중앙여고(서울 서대문구) 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)
서울 서대문구 중앙여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 배치 단원은 도함수의 활용 (1)·(2)·(3)과 부정적분·정적분·정적분의 활용으로, 미분과 적분을 고르게 다룹니다. 이 시험의 특징은 중상이 11문항으로 절반을 넘는다는 점, 그리고 상 난이도가 17번 한 문항이라는 점입니다.
핵심 요약
- 21문항 — 정답 기록 기준 1~17번 선택형, 18~21번 서술형 4문항
- 난이도: 하 2 / 중 7 / 중상 11 / 상 1
- 배치 단원: 05 도함수의 활용 (2) 5 / 09 정적분의 활용 5 / 06 도함수의 활용 (3) 4 / 08 정적분 4 / 04 도함수의 활용 (1) 2 / 07 부정적분 1
- 반복 유형: 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 2회(16·20번), 사차함수의 극값 조건 2회(14·17번)
- 상 1문항: 17번 사차함수가 극값을 가질 조건
중앙여고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
중앙여자고등학교는 서울 서대문구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 21문항이고, 정답 기록 기준 1~17번 선택형, 18~21번 서술형 4문항입니다.
파트별로는 미분 11문항(도함수의 활용 (1) 2, (2) 5, (3) 4), 적분 10문항(부정적분 1, 정적분 4, 정적분의 활용 5)입니다. 거의 반반입니다.
시험은 1번 평균값 정리로 시작해 도함수의 활용 (1)부터 정적분의 활용까지 섞여 나옵니다. 단원 순서대로 배치되지 않았으니 처음 훑어볼 때 파트를 확인하고 들어가세요.
2025학년 난이도 분포 — 중상 11문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 2 | 10% | 1·9 |
| 중 | 7 | 33% | 2·3·6·7·8·11·18 |
| 중상 | 11 | 52% | 4·5·10·12·13·14·15·16·19·20·21 |
| 상 | 1 | 5% | 17 |
중상이 11문항으로 절반을 넘습니다. 상은 17번 하나지만, 중상이 넓게 깔려 있어 체감 난도는 낮지 않습니다.
하 난이도는 1번 평균값 정리와 9번 정적분 계산 두 문항입니다. 선택형 앞쪽에서는 4·5번이 연속 중상이라 초반부터 시간이 걸릴 수 있습니다. 12~17번 여섯 문항은 모두 중상 이상이고, 서술형은 18번(중)을 빼면 19~21번 세 문항이 중상입니다.
출제 단원 — 도함수의 활용 (2)와 정적분의 활용 각 5문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 05 도함수의 활용 (2) | 5 | 2·13·14·17·18 |
| 09 정적분의 활용 | 5 | 3·4·6·15·19 |
| 06 도함수의 활용 (3) | 4 | 7·10·11·21 |
| 08 정적분 | 4 | 9·12·16·20 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 2 | 1·5 |
| 07 부정적분 | 1 | 8 |
도함수의 활용 (2)와 정적분의 활용이 각 5문항으로 공동 최다입니다. 도함수의 활용 (2) 5문항 가운데 13·14·17번 세 문항이 극대·극소 조건이고, 17번이 상입니다.
정적분의 활용 5문항은 넓이(3·6·15번)와 속도·위치(4·19번) 로 나뉩니다.
반복 유형 — 극값 조건과 정적분으로 정의된 함수
두 번 이상 나온 유형은 다음과 같습니다.
- 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 16·20번 (둘 다 중상)
- 사차함수가 극값을 갖거나 갖지 않을 조건 — 14·17번
- 움직인 거리 / 위치의 변화량 — 4·19번
- 두 곡선 사이의 넓이 / 곡선과 x축 사이의 넓이 — 3·6번
이 시험의 중심은 "극값" 입니다. 2·13·14·17번이 함수의 극대·극소, 16·20번이 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소, 15번도 넓이 조건에서 원래 함수의 극값을 묻습니다. 도함수의 부호 변화로 극값을 판정하는 기본기가 일곱 문항에 걸쳐 쓰입니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 도함수의 활용 (2) (2·13·14·17·18번) — 5문항
2번 중 함수의 극대·극소(극대점과 극소점을 잇는 직선의 기울기), 13번 중상 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정(극댓값과 극솟값의 차로 삼차함수 계수 결정), 14번 중상 사차함수가 극댓값 또는 극솟값을 갖지 않을 조건, 17번 상 사차함수가 극댓값 또는 극솟값을 가질 조건(절댓값 합성의 극점 개수), 18번 중 서술형 최대·최소의 활용; 부피(원뿔의 최대 부피).
14번과 17번은 사차함수의 극값 조건을 반대 방향에서 묻습니다. 14번은 극대가 없을 조건, 17번은 극점 개수를 따지는데 절댓값 합성까지 얹혀 상 난이도가 됐습니다. 사차함수의 도함수(삼차식)가 중근을 가질 때 극점 수가 어떻게 바뀌는지 정리해 두세요.
18번 서술형은 원뿔의 최대 부피입니다. 부피를 한 변수의 식으로 세우고, 정의역 안에서 증가·감소를 확인해 최댓값을 구하는 기본형입니다. 서술형이니 정의역 표기까지 챙기세요.
