도선고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025 서울 성동구)

도선고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 범위는 도함수의 활용과 적분이지만, 실제 배치를 세어 보면 적분 쪽이 15문항으로 압도적입니다. 그리고 단원을 가로질러 직선 위의 운동(속도·가속도·위치·거리)이 6문항이나 나왔습니다.

핵심 요약

• 22문항 — 정답 기록 기준 1~19번 선택형, 20~22번 서술형 3문항
• 난이도: 하 4 / 중 6 / 중상 8 / 상 4
• 배치 단원: 08 정적분 7 / 06 도함수의 활용 (3) 6 / 07 부정적분 4 / 09 정적분의 활용 4 / 05 도함수의 활용 (2) 1
• 시그니처: 속도·가속도·위치·거리 문항 6개(2·8·11·17·19·21번)
• 8~16번 아홉 문항 중 여덟 문항이 중상

도선고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ는 어떤 시험인가

도선고등학교는 서울 성동구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 22문항이고, 정답 기록을 보면 1~19번은 선택형 정답(①~⑤), 20~22번 세 문항은 서술형입니다.

배치 단원으로 나누면 도함수의 활용 7문항(05·06), 적분 15문항(07·08·09) 입니다. 특히 극값·증감·최대최소를 다루는 05 도함수의 활용 (2)는 6번 한 문항뿐입니다. 도함수 파트에서 나온 나머지 6문항은 모두 방정식·부등식·속도를 다루는 06 단원입니다.

시험을 준비할 때 적분을 중심에 두고, 도함수는 방정식·부등식·운동 쪽을 집중적으로 보는 편이 이 시험 구조에 맞습니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 8문항이 한 구간에

번호 순으로 난도가 단계적으로 올라가는 시험입니다.

• 1~7번 — 하 4, 중 3. 하 난이도가 전부 여기 있습니다.
• 8~16번 — 9번(중)을 빼면 여덟 문항이 연속으로 중상입니다.
• 17~19번 — 세 문항 연속 상.
• 20~22번 서술형 — 중, 중, 상.

중상 문항이 한 구간에 몰려 있어 8번부터 체감 난도가 확 올라갑니다. 1~7번을 빠르게 끝내야 중상 구간과 17~19번 상 구간에 시간을 쓸 수 있습니다.

같은 성동구에서 함께 분석한 경일고(상 9문항), 무학여고(상 3문항)와 비교하면 도선고는 상 4문항으로 중간 수준이지만, 중상 비중이 36%로 두껍습니다.

출제 단원 — 정적분이 7문항

08 정적분이 7문항으로 최다입니다. 정적분의 계산, 정적분을 포함한 등식, 정적분으로 정의된 함수의 극한, 우함수·기함수, 주기함수, 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소까지 단원 안의 유형이 고르게 나왔습니다.

부정적분도 4문항으로, 이번에 함께 분석한 서울 성동구·서초구·서대문구 8개 학교 가운데 가장 많습니다. 접선의 기울기, 부정적분과 미분의 관계, 부정적분의 계산이 골고루 나왔습니다.

시그니처 — 직선 위의 운동 6문항

이 시험에서 가장 많이 반복된 소재는 수직선 위를 움직이는 점입니다.

• 2번 하 가속도 — 위치를 두 번 미분
• 8번 중상 속도·가속도와 운동 방향 — 방향이 바뀌는 조건으로 속도의 계수 결정
• 11번 중상 그래프에서의 위치와 움직인 거리 — 속도 그래프를 보고 진술 판정
• 17번 상 움직인 거리 — 변위와 거리로 원점을 다시 지나는 조건
• 19번 상 위치와 위치의 변화량 — 두 점의 위치 차
• 21번 중(서술형) 속도·가속도와 운동 방향 — 두 점의 속도 곱이 음수인 범위

미분 쪽(2·8·21번)과 적분 쪽(11·17·19번)이 정확히 3문항씩입니다. 위치를 미분하면 속도, 속도를 적분하면 위치의 변화량, 속도의 절댓값을 적분하면 움직인 거리라는 연결을 양방향으로 쓸 수 있어야 합니다. 상 4문항 중 두 문항(17·19번)이 이 소재입니다.

같은 유형이 두 번 나온 경우도 있습니다.

• 속도·가속도와 운동 방향 — 8번(중상), 21번(중, 서술형)
• 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건; 최대·최소의 활용 — 14번(중상), 22번(상, 서술형)

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 정적분 (1·4·5·9·15·16·18번) — 7문항

1번 하 정적분의 계산(다항함수의 정적분), 4번 하 정적분을 포함한 등식; 위끝에 변수가 있는 경우, 5번 중 정적분으로 정의된 함수의 극한, 9번 중 우함수·기함수의 정적분(대칭구간의 절댓값 정적분), 15번 중상 정적분을 포함한 등식; 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우, 16번 중상 주기함수의 정적분, 18번 상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소.

1·4번은 하로 반드시 챙겨야 할 문항입니다. 4번과 15번이 같은 "정적분을 포함한 등식" 계열인데 난이도는 하와 중상입니다. 4번은 미적분의 기본정리로 한 번 미분하면 끝나고, 15번은 경계값 대입과 미분을 함께 써서 두 계수를 연립해야 합니다.

