상문고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

상문고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 가장 많이 나온 단원은 정적분 6문항이고, 정적분의 활용과 도함수의 활용 (3)이 각 4문항입니다. 이 시험의 특징은 상 난이도 5문항이 13번 이후에 몰려 있다는 점, 그리고 15~20번 여섯 문항이 서술형이라는 점입니다.

핵심 요약

• 20문항 — 정답 기록 기준 1~14번 선택형, 15~20번 서술형 6문항
• 난이도: 하 1 / 중 9 / 중상 5 / 상 5
• 배치 단원: 08 정적분 6 / 09 정적분의 활용 4 / 06 도함수의 활용 (3) 4 / 05 도함수의 활용 (2) 3 / 04 도함수의 활용 (1) 1 / 03 미분계수와 도함수 1 / 07 부정적분 1
• 평균값 정리는 15번 서술형 한 문항
• 상 5문항: 13·14·16·19·20번

상문고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

상문고등학교는 서울 서초구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 20문항이고, 정답 기록 기준 1~14번 선택형, 15~20번 서술형 6문항입니다.

파트별로는 적분 11문항(부정적분 1, 정적분 6, 정적분의 활용 4), 미분 9문항(미분계수와 도함수 1, 도함수의 활용 (1) 1, (2) 3, (3) 4)입니다.

배치 단원 기준으로 평균값 정리가 속한 도함수의 활용 (1)은 15번 한 문항입니다. 또 16번은 미분계수와 도함수 단원(구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성) 에서 나왔고 상 난이도입니다. 도함수의 활용과 적분만 준비하고 앞 단원을 놓으면 안 되는 시험입니다.

2025학년 난이도 분포 — 뒤쪽에 상 5문항

난이도가 번호 순으로 깔끔하게 올라갑니다. 1번 하, 2~7번 중, 8~12번 중상, 13·14번 상입니다. 선택형은 앞에서부터 순서대로 풀어도 무리가 없는 구조입니다.

서술형은 다릅니다. 15·17·18번은 중, 16·19·20번은 상으로 섞여 있습니다. 서술형 여섯 문항 중 중 세 문항을 확실히 쓰고 상 문항에 남은 시간을 쓰는 순서가 효율적입니다.

출제 단원 — 정적분 6문항

정적분 6문항이 최다입니다. 1번(하)부터 18번 서술형(중)까지 퍼져 있고, 상은 없습니다. 정적분의 계산, 우함수·기함수, 정적분으로 정의된 함수의 극한, 정적분을 포함한 등식까지 정적분 단원의 대표 유형이 고르게 나왔습니다.

정적분의 활용 4문항 중 2문항(13·20번)이 상이고, 도함수의 활용 (3) 4문항 중 2문항(14·19번)이 상입니다. 상 5문항 중 네 문항이 이 두 단원에서 나왔습니다.

반복 유형 — 정적분을 포함한 등식

두 번 이상 나온 유형은 다음과 같습니다.

• 정적분을 포함한 등식 — 10번(아래끝과 위끝이 상수), 18·20번(적분 끝과 피적분함수에 변수)
• 정적분의 계산 — 1번(적분 구간이 같은 경우), 4번(구간에 따라 다르게 정의된 함수)
• 속도 / 위치와 위치의 변화량 — 8·12번 (둘 다 두 점의 운동)

18번과 20번은 같은 형태의 정적분 등식에서 출발합니다. 18번은 등식을 미분해 정리하는 데서 끝나는 중 난이도이고, 20번은 그렇게 구한 이차함수로 넓이 조건까지 풀어야 하는 상 난이도입니다. 18번을 확실히 풀 수 있어야 20번의 출발점이 생깁니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 정적분 (1·4·5·6·10·18번) — 6문항

1번 하 정적분의 계산; 적분 구간이 같은 경우(다항함수의 정적분), 4번 중 정적분의 계산; 구간에 따라 다르게 정의된 함수(연속 조건으로 상수 결정), 5번 중 우함수·기함수의 정적분; 피적분함수가 주어지지 않은 경우, 6번 중 정적분으로 정의된 함수의 극한, 10번 중상 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우(여러 고정 구간 정적분의 연립), 18번 중 서술형 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우.

1번은 확보 문항입니다. 4번은 연속 조건으로 상수를 먼저 정한 뒤 두 구간으로 나눠 적분합니다.

5번은 함수식 없이 기함수 성질만으로 정적분 값을 구합니다. 대칭 구간에서 기함수의 정적분은 0이라는 성질을 씁니다.

18번 서술형은 피적분함수에 x와 t가 함께 들어 있는 형태입니다. 피적분함수를 두 항으로 나눠 x를 적분 기호 밖으로 꺼낸 뒤 미분하는 과정을 답안에 순서대로 써야 합니다.

2. 정적분의 활용 (2·8·13·20번) — 4문항

2번 중 포물선과 직선 사이의 넓이; 1/6 공식, 8번 중상 위치와 위치의 변화량(두 속도와 다시 만나는 시각), 13번 상 함수와 그 역함수의 정적분(감소하는 역함수의 정적분 대칭 관계), 20번 상 서술형 정적분을 포함한 등식 · 두 도형의 넓이가 같을 조건.

