계성고(서울 성북구) 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)
서울 성북구 계성고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 배치 단원은 04 도함수의 활용 (1)부터 09 정적분의 활용까지 여섯 단원으로, 미분과 적분이 함께 나왔습니다. 가장 큰 특징은 방정식 f(x)=k의 실근의 개수가 세 번 나왔다는 점과, 중상 8문항으로 중간 이상 난도가 두텁다는 점입니다.
핵심 요약
- 20문항. 정답 기록 기준 1~17번 선택형, 18~20번 서술형 3문항
- 난이도: 하 4 / 중 7 / 중상 8 / 상 1
- 배치 단원: 08 정적분 6 / 06 도함수의 활용 (3) 5 / 09 정적분의 활용 3 / 07 부정적분 2 / 04 도함수의 활용 (1) 2 / 05 도함수의 활용 (2) 2
- 세 번 나온 유형: 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(5·11·17번)
- 상 난이도: 15번 (정적분으로 정의된 함수의 극대·극소)
※ 이 글은 서울 성북구 계성고등학교 기출 분석입니다. 대구 서구 계성고와는 다른 학교입니다.
계성고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
계성고등학교는 서울 성북구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 20문항이고, 정답 기록 기준 1~17번이 선택형, 18~20번 세 문항이 서술형입니다.
미분 파트(04·05·06 단원)는 9문항, 적분 파트(07·08·09 단원)는 11문항입니다. 적분이 조금 더 많습니다. 문항 순서는 단원 순이 아니라 1번 부정적분, 2번 접선, 3번 정적분처럼 미분과 적분이 번갈아 나옵니다.
2025학년 난이도 분포 — 하 4문항이 1~4번에 몰림
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 4 | 20% | 1·2·3·4 |
| 중 | 7 | 35% | 5·6·7·8·9·17·18 |
| 중상 | 8 | 40% | 10·11·12·13·14·16·19·20 |
| 상 | 1 | 5% | 15 |
하 4문항이 1~4번에 연속으로 있습니다. 5~9번은 모두 중이고, 10~16번 일곱 문항은 중상과 상입니다. 번호 순서대로 난도가 올라가는 구조라, 앞 아홉 문항을 빠르게 처리하고 10번 이후에 시간을 써야 합니다.
상 난이도는 15번 한 문항뿐입니다. 대신 중상이 8문항이라, 킬러 하나보다 중상 여러 개를 얼마나 맞히느냐로 점수가 갈리는 시험입니다. 서술형은 18번 중, 19·20번 중상입니다.
출제 단원 — 08 정적분 6문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 08 정적분 | 6 | 3·7·8·12·14·15 |
| 06 도함수의 활용 (3) | 5 | 5·9·11·17·20 |
| 09 정적분의 활용 | 3 | 6·18·19 |
| 07 부정적분 | 2 | 1·4 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 2 | 2·10 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 2 | 13·16 |
08 정적분 6문항이 가장 많고, 그중 12·14번 중상, 15번 상이 있습니다. 06 도함수의 활용 (3) 5문항에는 실근의 개수 세 문항과 부등식, 교점의 개수가 모여 있습니다.
시그니처 — "방정식 f(x)=k의 실근의 개수" 3회
방정식 f(x)=k의 실근의 개수가 5·11·17번에 세 번 나왔습니다. 여기에 서술형 20번 두 그래프의 교점의 개수까지 합치면, 그래프와 수평선의 교점을 세는 문항이 네 개입니다.
- 5번 중 삼차 두 실근 조건의 극값 높이 합
- 11번 중상 대칭 사차의 절댓값 다섯 실근 조건
- 17번 중 합성방정식의 두 높이 실근수 계수
- 20번 중상 서술형 축소 반복 두 봉우리의 수평선 교점수
네 문항 모두 극값의 높이를 먼저 구하고, 수평선 y=k가 어느 높이에 있느냐에 따라 교점 수를 나누는 흐름입니다. 이 틀이 익숙하면 네 문항이 한꺼번에 열립니다.
정적분을 포함한 등식(아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우) 도 7번(중)과 12번(중상) 두 번 나왔습니다.
빈출 유형 정리 (2025학년 기출 기준)
1. 정적분 (3·7·8·12·14·15번) — 6문항
3번 하 정적분의 계산, 적분 구간이 같은 경우(같은 구간의 정적분 합 계산), 7번 중 정적분을 포함한 등식, 아래끝 또는 위끝에 변수(적분 항등식의 극소조건으로 상수 결정), 8번 중 정적분을 포함한 등식, 아래끝과 위끝이 상수(상수 적분 자기일치로 이차함수 복원), 12번 중상 정적분을 포함한 등식, 아래끝 또는 위끝에 변수(함수와 원시함수 곱의 미분식으로 복원), 14번 중상 주기함수의 정적분(비음 주기함수의 제곱오차 최소 적분), 15번 상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소(누적 적분의 극소높이와 실근수 판정).
7번은 적분식을 미분해 아래끝 관계를 쓰고, 극소 조건으로 상수를 연립합니다.
8번은 정적분 값을 상수로 놓고 함수식을 세운 뒤, 그 상수를 다시 계산해 일차방정식으로 푸는 문항입니다.
