가락고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)
가락고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 이 시험은 중 난이도가 11문항으로 절반을 넘고, 상 난이도는 16번 한 문항뿐입니다. 킬러 한 문항보다 중간 난이도를 얼마나 깔끔하게 처리하느냐가 점수를 가르는 구조입니다.
핵심 요약
- 20문항 — 1~16번 선택형, 17~20번 서술형 4문항
- 난이도: 하 4 / 중 11 / 중상 4 / 상 1
- 배치 단원: 05 도함수의 활용 (2) 6 / 04 도함수의 활용 (1) 3 / 06 도함수의 활용 (3) 3 / 08 정적분 3 / 09 정적분의 활용 3 / 07 부정적분 2
- 반복 유형: 도함수의 그래프를 이용한 함수의 극대·극소 2회(6·11번)
- 유일한 상 난이도: 16번(함수의 극한값의 존재 + 방정식 f(x)=k의 실근의 개수)
가락고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
가락고등학교는 서울 송파구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 20문항입니다. 정답 기록 기준으로 1~16번이 선택형, 17~20번이 서술형입니다.
배치는 미분 파트(04·05·06 도함수의 활용) 12문항, 적분 파트(07 부정적분·08 정적분·09 정적분의 활용) 8문항입니다. 문항 수는 미분 쪽이 더 많지만, 적분 세 단원도 각각 2~3문항씩 빠짐없이 나왔습니다.
배치 순서가 단원 순서와 다르다는 점도 알아두세요. 1번 접선, 2번 최대·최소, 3번 속도, 4번 부정적분, 5번 정적분으로 앞 다섯 문항에서 이미 다섯 단원을 한 번씩 거칩니다. 범위 전체를 고르게 준비해야 초반부터 막히지 않습니다.
2025학년 난이도 분포 — 중 11문항, 상 1문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 4 | 20% | 1·2·3·5 |
| 중 | 11 | 55% | 4·6·7·9·10·11·12·13·14·17·18 |
| 중상 | 4 | 20% | 8·15·19·20 |
| 상 | 1 | 5% | 16 |
하 난이도 네 문항이 1·2·3·5번으로 앞쪽에 몰려 있습니다. 시험지 첫 장에서 빠르게 점수를 확보하고 시간을 남기는 것이 첫 번째 과제입니다.
중상 네 문항 중 19·20번 두 문항이 서술형입니다. 서술 구간 네 문항 가운데 17·18번은 중, 19·20번은 중상이라 뒤로 갈수록 어려워지는 배치입니다. 선택형 16번(상)에서 시간을 너무 쓰면 서술형 마지막 두 문항이 흔들립니다.
출제 단원 — 도함수의 활용 (2)가 6문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 05 도함수의 활용 (2) | 6 | 2·6·7·11·13·15 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 3 | 1·8·20 |
| 06 도함수의 활용 (3) | 3 | 3·16·19 |
| 08 정적분 | 3 | 5·12·14 |
| 09 정적분의 활용 | 3 | 9·10·18 |
| 07 부정적분 | 2 | 4·17 |
가장 많이 나온 단원은 05 도함수의 활용 (2)로 6문항입니다. 극대·극소, 최대·최소, 미정계수 결정이 모두 이 단원에 들어 있습니다. 나머지 다섯 단원은 2~3문항씩 고르게 나뉘었습니다.
04 도함수의 활용 (1) 은 3문항이지만 성격이 다양합니다. 1번(하)은 접선의 방정식 기본, 8번(중상)은 접선의 활용, 20번(중상)은 서술형 평균값 정리입니다.
반복 유형 — 도함수의 그래프로 극대·극소 읽기
도함수의 그래프를 이용한 함수의 극대·극소가 6·11번 두 문항에서 나왔습니다. 둘 다 중 난이도입니다.
- 6번 — 도함수의 부호 변화로 극값과 증가 구간을 판정합니다.
