영등포고(서울 동작구) 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)
영등포고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 영등포고 2학년 2학기 기말은 도함수의 활용 13문항, 적분 9문항으로 미분과 적분이 함께 출제됐습니다. 난이도는 중 11문항이 절반이고, 상 3문항은 모두 도함수의 활용 (3) 에서 나왔습니다.
핵심 요약
- 22문항 — 1~17번은 정답이 ①~⑤로 기록된 선택형, 18~22번은 서술형 5문항
- 난이도: 하 1 / 중 11 / 중상 7 / 상 3
- 배치 단원: 06 도함수의 활용 (3) 7 / 05 도함수의 활용 (2) 6 / 08 정적분 4 / 09 정적분의 활용 4 / 07 부정적분 1
- 상 3문항: 17번(부등식이 항상 성립할 조건), 18번 서술형(구간별 함수의 미분가능성·실근의 개수), 21번 서술형(방정식 f(x)=k의 실근의 개수)
- 04 도함수의 활용 (1)(접선) 문항은 0개
영등포고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
영등포고등학교는 서울 동작구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 22문항입니다. 정답 기록 기준으로 1~17번은 ①~⑤ 중 하나를 고르는 형태이고, 18~22번 다섯 문항은 답이나 풀이를 직접 쓰는 서술형입니다.
범위는 도함수의 활용부터 정적분의 활용까지입니다. 배치 단원으로는 도함수의 활용 (2)·(3)이 13문항, 부정적분·정적분·정적분의 활용이 9문항입니다. 접선의 방정식을 다루는 04 도함수의 활용 (1) 문항은 없었습니다.
2025학년 난이도 분포 — 중 11문항, 상은 서술형 쪽에
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 1 | 5% | 19 |
| 중 | 11 | 50% | 1·2·4·5·6·7·8·9·10·12·20 |
| 중상 | 7 | 32% | 3·11·13·14·15·16·22 |
| 상 | 3 | 14% | 17·18·21 |
선택형 1~12번은 3·11번을 빼면 전부 중입니다. 교과서 기본 유형을 정확히 푸는 힘이 있으면 앞 절반은 무난합니다. 중상은 13~16번 네 문항 연속으로 몰려 있고, 17번이 선택형의 마지막이자 상입니다.
서술형 다섯 문항은 난이도 폭이 넓습니다. 19번은 하, 20번은 중이지만 18·21번은 상, 22번은 중상입니다. 서술형에서 쉬운 두 문항(19·20번)을 확실히 쓰고, 나머지에서 부분 점수를 챙기는 전략이 필요합니다.
출제 단원 — 도함수의 활용 (3) 7문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 06 도함수의 활용 (3) | 7 | 5·7·8·17·18·19·21 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 6 | 1·2·3·13·14·15 |
| 08 정적분 | 4 | 9·10·16·22 |
| 09 정적분의 활용 | 4 | 6·11·12·20 |
| 07 부정적분 | 1 | 4 |
06 도함수의 활용 (3)이 7문항으로 가장 많고, 상 세 문항이 전부 이 단원입니다. 방정식의 실근 개수, 부등식, 속도·가속도가 이 단원의 내용입니다.
05 도함수의 활용 (2) 6문항은 증가·감소, 극대·극소, 최대·최소입니다. 1·2번 중에서 시작해 13·14·15번 중상으로 끝납니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 도함수의 활용 (3) (5·7·8·17·18·19·21번) — 7문항
5번 중 속도·가속도와 운동 방향, 7번 중 두 그래프의 교점의 개수, 8번 중 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건, 17번 상 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건, 18번 상(서술형) 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 · 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 19번 하(서술형) 가속도, 21번 상(서술형) 방정식 f(x)=k의 실근의 개수.
부등식이 항상 성립할 조건이 8·17번 두 번입니다. 8번은 식을 제곱 꼴로 바꿔 최솟값을 보는 중 난이도이고, 17번은 접선을 이용해 위아래를 가르는 구조까지 들어간 상 문항입니다.
실근의 개수가 7·18·21번 세 번입니다. 7번은 두 그래프의 교점 개수를 차함수로 바꿔 극값으로 판정하는 기본형입니다. 18번은 여기에 구간별로 정의된 함수의 미분가능성 조건이, 21번은 미분가능하지 않은 점과 도함수의 중근 위치에 따른 분류가 더해집니다.
운동 문항은 5·19번입니다. 5번은 속도가 0이 되는 시각에서 운동 방향이 바뀌는지를 묻고, 19번 서술형은 위치를 두 번 미분해 가속도를 구하는 확보 문항입니다.
2. 도함수의 활용 (2) (1·2·3·13·14·15번) — 6문항
1번 중 함수의 증가와 감소, 2번 중 함수의 극대·극소, 3번 중상 도함수의 그래프를 이용한 함수의 극대·극소, 13번 중상 최대·최소의 활용; 넓이, 14번 중상 최대·최소의 활용; 부피, 15번 중상 함수의 최대·최소.
