서울 노원구 상명고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

서울 노원구 상명고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 이 시험은 난도가 높습니다. 상 4문항·중상 10문항으로 중상 이상이 14문항(67%) 이고, 하 난이도는 2번 한 문항뿐입니다. 배치 단원은 05 도함수의 활용 (2), 06 도함수의 활용 (3), 08 정적분, 09 정적분의 활용 네 단원입니다.

핵심 요약

• 21문항. 정답 기록 기준 1~16번 선택형, 17~21번 서술형 5문항
• 난이도: 하 1 / 중 6 / 중상 10 / 상 4
• 배치 단원: 06 도함수의 활용 (3) 7 / 05 도함수의 활용 (2) 5 / 08 정적분 5 / 09 정적분의 활용 4
• 두 번씩 나온 유형: 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(8·9번, 둘 다 상), 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소(12·14번), 극대·극소를 이용한 미정계수 결정(1·17번)
• 상 난이도: 8·9·14·19번 (19번은 서술형)

상명고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

상명고등학교는 서울 노원구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 21문항이고, 정답 기록 기준 1~16번이 선택형, 17~21번 다섯 문항이 서술형입니다.

미분 파트(05·06 단원)가 12문항, 적분 파트(08·09 단원)가 9문항입니다. 미분 쪽이 조금 더 무겁습니다. 시험 범위 라벨에 들어 있는 03 미분계수와 도함수 단원으로 배치된 문항은 0개이고, 07 부정적분 단원 문항도 없습니다. 실제로는 도함수의 활용부터 정적분의 활용까지가 출제 구간입니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 이상 14문항

선택형 5~9번 다섯 문항이 연달아 중상 이상이고, 그 끝의 8·9번이 둘 다 상입니다. 시험지 앞쪽 3분의 1 지점에서 이미 가장 어려운 구간을 만나는 셈입니다. 1~4번(하 1·중 3)을 빠르게 끝내야 이 구간에 시간을 쓸 수 있습니다.

서술형 다섯 문항 중 중은 20번 하나이고, 나머지 17·18·21번은 중상, 19번은 상입니다.

출제 단원 — 06 도함수의 활용 (3) 7문항

06 도함수의 활용 (3)이 7문항(33%) 으로 가장 많고, 상 4문항 중 세 개(8·9·19번)가 이 단원입니다. 방정식의 실근, 부등식이 항상 성립할 조건, 속도·변화율이 모두 이 단원에 들어 있습니다.

시그니처 유형 — 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 상 2연속

8번과 9번이 같은 유형, 같은 상 난이도로 연달아 나옵니다.

• 8번 상 — 절댓값 함수의 영점과 근의 개수. 극한 조건에서 영점 구조를 찾고, 이차함수의 근을 구성한 뒤 접점에서 근의 개수를 판단합니다.
• 9번 상 — 오른쪽 미분계수 조건과 교점 개수. 한쪽 미분의 부호 구조로 삼차함수를 복원하고, 불연속 경계와 치역이 겹치는 부분을 따집니다.

두 문항 모두 그래프를 직접 그려 직선 y=k와의 교점을 세는 것이 마지막 단계입니다. 그래프를 그리기 전까지의 함수 복원 과정이 길어서 상 난이도입니다.

여기에 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소가 12번(중상, 극대와 실근 개수)과 14번(상, 중근 경계에서 극값의 개수)에서 나왔습니다. 12번도 결국 실근 개수를 판단하는 문항이라, "그래프로 근의 개수 세기"가 미분 파트와 적분 파트를 가로지르는 시험입니다.

빈출 유형 정리 (2025학년 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (3) (2·3·4·7·8·9·19번) — 7문항

2번 하 속도(속도 조건으로 위치 결정), 3번 중 시각에 대한 부피의 변화율(원뿔 물의 부피 순간 변화율), 4번 중 삼차방정식의 근의 판별(세 실근 조건), 7번 중상 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건(치환한 구간에서 부등식의 최솟값), 8번 상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 9번 상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 19번 상 서술형 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건(전 구간 부등식의 계수 조건).

3번은 닮음으로 반지름을 높이의 식으로 바꾸고 시간에 대해 미분합니다.

4번은 극댓값과 극솟값의 높이로 세 실근 조건을 세우고 정수를 고릅니다.

19번 서술형은 위아래 두 부등식을 다항식 조건으로 바꾸고, 특수한 값 대입과 극한으로 계수를 좁혀 가는 상 난이도 문항입니다.

