방산고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)
방산고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 이 시험은 선택형 중반부가 매우 무겁습니다. 6번부터 16번까지 열한 문항 중 열 문항이 중상 또는 상이고, 중 난이도는 8번 하나뿐입니다. 반면 서술형 네 문항(17~20번)은 모두 중 난이도입니다.
핵심 요약
- 20문항 — 1~16번 선택형, 17~20번 서술형 4문항
- 난이도: 하 3 / 중 7 / 중상 6 / 상 4
- 배치 단원: 05 도함수의 활용 (2) 5 / 08 정적분 5 / 06 도함수의 활용 (3) 4 / 09 정적분의 활용 3 / 04 도함수의 활용 (1) 2 / 07 부정적분 1
- 반복 유형: 함수의 증가와 감소(3·17번), 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(8·15번)
- 고비 구간: 6~16번 중 10문항이 중상 이상
방산고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
방산고등학교는 서울 송파구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 20문항입니다. 정답 기록 기준으로 1~16번이 선택형, 17~20번이 서술형입니다.
배치는 미분 파트(04·05·06 도함수의 활용) 11문항, 적분 파트(07 부정적분·08 정적분·09 정적분의 활용) 9문항입니다. 시험 범위가 평균값 정리부터 정적분의 활용까지인데, 실제로 1번(롤의 정리)과 18번(평균값 정리)이 04 도함수의 활용 (1) 단원입니다.
이 시험의 흐름은 세 덩어리로 보면 쉽습니다.
- 1~5번 — 하 3문항, 중 2문항. 빠르게 지나가는 구간
- 6~16번 — 상 4문항, 중상 6문항, 중 1문항. 시험의 승부처
- 17~20번 — 서술형 4문항 모두 중
2025학년 난이도 분포 — 중상 이상 10문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 3 | 15% | 1·2·3 |
| 중 | 7 | 35% | 4·5·8·17·18·19·20 |
| 중상 | 6 | 30% | 6·10·11·12·13·14 |
| 상 | 4 | 20% | 7·9·15·16 |
중상과 상을 합치면 10문항, 전체의 절반입니다. 그리고 그 10문항이 모두 선택형 6~16번에 있습니다.
하 3문항은 1·2·3번, 맨 앞입니다. 중 7문항 중 4문항이 서술형입니다. 즉 선택형만 놓고 보면 16문항 중 중 난이도가 4·5·8번 셋뿐입니다. 선택형 중반에서 시간을 다 쓰면 상대적으로 수월한 서술형 네 문항을 놓치게 됩니다. 시간 배분 계획을 미리 세워 두어야 하는 시험입니다.
출제 단원 — 도함수의 활용 (2)와 정적분이 5문항씩
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 05 도함수의 활용 (2) | 5 | 3·7·11·17·20 |
| 08 정적분 | 5 | 2·13·14·16·19 |
| 06 도함수의 활용 (3) | 4 | 4·5·8·15 |
| 09 정적분의 활용 | 3 | 9·10·12 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 2 | 1·18 |
| 07 부정적분 | 1 | 6 |
08 정적분 5문항 중 3문항(13·14번 중상, 16번 상)이 어렵습니다. 정적분을 포함한 등식, 주기함수의 정적분, 미적분의 기본정리의 활용이 모두 선택형 후반에 있습니다.
09 정적분의 활용 3문항(9·10·12번)은 전부 중상 이상입니다. 9번은 상 난이도입니다.
반복 유형 — 같은 유형, 다른 난이도
- 함수의 증가와 감소 — 3번(하) · 17번(중, 서술형)
- 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 8번(중) · 15번(상)
3번은 도함수의 부호로 증가 구간을 판정하는 기본 문항이고, 17번은 극값과 증가에 대한 명제를 차례로 판정하는 서술형입니다. 개념을 계산으로만 아는 것이 아니라 "극값을 가질 필요조건과 충분조건"을 구분할 수 있어야 17번에서 점수를 지킵니다.
8번은 수평선과의 교점 수로 사차함수의 구조를 정하는 문항, 15번은 사차함수가 네 실근을 갖는 조건과 극댓값의 합을 묻는 상 난이도 문항입니다. 8번에서 그래프 개형을 읽는 연습이 15번으로 이어집니다.
단원별 문항 정리 (2025 기출 기준)
1. 도함수의 활용 (2) — 5문항
3번 하 함수의 증가와 감소, 7번 상 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정, 11번 중상 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 17번 중(서술형) 함수의 증가와 감소, 20번 중(서술형) 최대·최소의 활용; 부피.
7번은 최댓값으로 정의된 함수의 접합점에서 미분가능성을 판정하는 상 난이도 문항입니다. 시험지 앞쪽에 있어 시간을 뺏기기 쉽습니다. 11번은 인수를 어떻게 배분하느냐에 따라 도함수의 부호 변화를 따지는 문항입니다.
20번은 원기둥 부피를 함수로 세우고 증감표를 그려 결론을 내는 서술형입니다.
2. 정적분 — 5문항
2번 하 미적분의 기본정리, 13번 중상 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우, 14번 중상 주기함수의 정적분, 16번 상 미적분의 기본정리의 활용, 19번 중(서술형) 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우.
