서울 마포구 홍대부여고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)
홍대부여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 홍대부여고 기말은 미분 쪽이 무거운 시험입니다. 20문항 중 도함수의 활용 12문항, 적분 8문항이고, 특히 도함수의 활용 (3)이 6문항으로 가장 많습니다. 난이도는 중 11문항, 중상 9문항 두 단계뿐입니다.
핵심 요약
- 20문항 — 정답 기록 기준 1~16번 선택형, 17~20번 답을 직접 쓰는 형태(4문항)
- 난이도: 하 0 / 중 11 / 중상 9 / 상 0
- 배치 단원: 06 도함수의 활용 (3) 6 / 05 도함수의 활용 (2) 5 / 09 정적분의 활용 3 / 08 정적분 3 / 07 부정적분 2 / 04 도함수의 활용 (1) 1
- 도함수의 활용 (1)·(2)·(3) 합계 12문항(60%)
- 중상 연속 구간: 14~16번 세 문항, 모두 도함수의 활용 (2)
홍대부여고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
서울 마포구 홍익대학교사범대학부속여자고등학교(홍대부여고)의 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 20문항입니다. 정답 기록을 보면 1~16번은 선택형, 17~20번 네 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.
배치 단원은 도함수의 활용 (1)부터 정적분의 활용까지 여섯 단원입니다. 문항 수로 보면 미분 12문항(04·05·06), 적분 8문항(07·08·09) 으로 미분 쪽이 확실히 많습니다. 2학기 기말이라고 적분만 준비하면 안 되는 시험입니다.
시험 앞부분 1~5번은 평균값 정리, 부정적분, 정적분의 활용이 섞여 있고 모두 중입니다. 6번부터 16번까지는 12번(정적분)과 13번(정적분의 활용)을 빼면 전부 도함수의 활용입니다. 미분 응용이 시험의 중심부를 차지합니다.
2025학년 난이도 분포 — 중 11, 중상 9
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 0 | 0% | — |
| 중 | 11 | 55% | 1·2·3·4·5·6·10·12·13·17·19 |
| 중상 | 9 | 45% | 7·8·9·11·14·15·16·18·20 |
| 상 | 0 | 0% | — |
하와 상이 모두 없습니다. 모든 문항이 중 또는 중상입니다.
1~6번 여섯 문항은 모두 중입니다. 시험 초반에서 빠르게 점수를 확보하는 구간입니다.
7~9번이 연속 중상으로 첫 번째 고비입니다. 10번(중)을 지나 11번이 다시 중상이고, 12·13번 중 뒤에 14~16번이 다시 연속 중상입니다. 선택형 안에서 중상 구간이 두 번 나오는 구조입니다.
답을 직접 쓰는 17~20번은 17·19번 중, 18·20번 중상입니다. 중과 중상이 번갈아 나옵니다.
출제 단원 — 도함수의 활용 (3) 6문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 06 도함수의 활용 (3) | 6 | 8·9·10·11·18·19 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 5 | 6·7·14·15·16 |
| 09 정적분의 활용 | 3 | 4·5·13 |
| 08 정적분 | 3 | 12·17·20 |
| 07 부정적분 | 2 | 2·3 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 1 | 1 |
중상 9문항 중 8문항이 도함수의 활용 (2)·(3) 입니다(7·8·9·11·14·15·16·18번). 적분 단원의 중상은 20번 한 문항뿐입니다. 즉 이 시험의 고난도는 거의 다 미분 응용에서 나왔습니다.
반대로 정적분의 활용 3문항(4·5·13번)과 부정적분 2문항(2·3번)은 모두 중입니다. 적분 쪽은 기본 유형을 정확히 풀면 점수가 나오는 구간입니다.
시그니처 유형 — 그래프로 근과 극값을 따지는 미분 응용
중상 8문항이 몰린 도함수의 활용 (2)·(3)의 공통 주제는 그래프의 모양으로 근의 개수와 극값을 판단하는 것입니다.
- 8번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 · 대칭, 수평선과의 교점 수, 극값으로 함수 복원
- 9번 중상 접선의 개수 · 접점을 매개변수로 놓은 삼차방정식의 근의 개수와 극값
- 14번 중상 사차함수가 극댓값 또는 극솟값을 가질 조건 · 도함수 인수분해와 정수 개수
- 15번 중상 함수의 극대·극소를 이용한 삼차함수의 계수의 부호 결정
- 18번 중상 두 그래프의 교점의 개수 · 절댓값이 들어간 함수
9번 접선의 개수는 접점의 x좌표를 t로 놓고 접선의 방정식을 세운 뒤, 주어진 점을 대입해 생기는 t에 대한 삼차방정식의 실근 개수로 접선 개수를 셉니다. 결국 8번과 같은 "삼차함수 그래프와 수평선" 문제로 바뀝니다.
8·9·18번 세 문항이 근(교점)의 개수를 묻습니다. 극댓값·극솟값을 구하고 수평선(또는 다른 그래프)과의 위치 관계를 그림으로 정리하는 연습이 이 시험의 핵심 준비입니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 도함수의 활용 (3) (8·9·10·11·18·19번) — 6문항
8·9·18번은 시그니처 유형 참고. 10번 중 위로 던진 물체의 위치와 속도 · 최고 높이와 지면 도달 시각, 11번 중상 속도의 그래프의 해석 · 속도의 부호, 기울기, 위치 변화, 19번 중 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건 · 극값 전체 비교.
10번 위로 던진 물체는 속도가 0일 때 최고 높이, 높이가 0일 때 지면 도달입니다. 두 시각을 헷갈리지 않는 것이 전부입니다.
