서울 동대문구 청량고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)
청량고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 청량고 기말의 가장 큰 특징은 정적분 한 단원이 8문항으로 시험의 3분의 1을 넘는다는 점입니다. 난이도는 중 10문항, 중상 10문항으로 두 구간이 같은 크기이고, 상은 18번 한 문항입니다.
핵심 요약
- 22문항 — 정답 기록 기준 1~18번 선택형, 19~22번 답을 직접 쓰는 형태(4문항)
- 난이도: 하 1 / 중 10 / 중상 10 / 상 1
- 배치 단원: 08 정적분 8 / 06 도함수의 활용 (3) 5 / 05 도함수의 활용 (2) 3 / 04 도함수의 활용 (1) 2 / 09 정적분의 활용 2 / 07 부정적분 1 / 03 미분계수와 도함수 1
- 반복 유형: 정적분을 포함한 등식(변수가 있는 경우) 3회(7·14·22번)
- 유일한 상: 18번 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소
청량고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
서울 동대문구 청량고등학교의 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 22문항입니다. 정답 기록을 보면 1~18번은 선택형, 19~22번 네 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.
배치 단원은 미분계수와 도함수부터 정적분의 활용까지 일곱 단원입니다. 미분 파트(03·04·05·06)가 11문항, 적분 파트(07·08·09)가 11문항으로 정확히 반반입니다.
다만 적분 쪽은 정적분 한 단원에 8문항이 몰려 있고, 부정적분 1문항·정적분의 활용 2문항은 비중이 작습니다. 미분 쪽은 네 단원에 고르게 나뉘어 있습니다. 정적분 단원을 얼마나 탄탄하게 준비했느냐가 이 시험의 핵심입니다.
2025학년 난이도 분포 — 중 10, 중상 10
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 1 | 5% | 3 |
| 중 | 10 | 45% | 1·2·4·7·8·9·10·13·19·21 |
| 중상 | 10 | 45% | 5·6·11·12·14·15·16·17·20·22 |
| 상 | 1 | 5% | 18 |
하 난이도는 3번 한 문항입니다. 대신 1~4번 네 문항 중 세 문항이 중이라 시작은 무난합니다.
5·6번이 곧바로 중상입니다. 앞쪽에서 고난도가 일찍 나오니 시간 배분에 주의해야 합니다. 이후 7~10번은 다시 중으로 내려오고, 11~18번은 13번(중)을 빼고 일곱 문항이 중상 또는 상입니다. 유일한 상인 18번이 선택형 마지막 문항입니다.
답을 직접 쓰는 19~22번은 19·21번 중, 20·22번 중상입니다. 선택형 11~18번 구간에서 막히면 19·21번을 먼저 처리하는 편이 낫습니다.
출제 단원 — 정적분 8문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 08 정적분 | 8 | 7·8·10·13·14·16·18·22 |
| 06 도함수의 활용 (3) | 5 | 3·12·17·19·20 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 3 | 6·9·11 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 2 | 1·2 |
| 09 정적분의 활용 | 2 | 5·21 |
| 07 부정적분 | 1 | 4 |
| 03 미분계수와 도함수 | 1 | 15 |
정적분 8문항은 7·8·10·13번 중, 14·16·22번 중상, 18번 상입니다. 유일한 상과 중상 3문항이 이 단원입니다.
도함수의 활용 (3) 5문항은 3번 하, 19번 중, 12·17·20번 중상입니다. 하 문항과 중상 문항이 함께 있는 단원입니다.
도함수의 활용 (1) 2문항(1·2번) 은 롤의 정리와 평균값 정리로, 시험의 첫 두 문항입니다.
시그니처 유형 — 변수가 있는 정적분 등식 3회
정적분을 포함한 등식에서 적분 구간이나 피적분함수에 변수가 들어간 유형이 세 번 나왔습니다.