2번은 원시함수로 다항식의 정적분을 계산하는 기본 문항입니다. 13번은 적분 방향과 절댓값을 함께 고려해 매개변수의 범위를 정합니다. 14번은 평행이동 조건과 적분값의 차로 함수를 복원합니다.
16번은 절댓값이 들어간 함수의 미분가능성과 접합 계수를 결정하는 선택형 마지막 문항입니다. 19번은 두 극점과 정적분 조건으로 삼차함수를 복원하는 서술형입니다.
3. 도함수의 활용 (3) — 4문항
4번 중 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건; 증가·감소의 활용, 5번 중 시각에 대한 길이의 변화율, 8번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 15번 상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수.
4번은 차함수가 감소함을 확인하고 구간 끝값으로 상수의 경계를 정합니다. 5번은 닮음 관계로 그림자의 위치를 식으로 세운 뒤 미분해 변화율을 구합니다.
4. 정적분의 활용 — 3문항, 전부 중상 이상
9번 상 함수와 역함수의 그래프의 y=x 대칭을 이용한 넓이, 10번 중상 움직인 거리, 12번 중상 곡선과 x축 사이의 넓이; f(x)≥0 또는 f(x)≤0인 경우.
9번은 역함수의 대칭성으로 두 곡선 사이의 넓이를 구하는 상 난이도 문항입니다. 10번은 두 점의 속도 곱 조건과 원점으로 돌아오는 시간을 이용해 움직인 거리를 구합니다. 12번은 모든 구간의 넓이 조건에서 함수가 0 이상임을 끌어내 이차함수를 결정합니다.
5. 도함수의 활용 (1) — 2문항
1번 하 롤의 정리, 18번 중(서술형) 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우.
1번은 롤의 정리를 만족시키는 구간 안의 점을 구합니다. 18번은 평균값 정리로 함숫값의 상한을 구하고, 상수함수임을 증명하는 서술형입니다. 롤의 정리와 평균값 정리를 정확한 문장으로 서술할 수 있어야 합니다.
6. 부정적분 — 1문항
6번 중상 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기. 항등식을 미분한 뒤 증가 조건으로 후보를 걸러 함수를 복원합니다. 하·중이 끝나고 처음 나오는 중상 문항입니다.
주의 문항 — 상 4문항
7번 상 (최대·최소를 이용한 미정계수의 결정) — 최댓값으로 정의된 함수의 구조를 읽고 미분가능성을 판정해야 합니다.
9번 상 (역함수 대칭을 이용한 넓이) — y=x 대칭으로 넓이 구조를 바꿔 보는 발상이 필요합니다.
15번 상 (방정식 f(x)=k의 실근의 개수) — 사차함수가 네 실근을 갖는 조건을 극값의 부호로 판단합니다.
16번 상 (미적분의 기본정리의 활용) — 절댓값이 들어간 함수의 미분가능성과 접합 계수를 결정합니다.
상 네 문항이 7·9·15·16번으로 선택형 안에 흩어져 있습니다. 막히는 문항은 표시해 두고 서술형을 먼저 마친 뒤 돌아오는 방법이 현실적입니다.
방산고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서
- 롤의 정리, 미적분의 기본정리, 증가와 감소 기본 — 1·2·3번 대비. 확보 구간.
- 구간에서 부등식이 성립할 조건 — 4번 대비.
- 길이의 변화율(닮음 활용) — 5번 대비.
- 함수와 부정적분의 관계식 — 6번 대비.
- ★ 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 8번에서 15번으로.
- 극대·극소, 최대·최소로 미정계수 결정 — 7·11번 대비.
- 역함수 대칭 넓이 — 9번 대비.
- 움직인 거리, 곡선과 x축 사이의 넓이 — 10·12번 대비.
- 정적분을 포함한 등식, 주기함수의 정적분 — 13·14·19번 대비.
- 미적분의 기본정리의 활용 — 16번 대비.
- ★ 서술형 네 유형 — 17번 증가·감소 명제, 18번 평균값 정리 증명, 19번 삼차함수 복원, 20번 원기둥 부피.
자주 나오는 질문
방산고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 20문항입니다. 정답 기록 기준으로 1~16번은 선택형, 17~20번은 서술형입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 05 도함수의 활용 (2)와 08 정적분이 각 5문항입니다. 06 도함수의 활용 (3) 4문항, 09 정적분의 활용 3문항, 04 도함수의 활용 (1) 2문항, 07 부정적분 1문항입니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도가 4문항(7·9·15·16번) 입니다. 중상 6문항까지 합친 10문항이 모두 선택형 6~16번에 있습니다.
서술형은 어렵나요?
17~20번 네 문항 모두 중 난이도입니다. 증가와 감소 명제 판정, 평균값 정리 증명, 정적분 조건으로 삼차함수 복원, 원기둥 부피의 최대를 다룹니다.
평균값 정리는 나오나요?
1번 롤의 정리(하), 18번 평균값 정리 서술형(중)으로 두 문항이 04 도함수의 활용 (1) 단원입니다.
과년도 방산고 기출도 볼 수 있나요?
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