11번 속도의 그래프 해석은 그래프에서 속도의 부호(운동 방향), 기울기(가속도), 넓이(위치 변화) 를 각각 읽어내는 문항입니다. 세 가지를 섞어 읽으면 틀리기 쉽습니다.
19번은 답을 직접 쓰는 문항입니다. 두 함수의 차를 놓고 모든 극값을 비교해 부등식이 항상 성립하는 범위를 구합니다.
2. 도함수의 활용 (2) (6·7·14·15·16번) — 5문항
6번 중 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 · 극대 조건과 극솟값, 7번 중상 함수의 극대·극소 · 극값을 가질 필요조건과 반례, 14·15번은 시그니처 유형 참고, 16번 중상 최대·최소의 활용; 넓이 · 넓이 식 세우기와 최대 판정.
7번은 "미분계수가 0이면 극값인가" 를 따지는 문항입니다. 미분계수가 0이어도 부호가 바뀌지 않으면 극값이 아니라는 점, 즉 필요조건과 충분조건의 차이를 반례로 구별해야 합니다.
16번 넓이의 최대는 넓이를 한 변수의 함수로 세우고 미분해 최댓값을 판정합니다. 14~16번 연속 중상의 마지막 문항입니다.
3. 정적분 (12·17·20번) — 3문항
12번 중 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우 · 정적분의 대칭과 계수 비교, 17번 중 우함수·기함수의 정적분; 피적분함수가 주어진 경우, 20번 중상 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우 · 적분상수 결정과 반복 미분.
17번은 답을 직접 쓰는 첫 문항입니다. 대칭 구간에서 홀수차항이 사라지는 성질로 계산합니다.
20번은 적분 단원의 유일한 중상입니다. 피적분함수 안에도 x가 있어 식을 정리한 뒤 미분을 두 번 이어 가야 하는 문항입니다.
4. 정적분의 활용 (4·5·13번) — 3문항, 전부 중
4번 곡선과 x축 사이의 넓이; 그래프 꼴 · 부호에 따른 넓이, 5번 위치와 위치의 변화량 · 속도 적분, 13번 함수와 역함수의 그래프의 y=x 대칭을 이용한 넓이 · 역함수와 절댓값 적분.
4번은 곡선이 x축 아래로 내려가는 구간의 넓이를 음수로 처리하지 않도록 주의해야 합니다. 13번은 역함수의 그래프가 y=x에 대해 대칭이라는 점을 써서 넓이를 계산합니다.
5. 부정적분 (2·3번)·도함수의 활용 (1) (1번)
1번 중 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우, 2번 중 부정적분의 계산 · 피적분식 정리 후 적분, 3번 중 도함수가 주어질 때 함수 구하기 · 초기 조건.
1번 평균값 정리는 평균변화율과 미분계수가 같아지는 점을 구하는 기본형입니다. 2·3번과 함께 시험 시작 세 문항을 빠르게 확보하세요.
주의 문항 — 중상 9문항
7번 중상 (극값의 필요조건과 반례) — 개념을 정확히 알아야 풀리는 문항입니다.
8·9번 중상 (실근의 개수, 접선의 개수) — 7번과 함께 첫 번째 중상 연속 구간입니다.
11번 중상 (속도의 그래프 해석) — 부호·기울기·넓이를 구분해 읽어야 합니다.
14~16번 중상 (사차함수 극값 조건, 삼차함수 계수의 부호, 넓이의 최대) — 선택형 마지막 세 문항이 모두 도함수의 활용 (2)입니다.
18번 중상 (절댓값 함수와 교점의 개수) — 답을 직접 쓰는 구간의 첫 중상입니다.
20번 중상 (변수 있는 정적분 등식) — 적분 단원의 유일한 중상이자 마지막 문항입니다.
홍대부여고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서
- 평균값 정리 — 1번 대비.
- 부정적분 계산, 도함수로 함수 구하기 — 2·3번 대비.
- 곡선과 x축 사이 넓이, 위치와 위치의 변화량 — 4·5번 대비.
- 극대·극소를 이용한 미정계수(기본) — 6번 대비.
- 위로 던진 물체 — 10번 대비.
- 정적분 등식(상수 구간), 우함수·기함수 정적분 — 12·17번 대비.
- 역함수 대칭 넓이 — 13번 대비.
- 부등식이 항상 성립할 조건 — 19번 대비.
- 극값의 필요조건과 충분조건 — 7번 대비.
- ★ 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 8번 대비. 시그니처의 뿌리.
- ★ 접선의 개수 — 9번 대비. 삼차방정식 근의 개수로 바꾸기.
- 속도의 그래프 해석 — 11번 대비.
- 사차함수가 극값을 가질 조건, 삼차함수 계수의 부호 — 14·15번 대비.
- 넓이의 최대 — 16번 대비.
- 절댓값 함수와 교점의 개수 — 18번 대비.
- 피적분함수에 변수가 있는 정적분 등식 — 20번 대비.
자주 나오는 질문
홍대부여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 20문항입니다. 정답 기록 기준 1~16번은 선택형, 17~20번 네 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 도함수의 활용 (3)이 6문항으로 가장 많습니다. 이어서 도함수의 활용 (2) 5문항, 정적분의 활용·정적분 각 3문항, 부정적분 2문항, 도함수의 활용 (1) 1문항입니다.
2학기 기말인데 적분보다 미분이 많나요?
네. 배치 단원 기준 도함수의 활용 12문항, 적분 8문항입니다. 중상 9문항 중 8문항도 도함수의 활용 단원입니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도는 없습니다. 최고 난도는 중상 9문항이고, 7~9번과 14~16번에 세 문항씩 연속으로 있습니다.
과년도 홍대부여고 기출도 볼 수 있나요?
내신판은 확보된 원문만 제공합니다. 찾는 시험지가 없으면 내신판에서 요청할 수 있습니다.
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