홍대부고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

홍대부고(홍익대학교사범대학부속고등학교) 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 가장 눈에 띄는 점은 중 난이도가 12문항으로 절반을 넘는다는 것, 그리고 상 난이도는 한 문항도 없다는 것입니다. 단원으로는 정적분이 6문항으로 가장 많습니다.

핵심 요약

• 21문항 — 정답 기록 기준 1~18번 선택형, 19~21번 답을 직접 쓰는 형태(3문항)
• 난이도: 하 2 / 중 12 / 중상 7 / 상 0
• 배치 단원: 08 정적분 6 / 06 도함수의 활용 (3) 5 / 09 정적분의 활용 5 / 05 도함수의 활용 (2) 4 / 04 도함수의 활용 (1) 1
• 반복 유형: 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 2회(7·12번), 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 2회(11·15번)
• 중상 7문항이 7번부터 18번 사이에 흩어져 있음

홍대부고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

홍대부고는 서울 성북구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 21문항이고, 정답 기록을 보면 1~18번은 선택형, 19~21번 세 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

배치 단원은 도함수의 활용 (1)부터 정적분의 활용까지 다섯 단원입니다. 부정적분 단원(07)으로 분류된 문항은 없습니다. 묶어 보면 미분 쪽 10문항(04·05·06), 적분 쪽 11문항(08·09) 으로 거의 반반입니다.

문항 순서는 단원 순서를 따르지 않습니다. 1번 접선의 기울기 다음에 2번 속도·가속도, 3번 정적분 등식, 4·5번 넓이가 이어집니다. 앞 다섯 문항 안에 미분과 적분이 섞여 나오니 단원별로 나눠 외운 공식을 바로 꺼낼 수 있어야 합니다.

2025학년 난이도 분포 — 중 12문항, 상 0문항

상 난이도가 없고 하 난이도도 두 문항뿐입니다. 시험 대부분이 중과 중상으로 채워져 있어, 기본 유형을 정확하고 빠르게 푸는 힘이 점수를 결정합니다.

중상 7문항은 7·9번, 12·14·15번, 17·18번으로 흩어져 있습니다. 한 구간에 몰려 있지 않아서 앞에서부터 풀다 보면 중간중간 시간이 걸리는 문항을 계속 만나게 됩니다.

답을 직접 쓰는 19~21번 세 문항은 모두 중입니다. 선택형 후반 중상에서 막히면 19~21번을 먼저 처리하는 순서도 고려할 만합니다.

출제 단원 — 정적분 6문항이 최다

정적분 6문항은 3번 하, 16·19·20번 중, 15·18번 중상입니다. 답을 직접 쓰는 19·20번이 모두 정적분이라 서술 구간에서 적분 계산이 그대로 점수로 이어집니다.

중상 7문항을 단원별로 보면 도함수의 활용 (3) 2문항(7·14번), 정적분 2문항(15·18번), 정적분의 활용 2문항(12·17번), 도함수의 활용 (2) 1문항(9번)입니다. 특정 단원에 몰리지 않았습니다.

반복 유형 — 실근의 개수와 극값 미정계수

두 번씩 나온 유형은 두 가지입니다.

• 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 7번(중상), 12번(중상)
• 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 — 11번(중), 15번(중상)

7번은 삼차함수의 두 극값을 기준으로 f(x)=k와 f(x)=−k 두 높이의 실근 수를 따지는 문항입니다. 12번은 정적분의 활용 단원에 배치됐지만 같은 실근 개수 유형이 들어 있습니다. 두 속도를 적분해 상대 위치를 만들고, 양의 근이 하나뿐이라는 조건을 중근으로 바꾼 뒤 두 점이 만나는 사이 거리의 최대를 구하는 흐름입니다. 미분 단원의 실근 개수 판단이 적분 단원 문항 안에서 다시 쓰인 셈입니다.

11번과 15번도 같은 유형이지만 단원이 다릅니다. 11번은 도함수의 활용 (2), 15번은 정적분 단원입니다. 15번은 도함수의 대칭과 극점으로 도함수를 정한 뒤, 극값의 차를 정적분으로 계산해 배율을 결정합니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (1)·(2) (1·6·9·11·21번) — 5문항

1번 하 접선의 기울기, 6번 중 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정, 9번 중상 최대·최소의 활용; 부피, 11번 중 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 21번 중 삼차함수가 주어진 구간에서 극값을 가질 조건.

1번은 지정된 점에서의 도함수값으로 접선의 기울기를 구하는 문항입니다. 반드시 확보할 문항입니다.

6번은 구간 양 끝과 내부 임계점을 모두 후보로 놓고 비교한 뒤, 최댓값과 최솟값의 차로 계수를 정합니다. 양 끝 값을 빼먹지 않는 것이 관건입니다.

9번 부피의 최대는 닮음을 이용해 내접하는 기둥의 높이를 한 변수로 나타낸 뒤 부피 함수의 최댓값을 구합니다. 변수를 하나로 줄이는 첫 단계에서 막히지 않도록 연습해 두세요.

21번은 답을 직접 쓰는 문항으로, 큰 쪽 임계점이 열린 구간 안에 있을 조건을 세우고 두 경계의 정수를 제외해 답을 냅니다. 열린 구간이라 경계값을 포함하지 않는다는 점이 실수 포인트입니다.

2. 도함수의 활용 (3) (2·7·8·13·14번) — 5문항

2번 중 속도·가속도와 운동 방향, 7번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 8번 중 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건, 13번 중 접선의 개수, 14번 중상 삼차방정식의 근의 판별.

