함수가 항상 0 이상이어야 한다는 조건을 판별식으로 바꾸는 기본형입니다.
9번은 넓이를 식으로 세우고 극점과 구간 끝값을 비교합니다.
5. 부정적분·롤의 정리 (3·20번) — 2문항
3번 중 도함수가 주어질 때 함수 구하기(도함수를 적분하여 함숫값 계산), 20번 하 서술형 롤의 정리(롤의 정리로 내부점 계산).
20번은 이 시험의 하 3문항 중 하나입니다. 서술형이라도 반드시 점수를 챙겨야 하는 문항입니다.
주의 문항 — 상 2문항, 중상 6문항
18번 상 (구간 최소함수의 미분불가 조건) — 구간에서 최솟값을 함수로 보고, 매개변수 부호에 따라 경우를 나눈 뒤 끝점 값과 극솟값이 바뀌는 지점의 미분가능성을 따집니다. 선택형 마지막 문항입니다.
21번 상 서술형 (절댓값 방정식의 실근 개수) — 높이별 근의 개수를 나눠 조건에 맞는 경우를 고릅니다.
중상 6문항(9·12·14·15·17·22번) 중 14·15·17번 세 개가 08 정적분입니다. 정적분 단원을 계산 연습만으로 끝내면 이 구간에서 막힙니다.
불암고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서
- 정적분 기본 계산과 적분 구간 결합 — 1·19번 대비. 확보 구간.
- 롤의 정리 — 20번 대비. 서술형 확보 문항.
- 도함수로 함수 구하기 — 3번 대비.
- 극대·극소와 증가 조건(판별식) — 4·5번 대비.
- 속도·운동 방향과 부피 변화율 — 8·10번 대비.
- 부등식이 항상 성립할 조건 — 11번 대비.
- ★ 방정식 f(x)=k의 실근 — 2·21번 대비. 부호와 개수 둘 다.
- 최대·최소의 활용(넓이) — 9번 대비.
- ★ 넓이 세 유형(x축·직선·접선) — 6·12·16번 대비.
- 역함수의 정적분 — 13번 대비.
- 우함수·기함수와 대칭 조건 — 14번 대비.
- 정적분을 포함한 등식 — 15번 대비.
- 정적분으로 정의된 함수(그래프·최대최소) — 7·17번 대비.
- 움직인 거리 — 22번 대비.
- 구간 최솟값 함수의 미분가능성 — 18번 대비. 마지막에 도전.
자주 나오는 질문
불암고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 22문항입니다. 정답 기록 기준 1~18번은 선택형, 19~22번 네 문항은 서술형입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 08 정적분이 6문항으로 가장 많습니다. 06 도함수의 활용 (3)과 09 정적분의 활용이 각 5문항, 05 도함수의 활용 (2) 4문항, 07 부정적분과 04 도함수의 활용 (1)이 각 1문항입니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도는 2문항(18·21번) 입니다. 18번은 선택형 마지막, 21번은 서술형입니다.
쉬운 문항은 몇 개인가요?
하 난이도는 1·19·20번 세 문항입니다. 중 11문항까지 합치면 14문항이 기본 점수 구간입니다.
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