명지고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

명지고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 23문항입니다. 배치 단원은 도함수의 활용 (2)·(3)과 부정적분·정적분·정적분의 활용입니다. 이 시험의 특징은 중상 11문항, 상 4문항으로 중상 이상이 15문항이라는 점, 그리고 하 난이도가 19번 한 문항뿐이라는 점입니다.

핵심 요약

• 23문항 — 정답 기록 기준 1~18번 선택형, 19~23번 서술형 5문항
• 난이도: 하 1 / 중 7 / 중상 11 / 상 4
• 배치 단원: 05 도함수의 활용 (2) 8 / 08 정적분 5 / 06 도함수의 활용 (3) 5 / 09 정적분의 활용 4 / 07 부정적분 1
• 최다 단원: 도함수의 활용 (2) 8문항 — 증가·감소, 극대·극소, 최대·최소
• 상 4문항: 16·17·18·23번

명지고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

명지고등학교는 서울 서대문구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 23문항입니다. 정답 기록을 보면 1~18번은 ①~⑤ 중 하나를 고르는 선택형이고, 19~23번 다섯 문항이 서술형입니다.

크게 보면 미분 파트 13문항, 적분 파트 10문항입니다. 미분은 도함수의 활용 (2) 8문항과 (3) 5문항, 적분은 부정적분 1문항·정적분 5문항·정적분의 활용 4문항입니다.

배치는 단원 순서대로 흐르지 않습니다. 1번이 정적분의 활용, 2번이 정적분, 3번이 속도·가속도로 시작해 미분과 적분이 번갈아 나옵니다. 시험지를 받으면 문항마다 어느 파트인지 먼저 확인하고 들어가는 편이 낫습니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 이상 15문항

중상이 절반 가까이입니다. 하 난이도는 서술형 첫 문항인 19번 부정적분 계산 하나뿐이고, 선택형 1~18번에는 하가 한 문항도 없습니다.

1~5번이 전부 중이라 앞부분에서 리듬을 잡을 수 있지만, 6번부터 11번까지 여섯 문항이 연달아 중상입니다. 이어서 16·17·18번 상 세 문항이 선택형 끝에 몰려 있고, 서술형 마지막 23번도 상입니다.

출제 단원 — 도함수의 활용 (2)가 8문항

도함수의 활용 (2) 8문항이 가장 많습니다. 함수의 증가·감소, 극대·극소, 최대·최소가 여기 들어갑니다. 8문항 중 중이 2문항(5·12번)이고 나머지 6문항은 중상 이상입니다.

적분 쪽 10문항은 정적분 5, 정적분의 활용 4, 부정적분 1로 나뉩니다. 부정적분 단독 문항은 19번 하나뿐이고, 대부분 정적분을 포함한 등식, 정적분으로 정의된 함수, 넓이로 출제됐습니다.

반복 유형 — 두 번 이상 쓰인 개념

여러 문항에 겹쳐 나온 유형은 다음과 같습니다.

• 함수의 최대·최소 — 5·9·16번
• 속도·가속도와 운동 방향 — 3·20번
• 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건 — 6·17번
• 두 곡선 사이의 넓이 — 16·17번
• 그래프와 정적분으로 정의된 함수 — 18·22번
• 미분가능성과 연속성 — 9·23번
• 도함수의 그래프를 이용한 함수의 극대·극소 — 21·23번

눈여겨볼 점은 상 난이도 16·17번이 둘 다 "두 곡선 사이의 넓이"에 미분 개념을 얹은 복합형이라는 것입니다. 16번은 함수의 최대·최소와, 17번은 부등식이 항상 성립할 조건과 결합돼 있습니다. 넓이 계산만 연습해서는 이 두 문항이 열리지 않습니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (2) (5·7·9·10·11·12·21·23번) — 8문항

5번 중 함수의 최대·최소(닫힌구간 삼차함수의 최솟값), 7번 중상 최대·최소의 활용; 부피(원뿔에 내접하는 원기둥의 최대 부피), 9번 중상 미분가능성과 연속성 · 함수의 최대·최소(절댓값 함수의 미분가능성), 10번 중상 함수의 극대·극소(극값의 정의), 11번 중상 함수의 증가와 감소(감소 구간과 정수 조건), 12번 중 도함수의 그래프의 해석 (응용)(도함수 그림과 극값의 높이차), 21번 중상 서술형 도함수의 그래프를 이용한 함수의 극대·극소, 23번 상 서술형 미분가능성과 연속성 · 도함수의 그래프를 이용한 함수의 극대·극소.

5번 닫힌구간 최솟값은 도함수가 0이 되는 점과 구간 양 끝의 함숫값을 비교하는 기본 절차입니다. 확보해야 할 문항입니다.

7번은 원뿔 안에 원기둥이 내접하는 설정입니다. 닮음으로 높이를 반지름의 식으로 나타낸 뒤 부피를 미분하는 순서입니다.

10번은 극값의 정의 자체를 묻습니다. 극값의 정의를 근거로 합성·제곱한 함수에서도 극값이 유지되는지 판정하는 개념 문항입니다.

21·23번 서술형 두 문항이 모두 도함수 그래프를 읽는 문항입니다. 도함수 그래프에서 부호가 바뀌는 점과 바뀌지 않는 점을 구별하는 연습이 필요합니다.

2. 도함수의 활용 (3) (3·6·14·15·20번) — 5문항

3번 중 속도·가속도와 운동 방향(속도 그래프로 방향·가속도 판정), 6번 중상 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건(사차 함수 부등식), 14번 중 정지하는 물체의 속도와 움직인 거리(제동 가속도·반응 거리·안전거리), 15번 중상 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 · 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(대칭인 사차함수와 네 실근), 20번 중상 서술형 속도·가속도와 운동 방향(운동 방향이 처음 바뀌는 순간의 가속도).