16번 주기함수의 정적분은 한 주기 적분값을 먼저 구한 뒤 구간을 주기 단위로 나누는 구조입니다.

2. 부정적분 (3·7·13·20번) — 4문항

3번 중 부정적분과 접선의 기울기, 7번 하 부정적분과 미분의 관계, 13번 중상 부정적분과 미분의 관계(곱의 미분 꼴 적분 항등식), 20번 중(서술형) 부정적분의 계산(유리식의 부정적분).

7번과 13번이 같은 "부정적분과 미분의 관계" 입니다. 7번은 하, 13번은 곱의 미분 꼴을 알아봐야 하는 중상입니다. 20번 서술형은 분자를 인수분해해 약분한 뒤 적분하는 형태이고, 서술형이므로 적분상수를 반드시 적어야 합니다.

3. 도함수의 활용 (3) (2·8·10·14·21·22번) — 6문항

2번 하 가속도, 8번 중상 속도·가속도와 운동 방향, 10번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 부호(서로 다른 양수근의 개수), 14번 중상 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건, 21번 중(서술형) 속도·가속도와 운동 방향, 22번 상(서술형) 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건(절댓값 함수).

14번과 22번이 같은 부등식 유형입니다. 14번은 양변의 차를 미분해 구간 끝점과 극솟값을 비교하는 문항이고, 22번은 절댓값이 붙어 구간을 나눠 따져야 하는 서술형 상 문항입니다.

4. 정적분의 활용 (11·12·17·19번) — 4문항

11번 중상 그래프에서의 위치와 움직인 거리, 12번 중상 곡선과 x축 사이의 넓이(절댓값이 붙은 곡선), 17번 상 움직인 거리, 19번 상 위치와 위치의 변화량.

네 문항 중 세 문항이 운동 소재입니다. 순수한 넓이 문항은 12번 하나이고, 절댓값 곡선의 대칭을 이용해 넓이를 합산하는 형태입니다.

5. 도함수의 활용 (2) (6번) — 1문항

6번 중 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정(삼차함수의 상수 결정).

극대·극소 위치를 먼저 정하고 극값 조건으로 상수를 구하는 기본형입니다. 이 단원 문항이 이것 하나뿐이니 확실히 맞혀야 합니다.

주의 문항

8번 중상 (운동 방향) — 중상 구간의 첫 문항입니다. 방향이 바뀌는 시각에 속도가 0이라는 조건과, 실제로 부호가 바뀌는지 확인하는 과정이 필요합니다.

16번 중상 (주기함수의 정적분) — 구간 분할을 잘못하면 값이 크게 틀어집니다.

17번 상 (움직인 거리) — 원점을 다시 지나는 조건을 변위와 거리로 각각 세워야 합니다.

18번 상 (정적분으로 정의된 함수의 극대·극소) — 정의식을 미분해 도함수를 만들고 극대가 하나뿐인 조건을 따지는 문항입니다.

19번 상 (위치와 위치의 변화량) — 두 점의 위치 차에 절댓값이 붙어 교점 개수를 세는 구조입니다.

22번 상 (서술형, 부등식) — 서술형 세 문항 중 유일한 상입니다.

도선고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 정적분의 기본 계산과 미적분의 기본정리 — 1·4번 대비. 확보 구간입니다.
2. 부정적분과 미분의 관계 — 7·13번 대비.
3. 부정적분과 접선의 기울기 — 3번 대비.
4. 유리식의 부정적분 — 20번 서술형 대비. 약분 후 적분, 적분상수 표기.
5. 정적분으로 정의된 함수의 극한 — 5번 대비.
6. 우함수·기함수와 주기함수의 정적분 — 9·16번 대비.
7. 극값으로 미정계수 결정 — 6번 대비.
8. ★ 속도·가속도·운동 방향 — 2·8·21번 대비.
9. ★ 위치의 변화량과 움직인 거리 — 11·17·19번 대비. 이 시험의 시그니처입니다.
10. 방정식의 실근의 부호 — 10번 대비.
11. ★ 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건 — 14·22번 대비.
12. 정적분을 포함한 등식(피적분함수에 변수) — 15번 대비.
13. 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 18번 대비.
14. 곡선과 x축 사이의 넓이(절댓값 곡선) — 12번 대비.

자주 나오는 질문

도선고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 22문항입니다. 정답 기록 기준으로 1~19번은 선택형, 20~22번 세 문항은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 08 정적분이 7문항으로 가장 많고, 06 도함수의 활용 (3)이 6문항입니다. 적분 단원(07·08·09)을 합치면 15문항으로 전체의 3분의 2가 넘습니다.

킬러 문항은 어디에 있나요?

상 난이도는 17·18·19·22번 4문항입니다. 대신 8~16번에 중상 8문항이 연속으로 있어 실제로 시간이 많이 드는 구간은 더 넓습니다.

속도·거리 문제가 왜 그렇게 중요한가요?

직선 위의 운동을 다룬 문항이 6문항(2·8·11·17·19·21번) 이고, 그중 두 문항이 상입니다. 미분과 적분 양쪽에서 모두 나왔기 때문에 한 번 정리해 두면 여러 문항을 함께 대비할 수 있습니다.

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