서울 노원구 상계고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

서울 노원구 상계고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 배치 단원은 05 도함수의 활용 (2)부터 09 정적분의 활용까지 다섯 단원입니다. 이 시험의 특징은 중상 10문항입니다. 상 2문항까지 합치면 중상 이상이 12문항(55%) 으로 절반을 넘고, 하 난이도는 1번 한 문항뿐입니다.

핵심 요약

• 22문항. 정답 기록 기준 1~18번 선택형, 19~22번 서술형 4문항
• 난이도: 하 1 / 중 9 / 중상 10 / 상 2
• 배치 단원: 08 정적분 7 / 06 도함수의 활용 (3) 6 / 05 도함수의 활용 (2) 5 / 07 부정적분 2 / 09 정적분의 활용 2
• 두 번씩 나온 유형: 삼차방정식의 근의 판별(4·20번), 극대·극소를 이용한 미정계수 결정(5·6번), 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소(21·22번)
• 상 난이도: 17·18번 연속

상계고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

상계고등학교는 서울 노원구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 22문항이고, 정답 기록 기준 1~18번이 선택형, 19~22번 네 문항이 서술형입니다.

미분 파트(05·06 단원)는 11문항, 적분 파트(07·08·09 단원)는 11문항으로 정확히 반반입니다. 그런데 적분 파트 안에서는 08 정적분이 7문항으로 크게 쏠려 있고, 09 정적분의 활용은 2문항뿐입니다. 넓이·움직인 거리보다 정적분 자체의 성질과 정적분으로 정의된 함수를 더 많이 물었습니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 이상 12문항

하 난이도는 1번 하나입니다. 2번부터는 전부 중 이상입니다.

선택형 14~18번 다섯 문항이 모두 중상 이상이고, 그 끝에 상 17·18번이 연달아 붙어 있습니다. 서술형도 19번(중)을 빼면 20~22번이 모두 중상입니다. 시험지 뒤쪽 절반에서 쉬어 갈 문항이 거의 없는 구조입니다.

출제 단원 — 08 정적분 7문항

08 정적분 7문항(32%) 이 가장 많습니다. 서술형 21·22번이 둘 다 08 단원이고, 상 18번도 08 단원입니다. 06 도함수의 활용 (3)은 6문항으로, 상 17번과 서술형 19·20번이 여기 있습니다.

시그니처 유형 — 같은 유형을 두 번씩

세 유형이 각각 두 번씩 나왔습니다.

• 삼차방정식의 근의 판별 — 4번(중, 세 실근 조건)과 20번(중상 서술형, 실근 개수의 변화)
• 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 — 5번(중, 극대 조건에서 미정계수 결정)과 6번(중상, 사차함수 극값의 합으로 상수 결정)
• 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 21번(중상 서술형, 극대 조건)과 22번(중상 서술형, 극솟값 조건)

4번과 20번은 같은 유형이지만 난이도가 다릅니다. 4번은 두 극값의 높이로 세 실근 조건을 따지는 기본형이고, 20번은 근의 개수가 바뀌는 경계에서 중근을 찾는 문항입니다. 극댓값과 극솟값의 부호로 실근 개수를 판단하는 원리가 두 문항의 공통 뿌리입니다.

서술형 21·22번은 연달아 같은 유형입니다. 정적분으로 정의된 함수를 미분하면 피적분함수가 된다는 점에서 출발해 극값 조건을 씁니다. 22번은 여기에 홀함수 성질이 더해집니다.

빈출 유형 정리 (2025학년 기출 기준)

1. 정적분 (1·7·13·16·18·21·22번) — 7문항

1번 하 적분 구간이 같은 경우의 정적분 계산(일차식 정적분값 계산), 7번 중 정적분을 포함한 등식, 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우(아래끝 대입과 미분), 13번 중 정적분을 포함한 등식, 아래끝과 위끝이 상수인 경우(상수 적분값을 이용한 함수 결정), 16번 중상 주기함수의 정적분(주기와 대칭을 이용한 정적분), 18번 상 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소(움직이는 구간의 최댓값 적분), 21번 중상 서술형 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소, 22번 중상 서술형 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소.

7번과 13번은 "정적분을 포함한 등식"의 두 갈래입니다. 적분 끝에 변수가 있으면 그 끝값을 대입하고 미분합니다(7번). 적분 끝이 상수면 적분값을 하나의 상수로 두고 함수를 정합니다(13번). 두 처리를 구분하는 것이 기본입니다.

16번은 평행이동과 홀함수의 성질로 주기 구간을 묶고, 남은 구간만 계산하는 문항입니다.

18번은 적분 구간이 움직이는 함수의 최댓값을 다룹니다. 이 시험의 상 두 문항 중 하나입니다.