2. 도함수의 활용 (2) (1·5·6·17·18번) — 5문항

1번 중 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정(극대 조건에서 극솟값 계산), 5번 중상 함수의 증가와 감소(이어 붙인 함수의 전 구간 증가), 6번 중상 함수의 극대·극소의 활용(조각함수의 극값과 근 개수 판정), 17번 중상 서술형 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정(극값의 차로 삼차함수 결정), 18번 중상 서술형 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정(구간 최대·최소의 곱 조건).

5번은 구간마다 다른 식으로 정의된 함수가 전 구간에서 증가하려면 각 구간에서 증가하고 경계에서 연속이어야 한다는 점을 씁니다.

17번 서술형은 1번과 같은 유형입니다. 1번은 극대 조건에서 극솟값을 구하는 기본형이고, 17번은 두 극값의 차로 삼차함수 전체를 결정합니다.

18번 서술형은 구간의 극값 후보를 비교해 최댓값·최솟값을 구하고, 곱 조건을 처음 만족하는 자연수를 찾습니다.

3. 정적분 (10·12·13·14·20번) — 5문항

10번 중 우함수·기함수의 정적분, 피적분함수가 주어진 경우(기함수·우함수의 정적분), 12번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소(극대와 실근 개수), 13번 중상 절댓값 기호를 포함한 함수의 정적분(절댓값 적분으로 계수 결정), 14번 상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소(정적분으로 만든 함수의 극값), 20번 중 서술형 적분 구간이 같은 경우의 정적분 계산(대칭 이동한 항등식과 정적분 계산).

10번은 홀수차항이 소거되는 성질로 계수 방정식을 세우는 문항입니다.

13번은 음수 구간을 분리해 절댓값을 처리하고, 자연수 계수 조건을 씁니다.

4. 정적분의 활용 (11·15·16·21번) — 4문항

11번 중 곡선과 x축 사이의 넓이(절댓값 그래프와 x축 사이 넓이), 15번 중상 두 곡선 사이의 넓이(대칭인 삼차함수와 두 곡선 넓이), 16번 중상 움직인 거리(방향을 바꾼 뒤 되돌아오는 거리), 21번 중상 서술형 두 도형의 넓이가 같을 조건(세 부분의 넓이가 등차 관계).

16번은 운동 방향이 바뀌는 시각을 먼저 찾고, 같은 위치로 되돌아오는 조건과 속도 부호별 이동 거리를 나눠 계산합니다.

21번 서술형은 전체 넓이와 첫 부분 넓이를 구한 뒤 등차중항 관계로 나머지 넓이를 정합니다.

주의 문항 — 상 4문항

8번 상 (절댓값 함수의 영점과 근의 개수) — 선택형 상 두 문항 중 첫 번째입니다.

9번 상 (오른쪽 미분계수 조건과 교점 개수) — 불연속 경계가 있어 그래프를 꼼꼼히 그려야 합니다.

14번 상 (정적분으로 만든 함수의 극값) — 두 함수의 항등식 구조를 읽고, 중근이 되는 경계에서 극값 개수가 바뀌는지 따집니다.

19번 상 서술형 (전 구간 부등식의 계수 조건) — 부등식 두 개를 동시에 만족시키는 계수를 찾는 긴 서술형입니다.

상명고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 속도와 위치 — 2번 대비. 유일한 하 문항.
2. 부피의 변화율 — 3번 대비.
3. 극대·극소로 미정계수 결정 — 1·17번 대비.
4. 삼차방정식의 근의 판별 — 4번 대비.
5. 구간별로 정의된 함수의 증가와 극값 — 5·6번 대비.
6. 부등식이 항상 성립할 조건 — 7·19번 대비.
7. ★ 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 8·9번 대비. 상 2연속.
8. 구간에서의 최대·최소 — 18번 대비.
9. 우함수·기함수와 정적분 계산 — 10·20번 대비.
10. 절댓값 정적분 — 13번 대비.
11. ★ 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 12·14번 대비.
12. 넓이(x축·두 곡선·넓이 관계) — 11·15·21번 대비.
13. 움직인 거리 — 16번 대비.

자주 나오는 질문

상명고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 21문항입니다. 정답 기록 기준 1~16번은 선택형, 17~21번 다섯 문항은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 06 도함수의 활용 (3)이 7문항으로 가장 많습니다. 05 도함수의 활용 (2)와 08 정적분이 각 5문항, 09 정적분의 활용이 4문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도가 4문항(8·9·14·19번) 입니다. 선택형 8·9번이 연달아 상이고, 14번과 서술형 19번도 상입니다.

쉬운 문항은 몇 개인가요?

하 난이도는 2번 한 문항입니다. 중 6문항(1·3·4·10·11·20번)을 합쳐도 7문항이라, 기본 점수 구간이 좁은 시험입니다.

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