- 11번 — 도함수 그래프와 극값으로 원래 함수를 복원합니다.
같은 유형이지만 6번은 "판정", 11번은 "복원"으로 방향이 다릅니다. y=f'(x)의 그래프가 주어졌을 때 f의 증감과 극값을 읽는 연습과 극값 조건으로 적분상수를 확정하는 연습을 함께 해 두어야 두 문항을 모두 잡습니다.
7번(극대·극소를 이용한 미정계수의 결정)과 15번(최대·최소를 이용한 미정계수의 결정)까지 합치면 극값·최댓값 조건으로 계수를 구하는 문항이 05 단원에서만 네 문항입니다.
단원별 문항 정리 (2025 기출 기준)
1. 도함수의 활용 (2) — 6문항
2번 하 함수의 최대·최소, 6번 중 도함수의 그래프를 이용한 함수의 극대·극소, 7번 중 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 11번 중 도함수의 그래프를 이용한 함수의 극대·극소, 13번 중 최대·최소의 활용; 넓이, 15번 중상 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정.
2번은 닫힌구간의 양 끝과 임계점을 비교하는 기본 최대·최소입니다. 7번은 극소점 조건으로 삼차함수의 계수를 정하고 극댓값을 구합니다. 13번은 곡선 위의 점과 고정된 현이 만드는 삼각형의 최대 넓이를 묻습니다.
15번(중상) 은 유일한 극값과 전역 하한을 이용해 사차함수의 계수를 결정하는 문항입니다. 이 단원에서 가장 까다롭습니다.
2. 도함수의 활용 (1) — 3문항
1번 하 접선의 방정식; 접점의 좌표가 주어진 경우, 8번 중상 기울기가 주어진 접선의 방정식의 활용, 20번 중상(서술형) 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우.
1번은 곡선 위 지정된 점에서 접선의 기울기와 절편을 구하는 기본 문항입니다. 8번은 평행한 두 접선 사이의 거리로 기울기를 결정합니다. 평행선 사이의 거리 공식을 바로 꺼낼 수 있어야 합니다.
20번은 서술형 마지막 문항으로, 평균값 정리로 얻은 상한이 실제로 달성되는지 확인하고 상수를 결정합니다. 평균값 정리의 내용을 정확히 서술할 수 있어야 부분점수를 지킬 수 있습니다.
3. 도함수의 활용 (3) — 3문항
3번 하 속도, 16번 상 함수의 극한값의 존재 · 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 19번 중상(서술형) 접선의 개수.
3번은 위치함수를 미분해 순간 속도를 구하는 한 번의 계산입니다. 19번은 곡선 밖의 점에서 그은 접선의 개수를, 접선의 절편에 대한 삼차방정식의 근의 개수로 바꿔 판정합니다. 접점을 t로 두고 접선의 방정식을 세운 뒤 t에 대한 방정식의 실근 개수로 넘어가는 흐름입니다.
4. 정적분 — 3문항
5번 하 정적분의 계산; 적분 구간이 같은 경우, 12번 중 정적분의 계산; 절댓값 기호를 포함한 함수, 14번 중 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우.
5번은 같은 구간의 다항식 차를 정리해 한 번에 적분합니다. 12번은 절댓값 안이 0이 되는 점에서 구간을 나눠 계산합니다. 14번은 적분으로 정의된 함수를 미분하고 끝점을 대입해 함수를 복원하는 표준 유형입니다.
5. 정적분의 활용 — 3문항
9번 중 두 곡선 사이의 넓이, 10번 중 움직인 거리, 18번 중(서술형) 곡선과 x축 사이의 넓이; f(x)≥0 또는 f(x)≤0인 경우.
9번은 원래 함수와 그 도함수, 두 곡선 사이의 넓이를 구간별로 나눠 구합니다. 10번은 두 점 사이의 상대 거리가 최소가 되는 시각까지 움직인 거리를 적분합니다. 위치의 변화량과 움직인 거리를 구분하는 것이 핵심입니다.
