언남고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

언남고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 23문항입니다. 상 난이도는 2문항뿐이지만, 그 대신 중상이 11문항으로 전체의 절반 가까이를 차지합니다. 한 문항으로 승부가 나는 시험이 아니라, 중상 문항을 몇 개나 끝까지 푸느냐로 점수가 갈리는 시험입니다.

핵심 요약

• 23문항 — 정답 기록 기준 1~18번 선택형, 19~23번 서술형 5문항
• 난이도: 하 1 / 중 9 / 중상 11 / 상 2
• 배치 단원: 09 정적분의 활용 8 / 08 정적분 5 / 06 도함수의 활용 (3) 5 / 05 도함수의 활용 (2) 4 / 07 부정적분 1
• 최다 단원: 정적분의 활용 8문항 — 넓이 5, 운동 3
• 상 문항: 17번(두 곡선 사이의 넓이), 18번(최대·최소를 이용한 미정계수의 결정)

언남고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ는 어떤 시험인가

언남고등학교는 서울 서초구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 23문항입니다. 정답 기록을 보면 1~18번은 선택형 정답(①~⑤)이고, 19~23번 다섯 문항은 서술형입니다.

배치 단원으로 묶으면 도함수의 활용 9문항(05·06), 적분 14문항(07·08·09) 입니다. 그중에서도 09 정적분의 활용이 8문항으로 한 단원이 시험의 3분의 1을 차지합니다. 넓이와 직선 위의 운동을 얼마나 탄탄하게 준비했는지가 그대로 점수로 이어지는 구조입니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 11문항

하 난이도는 2번 한 문항입니다. 대신 1~7번은 2번을 빼고 모두 중이라 시험 초반은 무난합니다.

난도가 올라가는 지점은 8번입니다. 8번부터 18번까지 11문항 중 중상 8문항, 상 2문항이고 중은 12번 하나뿐입니다. 서술형 다섯 문항도 세 문항(20·21·22번)이 중상입니다.

이번에 함께 분석한 서초구 학교들과 비교하면, 언남고는 상 문항이 2개로 가장 적고(서울고 5, 동덕여고 8, 양재고 3), 중상 문항은 11개로 가장 많습니다. 손도 못 대는 문항보다 시간이 오래 걸리는 문항이 많은 시험이라고 보면 됩니다.

출제 단원 — 정적분의 활용 8문항

09 정적분의 활용 8문항의 구성을 보면 넓이가 5문항(5·9·17·22·23번), 운동이 3문항(4·13·16번)입니다. 넓이 쪽은 곡선과 x축, 역함수 대칭, 두 곡선 사이, 두 도형의 넓이가 같을 조건, 곡선과 접선까지 유형이 하나도 겹치지 않습니다.

부정적분은 하 난이도 2번 한 문항입니다.

두 번씩 나온 유형

• 정적분의 계산; 적분 구간이 같은 경우 — 3번(중), 7번(중)
• 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 10번(중상), 19번(중, 서술형)
• 움직인 거리 — 13번(중상), 16번(중상)

10번과 19번이 같은 실근 개수 유형인데 난이도가 다릅니다. 19번 서술형은 증감표와 극값으로 실근 개수를 분류하는 기본형이고, 10번은 절댓값이 붙은 삼차방정식의 실근 개수를 극값으로 해석하는 문항입니다. 19번 풀이를 정확히 쓸 수 있으면 10번의 출발점이 됩니다.

13번과 16번 움직인 거리는 둘 다 중상입니다. 13번은 속도 부호별 이동 거리와 변위를 구분하는 문항, 16번은 세 구간 이동 거리 중 최소를 비교하는 문항입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 정적분의 활용 — 넓이 (5·9·17·22·23번)

5번 중 곡선과 x축 사이의 넓이(넓이 조건으로 양의 매개변수 결정), 9번 중상 함수와 역함수의 그래프의 y=x 대칭을 이용한 넓이, 17번 상 두 곡선 사이의 넓이(원점 대칭인 두 사차함수), 22번 중상(서술형) 두 도형의 넓이가 같을 조건, 23번 중(서술형) 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이.

9번 역함수 넓이는 원함수와 역함수 그래프가 y=x에 대칭이라는 성질로 넓이를 옮겨 계산하는 유형입니다. 22번은 두 영역의 넓이가 같다는 조건을 정적분 값이 0이라는 식으로 바꾸는 것이 핵심입니다.

2. 정적분의 활용 — 운동 (4·13·16번)

4번 중 위치와 위치의 변화량(방향이 바뀌는 시각까지 속도를 적분해 위치 구하기), 13번 중상 움직인 거리, 16번 중상 움직인 거리.

세 문항 모두 속도의 부호가 출발점입니다. 위치의 변화량은 속도를 그대로 적분하고, 움직인 거리는 속도의 절댓값을 적분합니다.

