서울고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

서울고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 이 시험의 성격은 한 유형으로 요약됩니다. 두 그래프의 교점의 개수가 4문항(10·13·18·21번) 나왔고, 그중 세 문항이 상 난이도입니다. 상 5문항 가운데 3문항이 같은 유형입니다.

핵심 요약

• 22문항 — 정답 기록 기준 1~18번 선택형, 19~22번 서술형 4문항
• 난이도: 하 1 / 중 11 / 중상 5 / 상 5
• 배치 단원: 09 정적분의 활용 6 / 05 도함수의 활용 (2) 5 / 08 정적분 4 / 06 도함수의 활용 (3) 4 / 07 부정적분 2 / 03 미분계수와 도함수 1
• 최다 반복 유형: 두 그래프의 교점의 개수 4회 — 13·18·21번은 상
• 1~11번은 9번(중상)을 빼면 하·중만

서울고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ는 어떤 시험인가

서울고등학교는 서울 서초구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 22문항입니다. 정답 기록을 보면 1~18번은 선택형 정답(①~⑤), 19~22번 네 문항은 서술형입니다.

배치 단원은 도함수의 활용 9문항(05·06), 적분 12문항(07·08·09), 그리고 03 미분계수와 도함수로 배치된 문항 1개(12번) 입니다. 시험 범위 이름은 도함수의 활용과 정적분의 활용이지만, 12번은 미분계수를 이용한 미정계수의 결정 문항이라 앞 단원에 배치되어 있습니다.

2025학년 난이도 분포 — 중 11, 상 5

중 난이도가 절반입니다. 그리고 그 중 문항들은 대부분 앞쪽에 모여 있습니다. 1~11번은 하 1, 중 9, 중상 1(9번) 입니다.

12~18번 일곱 문항은 중상 4, 상 3으로 난도가 한 번에 올라갑니다. 서술형 네 문항은 19·20번이 중, 21·22번이 상입니다.

정리하면, 앞 11문항과 서술형 19·20번까지 13문항을 확실히 지키고, 남은 시간을 12~18번과 21·22번에 쓰는 구조입니다.

이번에 함께 분석한 서초구 학교들의 상 문항 수는 언남고 2, 양재고 3, 서울고 5, 동덕여고 8입니다. 서울고는 그 가운데 중간입니다.

출제 단원

09 정적분의 활용이 6문항으로 최다입니다. 06 도함수의 활용 (3)은 4문항인데, 4문항 전부가 "두 그래프의 교점의 개수" 입니다. 한 단원이 한 유형으로만 출제된 셈입니다.

시그니처 유형 — "두 그래프의 교점의 개수" 4회

10번은 두 함수의 차의 최솟값으로 만나지 않을 조건을 찾는 기본형입니다. 13·18·21번은 함수가 구간별로 정의되거나 평행이동·구간 최댓값으로 새로 만들어진 형태라, 그래프를 직접 그려 보는 단계가 길어집니다.

네 문항 모두 결국 그래프 개형을 정확히 그리고 직선과 몇 번 만나는지 세는 문제입니다. 극값과 구간 경계값을 빠짐없이 계산하는 습관이 이 시험의 상 문항 세 개를 결정합니다.

이 밖에 두 번 나온 유형은 다음과 같습니다.

• 곡선과 x축 사이의 넓이 — 5번(중), 22번(상, 서술형)
• 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 16번(상), 22번(상, 서술형)

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 정적분의 활용 (5·6·9·11·14·22번) — 6문항

5번 중 곡선과 x축 사이의 넓이(삼차곡선의 부호별 넓이), 6번 중 위치와 위치의 변화량(두 운동의 위치가 같아지는 시각), 9번 중상 그래프에서의 위치와 움직인 거리(속도 그래프의 거리와 위치), 11번 중 함수와 그 역함수의 정적분, 14번 중상 두 도형의 넓이가 같을 조건, 22번 상(서술형) 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 · 곡선과 x축 사이의 넓이.

5번과 22번이 같은 넓이 유형인데, 22번은 정적분으로 정의된 함수의 극대 조건으로 계수를 먼저 정한 뒤 넓이를 구하는 서술형입니다.