18번은 서술형으로, 삼차함수와 x축 사이의 넓이를 정적분으로 계산합니다.
6. 부정적분 — 2문항
4번 중 부정적분의 정의, 17번 중(서술형) 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기.
4번은 적분상수와 선형성에 대한 명제를 판정하는 문항입니다. 17번은 서술형 첫 문항으로, 원시함수에 대한 등식을 미분해 다항함수를 복원합니다.
주의 문항 — 상 1문항, 중상 4문항
16번 상 (함수의 극한값의 존재 · 방정식 f(x)=k의 실근의 개수) — 이 시험의 유일한 상 난이도입니다. 극한 조건에서 함수의 영점을 끌어내고, 사차함수의 실근이 홀수 개가 되는 경우를 따지는 두 단원 결합형입니다.
8번 중상 (기울기가 주어진 접선의 방정식의 활용) — 평행한 접선 사이의 거리로 기울기를 정합니다.
15번 중상 (최대·최소를 이용한 미정계수의 결정) — 유일한 극값과 하한 조건으로 사차함수의 계수를 결정합니다.
19번 중상 (접선의 개수, 서술형) — 접선 개수를 삼차방정식의 근의 개수로 바꾸는 과정을 서술해야 합니다.
20번 중상 (평균값 정리, 서술형) — 마지막 문항입니다. 상한의 근거와 실제 달성 여부를 모두 써야 합니다.
가락고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서
- 접선의 방정식과 속도 기본 계산 — 1·3번 대비. 확보 구간입니다.
- 닫힌구간 최대·최소 — 2번 대비. 양 끝과 임계점을 빠짐없이 비교하기.
- 같은 구간 정적분 정리 — 5번 대비. 하 난이도 확보.
- 부정적분의 정의와 성질 — 4번 대비. 명제 판정형에 익숙해지기.
- ★ 도함수의 그래프로 극대·극소 읽기 — 6·11번 대비. 판정과 복원을 둘 다.
- 극대·극소 조건으로 미정계수 결정 — 7번 대비.
- 절댓값 정적분 — 12번 대비. 영점에서 구간 나누기.
- 정적분을 포함한 등식 — 14번 대비. 미분과 끝점 대입.
- 두 곡선 사이의 넓이, 움직인 거리 — 9·10번 대비.
- 최대·최소의 활용; 넓이 — 13번 대비.
- 평행 접선과 거리 — 8번 대비.
- 최대·최소를 이용한 미정계수 결정(사차함수) — 15번 대비.
- ★ 극한 조건과 실근의 개수 — 16번 대비. 이 시험의 최고 난도.
- 서술형 네 유형 — 17~20번 대비. 부정적분 관계식, 곡선과 x축 넓이, 접선의 개수, 평균값 정리.
자주 나오는 질문
가락고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 20문항입니다. 정답 기록 기준으로 1~16번은 선택형, 17~20번은 서술형입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 05 도함수의 활용 (2)가 6문항으로 가장 많습니다. 04 도함수의 활용 (1), 06 도함수의 활용 (3), 08 정적분, 09 정적분의 활용이 각 3문항, 07 부정적분이 2문항입니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도는 16번 한 문항입니다. 중상은 8·15·19·20번 네 문항이고, 그중 19·20번이 서술형입니다.
미분과 적분 비중은 어떻게 되나요?
미분 파트(04~06 단원) 12문항, 적분 파트(07~09 단원) 8문항입니다.
서술형은 어떤 유형이 나왔나요?
17번 함수와 부정적분 사이의 관계식, 18번 곡선과 x축 사이의 넓이, 19번 접선의 개수, 20번 평균값 정리입니다. 17·18번은 중, 19·20번은 중상입니다.
과년도 가락고 기출도 볼 수 있나요?
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