12번은 함수와 원시함수의 곱을 미분한 식에서 차수와 계수를 맞춰 함수를 복원합니다.
15번 상은 도함수의 차로 삼차함수를 복원하고, 정적분으로 정의된 함수의 두 극소와 실근 수 구조를 따져 명제를 판정하는 4단계 문항입니다.
2. 도함수의 활용 (3) (5·9·11·17·20번) — 5문항
5번 중·11번 중상·17번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 9번 중 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건(전구간 부등식을 사차 최솟값으로 환원), 20번 중상 서술형 두 그래프의 교점의 개수.
9번은 부등식을 사차함수의 최솟값 문제로 바꾸고, 자연수 매개변수의 경계를 찾습니다.
17번은 합성방정식입니다. 바깥 함수가 0이 되는 두 높이로 나눈 뒤 각 높이에서 삼차함수의 실근 수를 더합니다.
3. 정적분의 활용 (6·18·19번) — 3문항
6번 중 두 곡선 사이의 넓이의 활용, 넓이의 최솟값(두 곡선 넓이를 매개변수로 나눈 최소), 18번 중 서술형 곡선과 직선 사이의 넓이(두 세로경계 안 곡선과 직선 넓이), 19번 중상 서술형 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이(외부점 두 접선과 곡선 사이 넓이).
18번 서술형은 구간 안의 교점에서 위아래가 바뀌는 것을 확인하고 두 정적분으로 나눠 더합니다.
19번 서술형은 외부의 점에서 그은 두 접선의 접점을 구하고, 접선의 교점을 경계로 넓이를 나눠 계산합니다.
4. 도함수의 활용 (1)·(2) (2·10·13·16번) — 4문항
2번 하 접선의 방정식, 접점의 좌표가 주어진 경우(지정 접점의 접선 방정식 계산), 10번 중상 평균값 정리, 정의를 이용하는 경우(평균값정리로 두 점 기울기의 열린 치역), 13번 중상 함수의 증가와 감소(사차의 두 구간 단조성에서 계수곱 최대), 16번 중상 함수의 극대·극소(주어진 도함수 사차의 극값과 꺾임 판정).
10번은 평균값 정리로 두 점을 잇는 기울기의 범위를 구하는 문항입니다. 최고 기울기가 실제로 나오지 않는다는 점까지 따져 열린 범위로 답해야 합니다.
13번은 감소 구간에서 이중근을 역으로 추론하고, 남은 부호 전환점의 경계로 계수 곱의 최댓값을 구합니다.
5. 부정적분 (1·4번) — 2문항, 둘 다 하
1번 부정적분의 계산(단항식 부정적분 공식의 직접 적용), 4번 부정적분의 계산(제곱차를 정리한 부정적분 계수 결정).
두 문항 모두 확보 구간입니다. 4번은 합차 공식으로 전개한 뒤 적분하는 순서입니다.
주의 문항 — 상 1문항, 중상 8문항
15번 상 (정적분으로 정의된 함수의 극대·극소) — 함수 복원, 근의 구간 조건, 두 극소와 실근 수, 명제 판정까지 4단계입니다.
10~16번 구간 — 15번 상을 포함해 일곱 문항이 연속으로 중상 이상입니다. 평균값 정리(10번), 실근의 개수(11번), 정적분 등식(12번), 증가·감소(13번), 주기함수 정적분(14번), 극대·극소(16번)로 유형도 모두 다릅니다.
서술형 19·20번도 중상입니다. 선택형 뒷부분과 서술형 사이 시간 배분을 미리 정해 두세요.
계성고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서
- 부정적분·정적분 기본 계산 — 1·3·4번 대비. 확보 구간.
- 접선의 방정식 — 2번 대비. 확보 구간.
- 정적분을 상수로 놓는 등식 — 8번 대비.
- ★ 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 5·11·17·20번 대비. 이 시험의 시그니처.
- 부등식이 항상 성립할 조건 — 9번 대비.
- 두 곡선 사이 넓이와 최솟값 — 6번 대비.
- 곡선과 직선, 곡선과 접선 사이의 넓이 — 18·19번 서술형 대비.
- ★ 위끝에 변수가 있는 정적분 등식 — 7·12번 대비. 두 번 나온 유형.
- 평균값 정리 — 10번 대비.
- 증가·감소와 극대·극소의 역추론 — 13·16번 대비.
- 주기함수의 정적분 — 14번 대비.
- 정적분으로 정의된 함수의 극값 — 15번 대비. 마지막에 도전.
자주 나오는 질문
서울 계성고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 20문항입니다. 정답 기록 기준 1~17번은 선택형, 18~20번 세 문항은 서술형입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 08 정적분이 6문항으로 가장 많습니다. 06 도함수의 활용 (3) 5문항, 09 정적분의 활용 3문항, 07 부정적분·04 도함수의 활용 (1)·05 도함수의 활용 (2)가 각 2문항입니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도는 15번 한 문항입니다. 대신 중상이 8문항이라 전체 난도가 낮지 않습니다.
대구 계성고와 같은 학교인가요?
아닙니다. 이 글은 서울 성북구 계성고등학교 시험지 분석입니다. 대구 서구 계성고는 내신판에서 별도 학교로 관리됩니다.
과년도 계성고 기출도 볼 수 있나요?
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