3. 정적분 (3·7·8·14·21번)

3번 중 정적분의 계산(세 값을 계산해 대소 비교), 7번 중 정적분의 계산(같은 구간 정적분을 계산해 합 구하기), 8번 중상 사차함수가 극댓값 또는 극솟값을 가질 조건 · 미적분의 기본정리의 활용, 14번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소, 21번 중상(서술형) 미분계수를 이용한 극한값의 계산 · 정적분으로 정의된 함수의 극한.

14번은 정적분으로 정의된 함수의 부호·극값·증가 구간·실근 개수를 한꺼번에 판단하는 보기형입니다. 정의된 함수를 미분해 도함수를 먼저 구하는 것이 순서입니다.

21번 서술형은 미분계수 꼴 극한과 정적분 꼴 극한을 함께 써서 이차함수의 계수를 정하는 문항입니다.

4. 도함수의 활용 (3) (6·10·15·19·20번)

6번 중 속도·가속도와 운동 방향, 10번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 15번 중상 접선의 개수, 19번 중(서술형) 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 20번 중상(서술형) 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건.

15번 접선의 개수는 접선의 y절편을 함수로 놓고 그 그래프로 접선 개수를 세는 문항입니다. 20번 서술형은 서로 다른 변수에 대한 부등식을 f의 최댓값 < g의 최솟값 꼴로 바꿔야 하는 유형이라, 변환 이유를 풀이에 적어야 합니다.

5. 도함수의 활용 (2) (1·11·12·18번)

1번 중 도함수의 그래프를 이용한 함수의 극대·극소, 11번 중상 실수 전체의 집합에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건(정수 계수의 개수), 12번 중 함수의 증가와 감소, 18번 상 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정.

11번은 도함수의 판별식 조건으로 정수 계수의 개수를 세는 문항입니다. 판별식이 0일 때를 포함하는지 확인해야 합니다. 18번은 절댓값 함수의 최댓값 후보(양 끝값과 내부 임계점)를 매개변수 범위별로 비교하는 문항으로, 경우를 빠짐없이 나누는 것이 관건입니다.

6. 부정적분 (2번)

2번 하 도함수가 주어질 때 함수 구하기. 이 시험의 유일한 하 난이도 문항입니다.

주의 문항

8번 중상 (사차함수의 극값 조건) — 중상 구간의 첫 문항이고, 정적분 관계로 계수를 정한 뒤 극솟값까지 구해야 합니다.

10번 중상 (실근의 개수) — 절댓값이 붙은 방정식입니다.

15번 중상 (접선의 개수) — 이 시험에서 접선을 다룬 유일한 문항입니다.

17번 상 (두 곡선 사이의 넓이) — 두 함수의 차를 직접 구성하고 교점과 넓이 구조를 찾아야 하는 문항입니다.

18번 상 (최대·최소를 이용한 미정계수의 결정) — 경우 나누기가 많습니다.

20·21·22번 중상 (서술형) — 서술형 다섯 문항 중 세 문항이 중상입니다. 과정 점수를 놓치지 않도록 식의 근거를 적는 연습이 필요합니다.

언남고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 도함수가 주어질 때 함수 구하기 — 2번 대비. 유일한 하 문항.
2. 정적분의 기본 계산 — 3·7번 대비.
3. 도함수의 그래프와 극대·극소, 증가·감소 — 1·12번 대비.
4. 속도·가속도와 운동 방향 — 6번 대비.
5. 위치의 변화량과 움직인 거리 — 4·13·16번 대비.
6. 곡선과 x축 사이의 넓이 — 5번 대비.
7. 곡선과 접선으로 둘러싸인 넓이 — 23번 서술형 대비.
8. ★ 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 19번 서술형, 10번 대비.
9. 삼차함수가 증가·감소하기 위한 조건 — 11번 대비.
10. 역함수를 이용한 넓이 — 9번 대비.
11. 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소와 극한 — 14·21번 대비.
12. 사차함수의 극값 조건 — 8번 대비.
13. 접선의 개수 — 15번 대비.
14. ★ 부등식이 항상 성립할 조건 — 20번 서술형 대비.
15. ★ 두 곡선 사이의 넓이, 두 도형의 넓이가 같을 조건 — 17·22번 대비.
16. 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정 — 18번 대비.

자주 나오는 질문

언남고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 23문항입니다. 정답 기록 기준으로 1~18번은 선택형, 19~23번 다섯 문항은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 09 정적분의 활용이 8문항으로 가장 많습니다. 08 정적분과 06 도함수의 활용 (3)이 각 5문항, 05 도함수의 활용 (2)가 4문항, 07 부정적분이 1문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 17번과 18번 두 문항입니다. 다만 중상이 11문항으로 많아서 시간 배분이 더 중요한 시험입니다.

서술형은 어떤 유형이 나오나요?

19번 실근의 개수(중), 20번 부등식이 항상 성립할 조건(중상), 21번 미분계수·정적분 꼴 극한(중상), 22번 두 도형의 넓이가 같을 조건(중상), 23번 곡선과 접선 사이 넓이(중)입니다.

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