서울 동대문구 해성여고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

해성여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 해성여고 기말은 난이도 구성이 독특합니다. 하도 상도 없이 중 8문항, 중상 12문항 두 단계로만 되어 있고, 11번부터 20번까지 열 문항이 전부 중상입니다.

핵심 요약

• 20문항 — 정답 기록 기준 1~17번 선택형, 18~20번 답을 직접 쓰는 형태(3문항)
• 난이도: 하 0 / 중 8 / 중상 12 / 상 0
• 배치 단원: 05 도함수의 활용 (2) 5 / 08 정적분 5 / 09 정적분의 활용 4 / 06 도함수의 활용 (3) 3 / 07 부정적분 2 / 04 도함수의 활용 (1) 1
• 1번(평균값 정리)부터 중상, 2~10번은 8번을 빼고 모두 중
• 반복 유형: 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 2회(2·13번)

해성여고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

서울 동대문구 해성여자고등학교의 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 20문항입니다. 정답 기록을 보면 1~17번은 선택형, 18~20번 세 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

배치 단원은 도함수의 활용 (1)부터 정적분의 활용까지 여섯 단원입니다. 미분 파트(04·05·06)가 9문항, 적분 파트(07·08·09)가 11문항으로 적분이 조금 더 많습니다.

이 시험은 앞 절반과 뒤 절반의 성격이 분명히 다릅니다. 1~10번은 1·8번을 빼면 모두 중이고, 11~20번은 모두 중상입니다. 앞에서 시간을 아껴 뒤 열 문항에 쓰는 구조입니다.

2025학년 난이도 분포 — 중 8, 중상 12

하 난이도가 없습니다. 가볍게 넘길 문항이 없다는 뜻입니다. 동시에 상 난이도도 없어서 손도 못 댈 문항 역시 없습니다. 모든 문항이 중 또는 중상입니다.

1번이 중상이라는 점에 주의하세요. 첫 문항부터 평균값 정리를 열린구간 조건까지 따져야 하는 문항입니다. 1번에서 시간을 너무 쓰면 2~10번의 중 문항을 풀 시간이 줄어듭니다.

11~20번 열 문항이 연속 중상입니다. 답을 직접 쓰는 18~20번도 모두 중상입니다. 이 구간은 풀 수 있는 순서대로 골라 푸는 전략이 필요합니다.

출제 단원 — 도함수의 활용 (2)·정적분 각 5문항

정적분의 활용 4문항은 전부 중상입니다(11·12·17·19번). 넓이와 운동이 모두 고난도로 나왔습니다.

정적분 5문항은 4·10번이 중, 15·16·18번이 중상입니다. 부정적분 2문항(3·6번)은 둘 다 중으로 적분 기초 구간입니다.

도함수의 활용 (2) 5문항은 2·5번 중, 8·13·14번 중상입니다.

시그니처 유형 — 11~20번 중상 열 문항

뒤 열 문항이 이 시험의 승부처입니다.

• 11번 그래프에서의 위치와 움직인 거리 · 속도 그래프의 부호와 넓이, 매개변수
• 12번 함수와 역함수의 그래프의 y=x 대칭을 이용한 넓이
• 13번 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 · 도함수의 대칭과 극값
• 14번 최대·최소의 활용; 부피
• 15번 정적분의 계산; 구간에 따라 다르게 정의된 함수 · 도함수 복원과 자연수 범위
• 16번 그래프와 정적분으로 정의된 함수 · 증감, 최대, 실근의 개수
• 17번 두 도형의 넓이가 같을 조건 · 공통접선
• 18번 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우
• 19번 두 곡선 사이의 넓이의 활용; 넓이의 최솟값
• 20번 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 · 절댓값이 들어간 함수와 수평선

정적분의 활용(넓이·운동) 4문항, 정적분 3문항, 미분 응용 3문항입니다. 특히 넓이 문항 세 개(12·17·19번)가 모두 이 구간에 있고, 유형이 서로 다릅니다. 역함수 대칭, 넓이가 같을 조건, 넓이의 최솟값을 각각 따로 연습해야 합니다.

함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정은 2번(중)과 13번(중상)에서 두 번 나왔습니다. 2번은 극소 조건으로 계수를 정하고 극댓값을 구하는 기본형, 13번은 도함수의 대칭과 극값의 대칭을 쓰는 응용형입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (1)·(2) (1·2·5·8·13·14번) — 6문항

1번 중상 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우 · 평균변화율, 도함수 방정식, 열린구간, 2번 중 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 5번 중 실수 전체의 집합에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건 · 판별식, 8번 중상 도함수의 그래프의 해석 (응용) · 그림에서 인수 읽기와 보기 판정, 13번 중상 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 14번 중상 최대·최소의 활용; 부피.

1번 평균값 정리는 평균변화율과 같은 미분계수를 갖는 점을 구한 뒤, 그 점이 열린구간 안에 있는지까지 확인해야 하는 문항입니다. 마지막 확인을 빠뜨리면 틀립니다.

8번은 보기를 판정하는 형태입니다. 그림으로 주어진 그래프에서 인수를 읽어 도함수를 정하고, 도함수의 부호로 각 보기를 따집니다.

14번 부피의 최대는 도형 관계로 부피를 한 변수의 함수로 세운 뒤 미분해 최댓값을 찾습니다.

2. 정적분 (4·10·15·16·18번) — 5문항

4번 중 우함수·기함수의 정적분; 피적분함수가 주어지지 않은 경우, 10번 중 정적분의 계산; 절댓값 기호를 포함한 함수 · 적분 방정식, 15번 중상 정적분의 계산; 구간에 따라 다르게 정의된 함수, 16번 중상 그래프와 정적분으로 정의된 함수, 18번 중상 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우.