2. 도함수의 활용 (3) (4·10·15·17·19·20번) — 6문항

4번 중 삼차방정식의 근의 판별(세 실근 조건), 10번 중 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건(사차 부등식이 항상 성립할 조건), 15번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(절댓값 함수의 미분불가능한 점의 개수), 17번 상 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건(반직선에서 0 이상 조건과 최솟값), 19번 중 서술형 위로 던진 물체의 위치와 속도(최고 높이와 착지 시각의 속도), 20번 중상 서술형 삼차방정식의 근의 판별(실근 개수의 변화).

10번은 두 함수의 차를 새 함수로 두고 그 최솟값을 봅니다. 등호가 없는 부등식이라 최솟값이 0보다 커야 합니다.

15번은 절댓값 함수가 미분 불가능한 점의 개수를 묻습니다. 극대·극소의 높이를 비교하고, 경계에서 중근이 되는 경우를 따로 판단해야 합니다.

19번 서술형은 최고 높이에서 속도가 0이라는 점, 착지 시각에 높이가 0이라는 점으로 풉니다. 서술형 중 유일한 중 난이도입니다.

3. 도함수의 활용 (2) (2·5·6·9·11번) — 5문항

2번 중 도함수의 그래프의 해석(도함수 그림에서 증가·극값 판정), 5번 중 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 6번 중상 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정(사차함수 극값의 합), 9번 중상 최대·최소의 활용, 부피(내접 원기둥 부피의 최댓값), 11번 중상 삼차함수가 주어진 구간에서 극값을 가질 조건(정해진 구간의 극소점 조건).

9번은 닮음으로 부피를 한 문자의 식으로 만든 뒤 미분해 최댓값을 구합니다.

11번은 도함수의 근이 주어진 구간 안에 있도록 구간 경계에서 부호를 따지고, 조건을 만족하는 정수 범위를 셉니다.

4. 부정적분 (3·14번) — 2문항

3번 중 도함수가 주어질 때 함수 구하기(초기조건으로 함수 복원), 14번 중상 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기(함수와 부정적분의 항등식).

14번은 다항식의 차수를 먼저 정하고 계수를 비교하는 문항입니다.

5. 정적분의 활용 (8·12번) — 2문항

8번 중 위치와 위치의 변화량(속도 정적분과 처음 위치), 12번 중상 두 곡선 사이의 넓이의 활용, 이등분(가로축이 두 도형을 이등분하는 조건).

주의 문항 — 상 2문항과 중상 10문항

17번 상 (반직선에서 0 이상 조건과 최솟값) — 두 함수의 차가 이중근을 갖는 구조를 찾아야 원래 함수의 계수가 복원됩니다.

18번 상 (움직이는 구간의 최댓값 적분) — 적분 구간이 움직일 때 최댓값이 어떻게 바뀌는지 구조를 먼저 파악해야 합니다.

중상 10문항은 05·06·07·08·09 다섯 단원에 모두 퍼져 있습니다. 특정 단원만 깊게 파서는 대비가 안 되고, 단원마다 응용 문항 하나씩은 풀어 둬야 하는 시험입니다.

상계고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 정적분 기본 계산 — 1번 대비. 유일한 하 문항.
2. 도함수로 함수 구하기 — 3번 대비.
3. 도함수의 그래프 해석 — 2번 대비.
4. ★ 극대·극소로 미정계수 결정 — 5·6번 대비.
5. 위치와 위치의 변화량 — 8번 대비.
6. 위로 던진 물체의 운동 — 19번 서술형 대비.
7. ★ 삼차방정식의 근의 판별 — 4·20번 대비. 극값의 부호로 실근 개수 판단.
8. 부등식이 항상 성립할 조건 — 10·17번 대비.
9. 최대·최소의 활용(부피) — 9번 대비.
10. 주어진 구간에서 극값을 가질 조건 — 11번 대비.
11. 정적분을 포함한 등식 두 갈래 — 7·13번 대비.
12. 함수와 부정적분의 관계식 — 14번 대비.
13. 절댓값 함수와 실근의 개수 — 15번 대비.
14. 주기함수의 정적분 — 16번 대비.
15. ★ 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소·최대 — 18·21·22번 대비.
16. 넓이의 이등분 — 12번 대비.

자주 나오는 질문

상계고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 22문항입니다. 정답 기록 기준 1~18번은 선택형, 19~22번 네 문항은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 08 정적분이 7문항으로 가장 많습니다. 06 도함수의 활용 (3) 6문항, 05 도함수의 활용 (2) 5문항, 07 부정적분과 09 정적분의 활용이 각 2문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 17·18번 두 문항으로 선택형 끝에 연달아 있습니다. 다만 중상이 10문항이라 상 문항보다 중상 구간을 얼마나 지키느냐가 점수를 더 크게 가릅니다.

쉬운 문항은 몇 개인가요?

하 난이도는 1번 한 문항입니다. 중 9문항(2·3·4·5·7·8·10·13·19번)까지 합쳐 10문항이 기본 점수 구간입니다.

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