서울 마포구 상암고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)
상암고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 상암고 기말의 가장 뚜렷한 특징은 마지막 16~21번 여섯 문항이 전부 정적분의 활용이라는 점입니다. 난이도는 하 4문항, 중 12문항으로 중 이하가 16문항이고, 상은 11번 한 문항입니다.
핵심 요약
- 21문항 — 정답 기록 기준 1~20번 선택형, 21번 답을 직접 쓰는 형태(1문항)
- 난이도: 하 4 / 중 12 / 중상 4 / 상 1
- 배치 단원: 09 정적분의 활용 6 / 08 정적분 5 / 05 도함수의 활용 (2) 4 / 07 부정적분 3 / 06 도함수의 활용 (3) 3
- 16~21번이 모두 정적분의 활용, 그중 운동(위치·거리) 문항 3개
- 유일한 상: 11번 방정식 f(x)=k의 실근의 개수
상암고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
서울 마포구 상암고등학교의 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 21문항입니다. 정답 기록을 보면 1~20번은 선택형이고, 21번 한 문항만 답을 직접 쓰는 형태입니다.
배치 단원은 도함수의 활용 (2)부터 정적분의 활용까지 다섯 단원입니다. 도함수의 활용 (1)(접선, 평균값 정리) 단원 문항은 0개입니다. 미분 파트는 05·06 단원 7문항, 적분 파트는 07·08·09 단원 14문항으로 적분이 미분의 두 배입니다.
문항 배치는 단원 순서를 그대로 따르지 않습니다. 1~15번에는 미분과 적분 문항이 섞여 나오고, 16번부터는 정적분의 활용만 나옵니다.
2025학년 난이도 분포 — 중 이하 16문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 4 | 19% | 1·3·4·5 |
| 중 | 12 | 57% | 2·6·7·8·12·13·14·16·17·18·19·20 |
| 중상 | 4 | 19% | 9·10·15·21 |
| 상 | 1 | 5% | 11 |
1~5번 중 네 문항이 하입니다(2번만 중). 시험 시작부터 빠르게 점수를 쌓을 수 있는 구간입니다.
고난도는 9~11번에 모여 있습니다. 9·10번이 중상, 11번이 상입니다. 이어서 15번 중상이 하나 있고, 16~20번 다섯 문항은 다시 전부 중입니다. 마지막 21번(답을 직접 쓰는 문항)이 중상입니다.
중 12문항이 시험의 57%입니다. 하 문항과 중 문항에서 실수 없이 점수를 지키는 것이 이 시험의 기본 전략입니다. 9~11번에서 막히면 표시해 두고 12~20번 중 문항을 먼저 끝낸 뒤 돌아오는 순서가 낫습니다.
출제 단원 — 정적분의 활용 6문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 09 정적분의 활용 | 6 | 16·17·18·19·20·21 |
| 08 정적분 | 5 | 4·5·12·14·15 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 4 | 1·2·7·10 |
| 07 부정적분 | 3 | 3·9·13 |
| 06 도함수의 활용 (3) | 3 | 6·8·11 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 0 | — |
정적분의 활용 6문항은 16~20번 중 5문항, 21번 중상 1문항입니다. 문항 수는 가장 많지만 난도는 중심이 중에 있습니다.
상 1문항(11번)은 도함수의 활용 (3), 중상 4문항은 부정적분(9번), 도함수의 활용 (2)(10번), 정적분(15번), 정적분의 활용(21번)으로 한 단원씩 나뉘어 있습니다.
시그니처 유형 — 16~21번 정적분의 활용 연속 배치
16번부터 21번까지 여섯 문항이 모두 정적분의 활용입니다.
- 16번 중 곡선과 x축 사이의 넓이; f(x)≥0 또는 f(x)≤0인 경우 · 대칭인 곡선과 좌표축
- 17번 중 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이
- 18번 중 위치와 위치의 변화량 · 속도 부호와 최대 높이
- 19번 중 그래프에서의 위치와 움직인 거리 · 속도 그래프의 위치와 거리
- 20번 중 위치와 위치의 변화량 · 두 점의 위치와 만나는 시각
- 21번 중상 함수와 역함수의 그래프의 y=x 대칭을 이용한 넓이
넓이 3문항(16·17·21번), 운동 3문항(18·19·20번) 입니다. 운동 세 문항은 모두 속도를 적분해 위치를 구하는 흐름입니다. 18번은 높이가 가장 높아지는 시각(속도가 0이 되는 시각)까지 적분하고, 20번은 두 점의 위치를 각각 구해 같아지는 시각을 찾습니다.
위치와 위치의 변화량이 18·20번 두 번 나왔습니다. 위치는 "처음 위치 + 속도의 정적분", 움직인 거리는 "속도의 절댓값의 정적분"이라는 구분을 확실히 해 두세요.
이 밖에 우함수·기함수의 정적분도 4번(피적분함수가 주어진 경우, 하)과 14번(주어지지 않은 경우, 중)에서 두 번 나왔습니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 정적분의 활용 (16~21번) — 6문항
시그니처 유형에서 정리한 여섯 문항입니다.
17번 곡선과 접선으로 둘러싸인 넓이는 접선을 구하고, 접선이 곡선과 다시 만나는 점을 찾은 뒤 두 식의 차를 적분합니다.
21번은 답을 직접 쓰는 유일한 문항입니다. 함수와 역함수의 그래프가 y=x에 대해 대칭이라는 점, 그리고 원점 대칭 구조를 함께 써서 넓이를 구합니다. 풀이 흐름을 정확히 써야 하는 중상 문항이니 따로 연습해 두세요.