10번 절댓값 정적분은 절댓값 안이 0이 되는 점에서 구간을 나눈 뒤 정적분으로 만든 방정식을 풉니다.

16번은 그래프로 주어진 함수를 적분해서 만든 함수의 증가·감소, 최대, 실근의 개수를 묻습니다. 정적분으로 정의된 함수를 미분하면 원래 함수가 된다는 성질로 증감을 읽습니다.

18번은 답을 직접 쓰는 문항입니다. 아래끝 값을 대입해 함숫값 조건을 얻고, 양변을 미분해 다항함수를 복원하는 순서입니다. 각 단계를 답안에 적어야 합니다.

3. 정적분의 활용 (11·12·17·19번) — 4문항, 전부 중상

11번 그래프에서의 위치와 움직인 거리, 12번 함수와 역함수의 그래프의 y=x 대칭을 이용한 넓이 · 교점과 넓이, 17번 두 도형의 넓이가 같을 조건 · 공통접선과 넓이 관계, 19번 두 곡선 사이의 넓이의 활용; 넓이의 최솟값.

17번 넓이가 같을 조건은 공통접선을 먼저 구하고, 두 넓이의 관계로 매개변수를 정하는 문항입니다.

19번은 답을 직접 쓰는 문항입니다. 두 영역의 넓이 합을 매개변수의 함수로 세우고, 그 함수를 미분해 최솟값을 찾습니다. 넓이 계산과 미분이 모두 들어갑니다.

4. 도함수의 활용 (3) (7·9·20번) — 3문항

7번 중 시각에 대한 길이의 변화율 · 닮음 관계, 9번 중 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건; 최대·최소의 활용 · 두 함수의 차의 극값과 끝값, 20번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 · 절댓값이 들어간 함수.

7번 길이의 변화율은 닮음 관계로 길이를 시각 t의 식으로 나타낸 뒤 t로 미분합니다.

20번은 답을 직접 쓰는 마지막 문항입니다. 절댓값 때문에 구간을 나눠 그래프를 그리고, 구간별로 수평선과의 교점 수를 세어 합칩니다.

5. 부정적분 (3·6번) — 2문항, 둘 다 중

3번 부정적분의 계산 · 피적분식을 약분한 뒤 적분, 6번 부정적분과 미분의 관계; ∫{d/dx f(x)}dx=f(x)+C · 최댓값.

3번은 분수식을 먼저 약분해 다항식으로 만든 뒤 적분하는 문항입니다. 6번은 미분한 것을 다시 적분하면 원래 함수에 적분상수가 붙는다는 관계를 씁니다.

주의 문항 — 중상 12문항

1번 중상 (평균값 정리) — 첫 문항부터 중상입니다. 열린구간 조건 확인이 핵심입니다.

8번 중상 (도함수의 그래프 해석, 보기 판정) — 앞쪽 구간의 두 번째 중상입니다.

11·12번 중상 (속도 그래프와 거리, 역함수 대칭 넓이) — 중상 연속 구간의 시작입니다.

13~16번 중상 — 극대·극소 미정계수, 부피의 최대, 구간별 함수의 정적분, 정적분으로 정의된 함수.

17번 중상 (넓이가 같을 조건) — 선택형 마지막 문항입니다.

18~20번 중상 — 답을 직접 쓰는 세 문항 모두 중상입니다. 정적분 등식, 넓이의 최솟값, 실근의 개수입니다.

해성여고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 부정적분 계산, 부정적분과 미분의 관계 — 3·6번 대비.
2. 우함수·기함수 정적분, 절댓값 정적분 — 4·10번 대비.
3. 삼차함수가 실수 전체에서 증가할 조건 — 5번 대비.
4. 극대·극소를 이용한 미정계수(기본) — 2번 대비.
5. 길이의 변화율, 구간 부등식 — 7·9번 대비.
6. ★ 평균값 정리와 열린구간 조건 — 1번 대비. 첫 문항 중상.
7. 도함수의 그래프 해석 — 8번 대비.
8. 극대·극소를 이용한 미정계수(응용) — 13번 대비.
9. 부피의 최대 — 14번 대비.
10. 속도 그래프로 위치와 움직인 거리 — 11번 대비.
11. ★ 역함수 대칭 넓이, 넓이가 같을 조건, 넓이의 최솟값 — 12·17·19번 대비. 넓이 3종 세트.
12. 구간별 함수의 정적분 — 15번 대비.
13. 정적분으로 정의된 함수의 그래프 — 16번 대비.
14. 정적분 등식(위끝에 변수) — 18번 대비. 단계별 풀이 쓰기.
15. 절댓값 함수와 실근의 개수 — 20번 대비.

자주 나오는 질문

해성여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항입니다. 정답 기록 기준 1~17번은 선택형, 18~20번 세 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 도함수의 활용 (2)와 정적분이 각 5문항입니다. 이어서 정적분의 활용 4문항, 도함수의 활용 (3) 3문항, 부정적분 2문항, 도함수의 활용 (1) 1문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 없습니다. 대신 중상이 12문항(60%) 이고, 11~20번 열 문항이 연속 중상입니다. 특정 킬러보다 뒤쪽 전체가 고난도인 시험입니다.

쉬운 문항은 어디에 있나요?

하 난이도는 없습니다. 비교적 평이한 중 8문항은 2~7번과 9·10번에 있습니다. 이 구간을 정확하고 빠르게 푸는 것이 우선입니다.

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