3번과 20번이 같은 유형입니다. 3번은 그래프를 보고 판정하고, 20번은 위치 함수를 직접 미분해 운동 방향이 바뀌는 시각을 찾는 서술형입니다. 속도의 부호가 바뀌는 순간 = 운동 방향이 바뀌는 순간이라는 대응을 확실히 해 두세요.

14번은 제동 거리 문제입니다. 반응 거리와 제동 거리를 더하는 상황 설정이 길게 나오지만 난이도는 중입니다.

3. 정적분 (2·4·13·18·22번) — 5문항

2번 중 정적분을 포함한 등식; 위끝에 변수가 있는 경우, 4번 중 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우, 13번 중상 정적분의 계산; 절댓값 기호를 포함한 함수, 18번 상 그래프와 정적분으로 정의된 함수, 22번 중상 서술형 롤의 정리 · 그래프와 정적분으로 정의된 함수.

2번과 4번은 "정적분을 포함한 등식"의 두 가지 형태를 나란히 물었습니다. 위끝이 변수면 양변을 미분하고, 위끝과 아래끝이 상수면 정적분 값을 상수로 놓습니다. 두 처리를 헷갈리지 않는 것이 핵심입니다.

18번은 이 시험의 상 문항 중 하나입니다. 정적분으로 정의된 함수를 미분해 증가·감소 구간을 읽고, 그 조건으로 사차함수를 복원하는 흐름입니다. 22번 서술형은 롤의 정리까지 결합됐습니다.

4. 정적분의 활용 (1·8·16·17번) — 4문항

1번 중 포물선과 직선 사이의 넓이; 1/6 공식, 8번 중상 두 도형의 넓이가 같을 조건(정사각형 안 포물선 영역의 넓이 비), 16번 상 함수의 최대·최소 · 두 곡선 사이의 넓이(이동하는 구간의 최솟값 함수), 17번 상 부등식이 항상 성립할 조건 · 두 곡선 사이의 넓이(사다리꼴 조건과 최대 넓이).

1번은 1/6 공식으로 빠르게 끝낼 수 있는 문항입니다. 공식을 알면 시간을 크게 아낍니다.

16·17번이 선택형 상 난이도 두 문항입니다. 16번은 구간이 움직일 때 최솟값을 함수로 나타낸 뒤 넓이를 구하고, 17번은 조건을 만족하는 범위를 찾은 뒤 넓이의 최댓값을 다룹니다. 두 문항 모두 넓이 이전에 미분 단계가 먼저 있습니다.

5. 부정적분 (19번) — 1문항, 하

19번 하 서술형 부정적분의 계산(다항함수의 부정적분).

이 시험의 유일한 하 난이도입니다. 항별 적분과 적분상수를 빠짐없이 쓰는 것이 전부이니, 서술형 첫 문항에서 감점 없이 가져가야 합니다.

주의 문항 — 상 4문항

16번 상 (이동하는 구간의 최솟값 함수와 넓이) — 최솟값 후보가 바뀌는 경계를 나눠야 합니다.

17번 상 (부등식 조건과 넓이의 최댓값) — 부등식 조건을 먼저 처리한 뒤 넓이 함수를 최대화합니다.

18번 상 (그래프와 정적분으로 정의된 함수) — 정적분으로 정의된 함수의 증가·감소 구간에서 사차함수를 복원합니다.

23번 상 서술형 (미분가능성과 극대·극소) — 도함수 그림에서 극값, 미분가능성, 증가 여부를 각각 판정해야 하는 서술형입니다.

여기에 6~11번 중상 여섯 문항 연속 구간이 있습니다. 상 문항보다 이 구간에서 시간을 얼마나 쓰는지가 점수를 좌우합니다.

명지고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 부정적분 기본 계산 — 19번 대비. 적분상수까지 정확히.
2. 정적분을 포함한 등식 두 유형 — 2·4번 대비. 위끝 변수와 상수 구분.
3. 포물선과 직선 사이 넓이, 1/6 공식 — 1번 대비.
4. 닫힌구간에서의 최대·최소 — 5번 대비.
5. 속도·가속도와 운동 방향 — 3·20번 대비.
6. 정지하는 물체의 이동 거리 — 14번 대비.
7. 극값의 정의와 증가·감소 구간 — 10·11번 대비.
8. ★ 도함수 그래프 읽기 — 12·21·23번 대비. 부호 변화 확인.
9. 최대·최소의 활용(부피) — 7번 대비.
10. 모든 실수에서 부등식이 성립할 조건 — 6·17번 대비.
11. 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 15번 대비.
12. 절댓값 함수의 미분가능성·정적분 — 9·13번 대비.
13. ★ 정적분으로 정의된 함수 — 18·22번 대비.
14. ★ 넓이와 미분의 복합형 — 8·16·17번 대비.

자주 나오는 질문

명지고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 23문항입니다. 정답 기록 기준 1~18번은 선택형, 19~23번은 서술형 5문항입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 도함수의 활용 (2)가 8문항으로 가장 많습니다. 이어서 정적분 5문항, 도함수의 활용 (3) 5문항, 정적분의 활용 4문항, 부정적분 1문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 16·17·18·23번 네 문항입니다. 16·17번은 넓이와 미분의 복합형, 18번은 정적분으로 정의된 함수, 23번은 도함수 그래프 서술형입니다.

쉬운 문항은 어디인가요?

하 난이도는 19번 부정적분 계산 한 문항입니다. 선택형에서는 1~5번이 모두 중이라 상대적으로 부담이 적습니다.

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