2. 정적분의 활용 (3·4·6·15·19번) — 5문항
3번 중 곡선과 x축 사이의 넓이(x축을 가로지르는 곡선의 두 영역), 4번 중상 움직인 거리(변위와 이동 거리), 6번 중 두 곡선 사이의 넓이(세 교점 사이), 15번 중상 두 도형의 넓이가 같을 조건(도함수 그래프의 두 넓이와 원함수 극값), 19번 중상 서술형 위치와 위치의 변화량(원점 도착 시각으로 초기 위치 결정).
3번과 6번은 넓이 기본형입니다. 곡선이 x축 아래로 내려가는 구간, 두 곡선의 위아래가 바뀌는 구간을 나눠 적분하면 됩니다.
4번은 변위와 움직인 거리를 모두 다룹니다. 변위 조건으로 계수를 정하고, 속도가 0이 되는 시각을 기준으로 나눠 이동 거리를 구합니다.
15번은 도함수 그래프와 x축 사이 두 넓이가 같다는 조건에서 원래 함수의 극값 차이를 구합니다. 넓이와 극값이 연결된 문항입니다.
3. 도함수의 활용 (3) (7·10·11·21번) — 4문항
7번 중 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건(삼차부등식), 10번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(절댓값 사차함수), 11번 중 속도(두 점의 속도가 같은 순간의 거리), 21번 중상 서술형 삼차방정식의 근의 판별(세 실근 조건의 자연수 수열과 극댓값의 합).
10번은 절댓값이 씌워진 사차함수 그래프에 수평선을 그어 교점 수를 세는 문항입니다. 절댓값 때문에 x축 아래 부분이 접혀 올라간다는 점을 그래프로 그려 확인하세요.
21번 서술형은 삼차방정식이 서로 다른 세 실근을 가질 조건과 수열의 합이 결합돼 있습니다.
4. 정적분 (9·12·16·20번) — 4문항
9번 하 정적분의 계산; 피적분함수가 같은 경우(적분 방향과 구간 분할), 12번 중상 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우(정적분 항등식으로 이차함수 복원), 16번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소, 20번 중상 서술형 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소(절댓값 적분 조건).
9번은 확보 문항입니다. 적분 구간의 위끝·아래끝을 바꾸면 부호가 바뀌고, 이어진 구간은 하나로 합칠 수 있다는 성질만 쓰면 됩니다.
16번과 20번이 같은 유형입니다. 정적분으로 정의된 함수의 극점에서는 피적분함수가 0이라는 사실이 두 문항의 출발점입니다. 20번은 여기에 절댓값 적분 조건이 붙은 서술형입니다.
5. 도함수의 활용 (1)·부정적분 (1·5·8번)
1번 하 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우, 5번 중상 곡선과 직선이 접할 때(x축에 접하는 조건으로 계수 결정), 8번 중 도함수가 주어질 때 함수 구하기(도함수가 같은 두 이차함수의 적분상수).
1번 평균값 정리는 정의식 그대로 세우면 끝나는 하 문항입니다. 5번은 곡선이 x축에 접하는 조건으로 계수를 정하는데, 접점 후보가 두 개라 경우를 나눠야 해서 중상입니다.
주의 문항 — 상·중상 구간
17번 상 (사차함수의 극값과 절댓값 합성) — 극점이 하나가 되는 조건과 절댓값 합성 후 극점 수를 함께 따집니다.
10번 중상 (절댓값 사차함수의 실근 개수) — 그래프를 정확히 그려야 합니다.
13·14번 중상 (극값 조건) — 17번으로 가기 전 단계 문항입니다.
15번 중상 (넓이가 같을 조건과 극값) — 넓이와 미분이 연결됩니다.
16·20번 중상 (정적분으로 정의된 함수의 극대·극소) — 같은 유형이 선택형과 서술형에 한 번씩 나왔습니다.
중앙여고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서
- 평균값 정리 — 1번 대비. 확보 구간.
- 정적분의 성질(구간 분할·방향) — 9번 대비. 확보 구간.
- 도함수로 함수 구하기, 적분상수 — 8번 대비.
- 곡선과 x축, 두 곡선 사이의 넓이 — 3·6번 대비.
- 함수의 극대·극소 기본 — 2번 대비.
- 속도, 변위와 움직인 거리 — 4·11·19번 대비.
- 곡선이 x축에 접할 조건 — 5번 대비.
- 구간에서 부등식이 성립할 조건 — 7번 대비.
- 최대·최소의 활용(부피) — 18번 서술형 대비.
- ★ 극값을 이용한 미정계수, 사차함수의 극값 조건 — 13·14·17번 대비.
- 방정식 f(x)=k의 실근 개수(절댓값 포함) — 10번 대비.
- 삼차방정식의 근의 판별 — 21번 서술형 대비.
- 정적분을 포함한 등식 — 12번 대비.
- ★ 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 16·20번 대비.
- 넓이가 같을 조건 — 15번 대비.
자주 나오는 질문
중앙여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 21문항입니다. 정답 기록 기준 1~17번은 선택형, 18~21번은 서술형 4문항입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 도함수의 활용 (2)와 정적분의 활용이 각 5문항입니다. 이어서 도함수의 활용 (3)·정적분 각 4문항, 도함수의 활용 (1) 2문항, 부정적분 1문항입니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도는 17번 한 문항입니다. 사차함수의 극값 조건에 절댓값 합성이 결합된 문항입니다. 대신 중상이 11문항이라 중상 구간 관리가 더 중요합니다.
쉬운 문항은 어디인가요?
하 난이도는 1번(평균값 정리)과 9번(정적분 계산) 두 문항입니다.
과년도 중앙여고 기출도 볼 수 있나요?
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