2. 정적분 (4·5·12·14·15번) — 5문항
4번 하 우함수·기함수의 정적분; 피적분함수가 주어진 경우 · 대칭 구간에서 홀수차항 소거, 5번 하 정적분의 계산; 피적분함수가 같은 경우 · 적분 구간의 덧셈과 역전, 12번 중 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우, 14번 중 우함수·기함수의 정적분; 피적분함수가 주어지지 않은 경우 · 기함수 정적분의 구간 합, 15번 중상 부정적분과 함수의 연속성 / 정적분의 계산; 구간에 따라 다르게 정의된 함수.
4·5번은 하입니다. 4번은 대칭 구간에서 홀수차항이 사라진다는 성질, 5번은 적분 구간을 이어 붙이거나 위끝·아래끝을 바꾸는 성질입니다.
12번은 적분 구간이 상수인 정적분을 하나의 상수로 놓고 식을 세우는 문항입니다. 15번은 구간별로 부정적분을 구하고 연속 조건으로 적분상수를 맞춘 뒤 구간별 정적분을 더하는 문항입니다.
3. 도함수의 활용 (2) (1·2·7·10번) — 4문항
1번 하 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 · 극소 조건에서 삼차함수 계수, 2번 중 실수 전체의 집합에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건, 7번 중 도함수의 그래프를 이용한 함수의 극대·극소 · 극값과 증감, 10번 중상 최대·최소의 활용; 부피 · 원뿔대 부피의 최대.
1번은 극소인 점에서 미분계수가 0이라는 조건 하나로 끝나는 하 문항입니다. 2번은 도함수의 판별식으로 계수 범위를 구합니다.
10번은 원뿔대의 부피를 한 변수의 함수로 세우고 최댓값을 찾는 활용 문항입니다. 주어진 조건으로 변수를 하나로 줄이고, 정의역 안에서 최대를 판정해야 합니다.
4. 부정적분 (3·9·13번) — 3문항
3번 하 부정적분의 계산 · 다항식 부정적분의 계수 합, 9번 중상 부정적분과 극대·극소 · 극점과 최댓값으로 함수 복원, 13번 중 도함수가 주어질 때 함수 구하기 · 두 근의 조건.
9번은 도함수의 근으로 극점을 정하고, 적분한 뒤 최댓값 조건으로 적분상수를 맞추는 문항입니다. 미분과 적분을 오가야 해서 중상입니다.
5. 도함수의 활용 (3) (6·8·11번) — 3문항
6번 중 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건 · 두 함수 차의 최솟값, 8번 중 속도·가속도와 운동 방향 · 방향이 바뀌는 시각의 가속도, 11번 상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 · 사차함수의 실근 개수 구조.
6번은 두 함수의 차 h(x)=f(x)−g(x)를 놓고 최솟값이 0보다 크다는 조건으로 정리합니다.
11번이 이 시험의 유일한 상입니다. 사차함수의 극점 구조를 파악하고, 수평선 y=k와의 교점 개수를 조건으로 하는 집합의 원소 개수까지 따져 계수를 정하는 여러 단계 문항입니다.
주의 문항 — 상 1문항, 중상 4문항
9번 중상 (부정적분과 극대·극소) — 고난도 구간의 시작입니다.
10번 중상 (원뿔대 부피의 최대) — 식을 세우는 단계에서 시간이 걸립니다.
11번 상 (방정식 f(x)=k의 실근의 개수) — 이 시험의 최고 난도입니다. 9~11번 세 문항이 연속 고난도입니다.
15번 중상 (구간별 함수의 부정적분과 연속, 정적분) — 적분상수를 연속 조건으로 정하는 과정이 핵심입니다.
21번 중상 (역함수 대칭 넓이) — 답을 직접 쓰는 유일한 문항입니다.
상암고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서
- 극소 조건과 미분계수 0, 부정적분 계산 — 1·3번 대비. 하 문항 확보.
- 우함수·기함수 정적분, 적분 구간의 성질 — 4·5·14번 대비.
- 삼차함수가 실수 전체에서 증가할 조건 — 2번 대비.
- 두 함수의 차로 부등식 판정 — 6번 대비.
- 도함수의 그래프로 극값·증감 읽기 — 7번 대비.
- 속도·가속도와 운동 방향 — 8번 대비.
- 정적분 등식(상수 구간) — 12번 대비.
- 도함수가 주어질 때 함수 구하기 — 13번 대비.
- 곡선과 x축, 곡선과 접선 사이 넓이 — 16·17번 대비.
- ★ 위치와 위치의 변화량, 움직인 거리 — 18·19·20번 대비. 운동 3연속.
- 부정적분과 극대·극소 — 9번 대비.
- 원뿔대 부피의 최대 — 10번 대비.
- 구간별 함수의 부정적분과 연속 — 15번 대비.
- 역함수 대칭 넓이 — 21번 대비. 답을 직접 쓰는 문항.
- 사차함수와 실근의 개수 — 11번 대비. 마지막 단계.
자주 나오는 질문
상암고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 21문항입니다. 정답 기록 기준 1~20번은 선택형, 21번 한 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 정적분의 활용이 6문항으로 가장 많고, 16~21번에 연속으로 배치되어 있습니다. 이어서 정적분 5문항, 도함수의 활용 (2) 4문항, 부정적분·도함수의 활용 (3) 각 3문항입니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도는 11번 한 문항입니다. 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 유형입니다. 중상은 9·10·15·21번 네 문항입니다.
접선의 방정식·평균값 정리는 나왔나요?
배치 단원 기준 04 도함수의 활용 (1) 문항은 0개입니다. 접선은 17번(곡선과 접선으로 둘러싸인 넓이) 안에서 쓰입니다.
과년도 상암고 기출도 볼 수 있나요?
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