2번은 1/6 공식으로 바로 끝나는 문항입니다.

13번은 역함수의 정적분이 상 난이도로 나왔습니다. 감소함수와 그 역함수의 그래프, 직사각형 넓이 사이의 관계를 세워 연립해야 합니다.

3. 도함수의 활용 (3) (7·12·14·19번) — 4문항

7번 중 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건(두 함수 차의 최솟값), 12번 중상 속도(두 점의 중점의 위치와 평균 속도), 14번 상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(적분으로 정의된 함수와 수평선의 교점), 19번 상 서술형 삼차방정식의 근의 판별(부호 조건과 두 실근).

7번은 두 함수의 차를 하나의 함수로 놓고 최솟값이 양수일 조건을 찾는 기본형입니다.

12번은 두 점의 중점을 다룹니다. 중점의 위치는 두 위치의 평균, 속도도 두 속도의 평균이라는 점을 씁니다.

14번은 적분으로 정의된 함수의 그래프와 수평선의 교점을 세는 문항입니다. 실근의 개수 문제에 정적분이 결합돼 있어 상입니다.

4. 도함수의 활용 (2) (3·9·11번) — 3문항

3번 중 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정(극소 조건으로 삼차함수 결정), 9번 중상 주어진 구간에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건, 11번 중상 함수의 극대·극소의 활용(절댓값과 평행이동된 함수의 극값과 첨점).

9번은 도함수(이차식)의 꼭짓점 위치에 따라 구간 양 끝 조건을 나눠 보는 문항입니다. 11번은 절댓값이 들어간 함수에서 뾰족한 점도 극값 후보로 보아야 합니다.

5. 앞 단원·부정적분 서술형 (15·16·17번)

15번 중 서술형 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우(평균값 정리로 단조성 증명 빈칸 채우기), 16번 상 서술형 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성, 17번 중 서술형 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기.

15번은 평균값 정리를 이용한 증명의 빈칸을 채우는 서술형입니다. 증명 흐름을 이해하고 있으면 중 난이도로 처리할 수 있습니다.

16번은 이 시험에서 가장 앞 단원인 미분계수와 도함수에서 나온 상 문항입니다. 구간별로 정의된 함수의 연결점에서 연속과 미분가능 조건을 동시에 세워야 합니다.

주의 문항 — 상 5문항

13번 상 (역함수의 정적분) — 넓이 관계를 식 세 개로 세워 연립합니다.

14번 상 (적분으로 정의된 함수와 실근 개수) — 정적분과 실근 개수가 결합됐습니다.

16번 상 서술형 (구간별 함수의 미분가능성) — 연결점 조건을 빠짐없이 세워야 합니다.

19번 상 서술형 (삼차방정식의 근의 판별) — 부호 조건으로 삼차식 구조를 먼저 정합니다.

20번 상 서술형 (정적분 등식과 넓이 조건) — 18번과 같은 형태의 등식에서 출발해 넓이까지 갑니다.

서술형 상 문항이 세 개(16·19·20번) 라 서술형 비중이 점수를 크게 좌우합니다.

상문고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 다항함수 정적분 계산 — 1번 대비. 확보 구간.
2. 구간별 함수의 정적분 — 4번 대비.
3. 우함수·기함수의 정적분 — 5번 대비.
4. 포물선과 직선 사이 넓이, 1/6 공식 — 2번 대비.
5. 극값으로 미정계수 결정 — 3번 대비.
6. 두 함수 차로 보는 부등식 — 7번 대비.
7. 정적분으로 정의된 함수의 극한 — 6번 대비.
8. 평균값 정리 증명 흐름 — 15번 서술형 대비.
9. 함수와 부정적분의 관계식 — 17번 서술형 대비.
10. ★ 정적분을 포함한 등식(상수형·변수형) — 10·18·20번 대비.
11. 두 점의 운동, 중점의 속도 — 8·12번 대비.
12. 구간에서 증가·감소할 조건, 절댓값 함수의 극값 — 9·11번 대비.
13. 역함수의 정적분 — 13번 대비.
14. 적분으로 정의된 함수와 실근 개수 — 14번 대비.
15. 구간별 함수의 미분가능성 — 16번 서술형 대비.
16. 삼차방정식의 근의 판별 — 19번 서술형 대비.

자주 나오는 질문

상문고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항입니다. 정답 기록 기준 1~14번은 선택형, 15~20번은 서술형 6문항입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분이 6문항으로 가장 많습니다. 정적분의 활용과 도함수의 활용 (3)이 각 4문항, 도함수의 활용 (2)가 3문항입니다.

평균값 정리는 몇 문항인가요?

배치 단원 기준 15번 서술형 한 문항입니다. 평균값 정리로 단조성을 증명하는 빈칸 채우기 형태입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 13·14·16·19·20번 다섯 문항입니다. 선택형에 둘, 서술형에 셋입니다.

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