3번은 도함수의 그래프가 그림으로 주어지고 원래 함수를 복원해 값을 구합니다. 그래프에서 f′(x)의 부호가 바뀌는 점을 읽는 것이 첫 단계입니다.
최대·최소의 활용이 13·14번 연속입니다. 13번은 도형을 변수로 나타내 넓이식을 세우고, 14번은 닮은 도형에서 부피식을 세워 극값을 찾습니다. 15번은 임계점과 구간 끝점의 함숫값을 비교하는 문항입니다.
3. 정적분 (9·10·16·22번) — 4문항
9번 중 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우, 10번 중 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우, 16번 중상 함수의 증가와 감소 · 정적분의 계산; 적분 구간이 같은 경우, 22번 중상(서술형) 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소.
9·10번은 정적분을 포함한 등식 두 형태가 나란히 나왔습니다. 9번은 아래끝을 대입해 상수를 구하고 양변을 미분하는 기본형, 10번은 피적분함수에도 x가 있어 x를 적분 밖으로 꺼낸 뒤 미분해야 합니다.
22번 서술형은 도함수의 최솟값 조건에서 계수의 범위를 구한 뒤, 그 계수를 포함한 정적분의 최솟값을 구합니다.
4. 정적분의 활용 (6·11·12·20번) — 4문항
6번 중 움직인 거리, 11번 중상 두 도형의 넓이가 같을 조건, 12번 중 함수와 그 역함수의 정적분, 20번 중(서술형) 곡선과 x축 사이의 넓이; 그래프 꼴.
6번은 위치의 변화량과 움직인 거리를 비교하는 문항입니다. 속도의 부호가 바뀌는 구간에서는 절댓값을 붙여 적분해야 거리가 됩니다.
20번 서술형은 곡선이 x축 아래로 내려가는 구간을 나눠 넓이를 구합니다. 구간을 나누는 근거를 풀이에 써야 합니다. 12번은 역함수를 구한 뒤 두 정적분을 계산하는 문항입니다.
5. 부정적분 (4번) — 1문항
4번 중 도함수가 주어질 때 함수 구하기. 부정적분 후 주어진 조건으로 적분상수를 정합니다.
주의 문항 — 상 3문항
17번 상 (부등식이 항상 성립할 조건) — 선택형의 마지막 문항입니다. 접선과 그래프의 위치 관계로 계수 범위를 정해야 합니다.
18번 상 (구간별 함수의 미분가능성 · 실근의 개수, 서술형) — 경계점에서 연속·미분가능 조건을 세우고, 실근 개수 조건으로 미정계수를 정합니다. 구할 값이 여러 개라 조건을 하나씩 식으로 쓰는 순서가 중요합니다.
21번 상 (방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 서술형) — 조건에서 도함수의 중근 위치와 미분가능하지 않은 점을 분류해 함수의 꼴을 정하고, 실근 개수 조건을 따지는 문항입니다.
상 세 문항이 모두 도함수의 활용 (3) 입니다. 실근의 개수와 부등식 단원을 집중적으로 준비해야 하는 이유입니다.
영등포고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서
- 증가·감소와 극대·극소 — 1·2번 대비. 확보 구간.
- 부정적분과 적분상수 — 4번 대비.
- 속도·가속도, 움직인 거리 — 5·6·19번 대비.
- ★ 도함수의 그래프로 함수 해석 — 3번 대비.
- 두 그래프의 교점 개수 — 7번 대비. 차함수로 바꾸기.
- 부등식이 항상 성립할 조건(기본) — 8번 대비.
- ★ 정적분을 포함한 등식 두 형태 — 9·10번 대비.
- 역함수의 정적분, 넓이가 같을 조건 — 11·12번 대비.
- 최대·최소의 활용(넓이·부피), 구간 최대·최소 — 13~15번 대비.
- 증가 조건과 정적분의 결합 — 16번 대비.
- ★ 부등식과 접선 — 17번 대비.
- ★ 구간별 함수의 미분가능성, 실근의 개수 — 18·21번 서술형 대비.
- 곡선과 x축 사이의 넓이, 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소 — 20·22번 서술형 대비.
자주 나오는 질문
영등포고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 22문항입니다. 1~17번은 선택형, 18~22번 다섯 문항은 서술형입니다.
시험 범위가 어디까지인가요?
배치 단원 기준 05 도함수의 활용 (2)부터 09 정적분의 활용까지입니다. 04 도함수의 활용 (1) 문항은 없었습니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
06 도함수의 활용 (3)이 7문항, 05 도함수의 활용 (2)가 6문항입니다. 정적분과 정적분의 활용이 각 4문항, 부정적분 1문항입니다.
킬러 문항은 어디인가요?
상 난이도는 17·18·21번이고 셋 다 도함수의 활용 (3)입니다. 18·21번은 서술형입니다.
과년도 영등포고 기출도 볼 수 있나요?
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