2. 도함수의 활용 (2) (2·7·8·15·19번) — 5문항

2번 중 주어진 구간에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건, 7번 중 도함수의 그래프를 이용한 함수의 극대·극소, 8번 중 함수의 증가와 감소(역함수가 존재할 조건), 15번 중상 사차함수가 극댓값 또는 극솟값을 갖지 않을 조건, 19번 중(서술형) 함수의 최대·최소(닫힌구간).

8번은 역함수가 존재하려면 함수가 증가 또는 감소해야 한다는 조건을 도함수로 바꾸는 문항입니다. 19번 서술형은 닫힌구간에서 극값과 양 끝값을 비교하는 기본형이라 반드시 득점해야 합니다.

3. 정적분 (1·16·17·20번) — 4문항

1번 하 정적분의 계산; 피적분함수가 같은 경우, 16번 상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소, 17번 중상 정적분의 계산; 절댓값 기호를 포함한 함수, 20번 중(서술형) 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우.

17번은 절댓값이 들어간 정적분을 다시 적분하는 구조라 구간을 세 개로 나눠야 합니다. 20번 서술형은 상수인 정적분 값을 k로 놓고 방정식을 세우는 기본형입니다.

4. 도함수의 활용 (3) (10·13·18·21번) — 4문항

위 시그니처 표의 네 문항입니다. 모두 두 그래프의 교점의 개수 유형입니다.

5. 부정적분 (3·4번) — 2문항

3번 중 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기, 4번 중 부정적분의 계산(약분되는 유리식).

6. 미분계수와 도함수 (12번) — 1문항

12번 중상 미분계수를 이용한 미정계수의 결정. 극한이 존재한다는 조건에서 계수를 정하는 문항으로, 앞 단원 내용이 기말에도 한 문항 나왔습니다.

주의 문항 — 상 5문항

13번 상 (두 그래프의 교점의 개수) — 조각함수의 왼쪽·오른쪽 부분을 따로 보고 경계 높이를 비교해야 합니다.

16번 상 (정적분으로 정의된 함수의 극대·극소) — 대칭성을 이용해 극값과 정적분 값을 구하는 문항입니다.

18번 상 (두 그래프의 교점의 개수) — 평행이동이 반복되는 함수라 구간마다 교점을 세야 합니다.

21번 상 (서술형, 교점의 개수) — 구간 최댓값으로 정의된 함수의 그래프를 먼저 만들어야 합니다.

22번 상 (서술형, 정적분으로 정의된 함수와 넓이) — 계수 결정과 넓이 계산이 이어지는 복합형입니다.

서울고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 정적분의 기본 계산 — 1번 대비.
2. 부정적분의 계산과 관계식 — 3·4번 대비.
3. 도함수 부호로 증가·감소, 극대·극소 — 2·7·8번 대비.
4. 닫힌구간의 최댓값·최솟값 — 19번 서술형 대비.
5. 상수인 정적분을 포함한 등식 — 20번 서술형 대비.
6. 곡선과 x축 사이의 넓이 — 5번 대비.
7. 위치와 움직인 거리 — 6·9번 대비.
8. 역함수의 정적분 — 11번 대비.
9. 미분계수를 이용한 미정계수 결정 — 12번 대비. 앞 단원 복습.
10. 사차함수의 극값 조건 — 15번 대비.
11. 절댓값 함수의 정적분 — 17번 대비.
12. 두 도형의 넓이가 같을 조건 — 14번 대비.
13. ★ 두 그래프의 교점의 개수 — 10·13·18·21번 대비. 이 시험의 시그니처입니다.
14. ★ 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 16·22번 대비.

자주 나오는 질문

서울고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 22문항입니다. 정답 기록 기준으로 1~18번은 선택형, 19~22번 네 문항은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 09 정적분의 활용이 6문항으로 가장 많고, 05 도함수의 활용 (2)가 5문항입니다.

킬러 문항은 어떤 유형인가요?

상 5문항 중 3문항(13·18·21번)이 두 그래프의 교점의 개수입니다. 나머지 두 문항(16·22번)은 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소와 관련된 문항입니다.

쉬운 구간은 어디인가요?

1~11번은 9번(중상)을 빼면 하·중 문항입니다. 서술형 19·20번도 중 난이도입니다.

과년도 서울고 기출도 볼 수 있나요?

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