- 7번 중 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우 · 적분상수와 미적분의 기본정리
- 14번 중상 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우 · 양변 미분, 곱의 원시함수, 계수 비교
- 22번 중상 아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우 · 양변 미분, 함수 복원, 미분계수의 정의를 이용한 극한
세 문항의 공통 출발점은 양변을 x에 대해 미분하는 것입니다. 위끝에 x가 있는 정적분을 미분하면 피적분함수에 x를 넣은 식이 됩니다. 7번은 이 기본형이고, 14번은 미분한 뒤 곱의 꼴로 정리하는 단계가 더해지며, 22번은 피적분함수 안에도 x가 있어 x를 적분 기호 밖으로 빼낸 뒤 미분해야 합니다.
여기에 상수 구간 정적분 등식(8번)까지 합치면 정적분 등식 문항이 4개입니다.
이 밖에 두 번씩 나온 유형은 다음과 같습니다.
- 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 — 9번(중), 11번(중상)
- 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 12번(중상), 17번(중상)
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 정적분 (7·8·10·13·14·16·18·22번) — 8문항
7·14·22번은 시그니처 유형 참고. 8번 중 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우, 10번 중 주기함수의 정적분, 13번 중 우함수·기함수의 정적분; 피적분함수가 주어지지 않은 경우 · 곱의 대칭성, 16번 중상 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소 · 적분 구간이 움직이는 정적분의 미분, 18번 상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 · 구간별 도함수 부호와 극값 개수.
10번 주기함수의 정적분은 한 주기 구간의 정적분 값을 기준으로 구간을 나눠 더하고 빼는 문항입니다.
13번은 두 함수의 곱이 우함수인지 기함수인지를 먼저 판단하는 문항입니다. 기함수×기함수는 우함수, 우함수×기함수는 기함수라는 성질을 정리해 두세요.
16·18번은 정적분으로 정의된 함수를 다룹니다. 16번은 적분 구간 양 끝이 함께 움직이는 형태이고, 18번은 구간마다 도함수의 부호를 따져 극값의 개수를 조건으로 매개변수를 정한 뒤 정적분을 계산하는 상 문항입니다.
2. 도함수의 활용 (3) (3·12·17·19·20번) — 5문항
3번 하 가속도 · 위치를 두 번 미분해 대입, 12번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 · 접하는 경우의 극값과 매개변수, 17번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 · 양쪽 교점 수와 정수 범위, 19번 중 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건; 최대·최소의 활용, 20번 중상 속도·가속도와 운동 방향 · 속도 부호와 거리.
3번이 이 시험의 유일한 하입니다. 위치를 미분하면 속도, 한 번 더 미분하면 가속도입니다.
12·17번 실근의 개수는 y=f(x)의 그래프와 수평선 y=k의 교점 수로 판단합니다. 12번은 수평선이 극점에서 그래프에 접하는 경우, 17번은 교점의 개수를 양쪽으로 나눠 세는 경우입니다.
19번은 답을 직접 쓰는 첫 문항입니다. 주어진 구간 안의 극솟값으로 부등식 조건을 판단합니다. 부등호에 등호가 들어가는지 여부까지 정확히 써야 합니다.
3. 도함수의 활용 (1)·(2) (1·2·6·9·11번) — 5문항
1번 중 롤의 정리, 2번 중 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우 · 미정계수, 6번 중상 최대·최소의 활용; 부피 · 도형 관계로 부피 함수 세우기, 9번 중 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 · 도함수의 대칭과 극값의 차, 11번 중상 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 · 매개변수의 부호와 극소 조건.
1·2번 롤의 정리와 평균값 정리는 시험 첫 두 문항입니다. 정리의 조건(닫힌구간에서 연속, 열린구간에서 미분가능)과 결론을 식으로 정확히 옮기는 것이 전부입니다.
6번 부피의 최대는 도형 사이의 관계로 부피를 한 변수의 함수로 세운 뒤 극값을 찾습니다. 선택형 앞쪽의 중상이라 시간을 뺏기기 쉽습니다.
4. 정적분의 활용 (5·21번)·부정적분 (4번)·미분계수와 도함수 (15번)
5번 중상 함수와 역함수의 그래프의 y=x 대칭을 이용한 넓이, 21번 중 움직인 거리 · (1)·(2) 소문항, 4번 중 도함수가 주어질 때 함수 구하기 · 초기 조건, 15번 중상 평균변화율과 미분계수 · 이차함수의 대칭과 평균변화율.
5번은 역함수와의 교점을 구한 뒤 y=x 대칭으로 넓이를 옮겨 계산하는 문항입니다. 선택형 5번 자리에 있는 중상이라 앞에서 시간이 걸릴 수 있습니다.
21번은 답을 직접 쓰는 문항으로 소문항 (1)·(2)로 나뉘어 있습니다. 위치는 속도의 정적분, 움직인 거리는 운동 방향이 바뀌는 시각에서 구간을 나눈 속도의 절댓값 정적분입니다.
15번은 미분계수와 도함수 단원의 중상입니다. 이차함수 그래프의 대칭성과 평균변화율을 함께 씁니다.
주의 문항 — 상 1문항, 중상 10문항
5·6번 중상 (역함수 대칭 넓이, 부피의 최대) — 선택형 앞쪽에 나오는 고난도입니다.
11·12번 중상 (극소 조건과 미정계수, 실근의 개수) — 매개변수가 들어간 미분 응용입니다.
14~17번 중상 — 변수 있는 정적분 등식, 평균변화율, 움직이는 구간의 정적분, 실근의 개수가 네 문항 연속입니다.
18번 상 (정적분으로 정의된 함수의 극대·극소) — 이 시험의 최고 난도이자 선택형 마지막 문항입니다.
20·22번 중상 (속도와 운동 방향, 변수 있는 정적분 등식) — 답을 직접 쓰는 구간의 고난도입니다.
청량고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서
- 위치·속도·가속도의 관계 — 3번 대비. 유일한 하.
- 롤의 정리, 평균값 정리 — 1·2번 대비. 시험 첫 두 문항.
- 도함수가 주어질 때 함수 구하기 — 4번 대비.
- 정적분 등식(상수 구간) — 8번 대비.
- ★ 정적분 등식(위끝에 변수) — 7·14번 대비. 양변 미분.
- 주기함수의 정적분, 우함수·기함수의 곱 — 10·13번 대비.
- 극대·극소를 이용한 미정계수 — 9·11번 대비.
- 움직인 거리, 속도와 운동 방향 — 20·21번 대비.
- 구간 부등식과 극솟값 — 19번 대비.
- 역함수 대칭 넓이 — 5번 대비.
- 부피의 최대 — 6번 대비.
- 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 12·17번 대비.
- 평균변화율과 미분계수 — 15번 대비.
- ★ 피적분함수에도 변수가 있는 정적분 등식 — 22번 대비.
- 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소, 극대·극소 — 16·18번 대비. 마지막 단계.
자주 나오는 질문
청량고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 22문항입니다. 정답 기록 기준 1~18번은 선택형, 19~22번 네 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 정적분이 8문항으로 가장 많습니다. 이어서 도함수의 활용 (3) 5문항, 도함수의 활용 (2) 3문항, 도함수의 활용 (1)·정적분의 활용 각 2문항, 부정적분·미분계수와 도함수 각 1문항입니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도는 18번 한 문항입니다. 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 유형입니다. 다만 중상이 10문항으로 많아서 실질적인 고난도 구간은 넓습니다.
롤의 정리·평균값 정리는 나왔나요?
1번 롤의 정리, 2번 평균값 정리로 시험 첫 두 문항이 이 단원입니다. 둘 다 중 난이도입니다.
과년도 청량고 기출도 볼 수 있나요?
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