2번은 위치를 미분해 속도를 구하고, 속도의 부호가 바뀌는 시각에서의 위치를 계산합니다.

8번은 두 함수의 차로 사차함수를 만들고, 유일한 임계점에서의 최솟값으로 상수의 경계를 정합니다.

13번 접선의 개수는 곡선 밖의 점을 지나는 접선을 접점에 대한 삼차식으로 바꾸고, 두 극값의 높이로 접선 개수를 판별합니다.

14번은 함숫값이 음이 되는 조건으로 중근의 경우를 고르고, 도함수의 대칭축으로 나머지 근을 정하는 문항입니다.

3. 정적분 (3·15·16·18·19·20번) — 6문항

3번 하 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우, 15번 중상 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 · 미적분의 기본정리의 활용, 16번 중 정적분의 계산; 절댓값 기호를 포함한 함수, 18번 중상 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우, 19번 중 함수의 최대·최소 · 정적분의 계산; 구간에 따라 다르게 정의된 함수, 20번 중 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기 · 미적분의 기본정리.

3번은 x−t 꼴이 들어간 적분 등식을 두 번 미분해 푸는 하 난이도 문항입니다. 미분하기 전에 적분 구간의 끝을 대입해 얻는 조건도 함께 챙기세요.

16번은 t=x를 기준으로 절댓값을 나눠 적분한 뒤, 얻은 삼차함수를 미분해 도함수(이차식)의 최솟값을 찾습니다.

18번은 정적분으로 주어진 함수의 값의 범위를 따지면서 계수의 부호와 임계점 위치로 경우를 나누고, 조건을 만족하는 최대 정수를 찾아 함숫값을 구합니다. 경우 분리가 길어 시간이 많이 드는 문항입니다.

19번은 구간이 움직일 때의 최댓값을 세 경우로 나눠 함수를 조각으로 정의하고, 치환을 포함한 정적분의 합을 구합니다. 20번은 원시함수와 함수 사이 관계식을 미분해 다항함수를 정한 뒤 정적분을 계산합니다.

4. 정적분의 활용 (4·5·10·12·17번) — 5문항

4번 중 곡선과 직선 사이의 넓이, 5번 중 곡선과 x축 사이의 넓이; f(x)≥0 또는 f(x)≤0인 경우, 10번 중 우함수·기함수의 정적분 · 곡선과 x축 사이의 넓이; 그래프 꼴, 12번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 · 위치와 위치의 변화량, 17번 중상 두 그래프의 교점의 개수 · 두 곡선 사이의 넓이.

4번은 곡선과 직선의 세 교점으로 두 영역을 나누고, 영역의 부호와 대칭을 이용해 넓이를 구합니다. 5번은 절댓값이 들어간 짝함수의 대칭을 이용합니다.

10번은 기함수의 대칭 구간 적분을 이용해 두 구간의 적분값을 되살린 뒤, 실제 넓이(부호를 고려한 값)를 구합니다. 정적분 값과 넓이가 다르다는 점을 정확히 구분해야 하는 문항입니다.

17번은 두 그래프가 두 점에서 만난다는 조건을 차함수의 중근 조건으로 바꿔 매개변수를 구하고, 그 영역의 넓이를 계산합니다.

주의 문항 — 중상 7문항

7번 중상 (실근의 개수) — 두 높이(±k)를 동시에 따지는 문항입니다.

9번 중상 (부피의 최대) — 닮음으로 변수를 줄이는 첫 단계가 핵심입니다.

12번 중상 (두 점의 상대 위치) — 적분 단원에서 실근 개수 조건을 다시 쓰는 복합 문항입니다.

14번 중상 (삼차방정식의 근의 판별) — 중근의 경우를 고르는 판단이 필요합니다.

15번 중상 (극값과 정적분) — 극값의 차를 적분으로 계산합니다.

17번 중상 (교점 조건과 넓이) — 중근 조건으로 매개변수를 먼저 구해야 넓이 계산에 들어갈 수 있습니다.

18번 중상 (정적분 등식과 최대 정수) — 경우 분리가 가장 많은 문항입니다.

홍대부고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 접선의 기울기, 정적분 등식 미분 — 1·3번 대비. 하 문항 확보.
2. 속도·가속도와 운동 방향 — 2번 대비.
3. 곡선과 x축, 곡선과 직선 사이의 넓이 — 4·5번 대비.
4. 닫힌구간 최대·최소와 미정계수 — 6번 대비. 양 끝 값 포함.
5. 항상 성립하는 부등식 — 8번 대비. 차함수의 최솟값.
6. 우함수·기함수의 정적분 — 10번 대비. 정적분 값과 넓이 구분.
7. 극대·극소와 미정계수 — 11번 대비.
8. 접선의 개수 — 13번 대비.
9. 절댓값 함수의 정적분 — 16번 대비.
10. 구간별로 정의된 함수의 정적분, 부정적분 관계식 — 19·20번 대비. 서술 구간.
11. 삼차함수가 구간에서 극값을 가질 조건 — 21번 대비. 열린 구간 경계 주의.
12. ★ 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 7·12번 대비.
13. ★ 극값의 차와 정적분 — 15번 대비.
14. 부피의 최대, 삼차방정식 근의 판별 — 9·14번 대비.
15. 교점 조건과 넓이, 정적분 등식의 경우 분리 — 17·18번 대비.

자주 나오는 질문

홍대부고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 21문항입니다. 정답 기록 기준 1~18번은 선택형, 19~21번 세 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분이 6문항으로 가장 많습니다. 이어서 도함수의 활용 (3) 5문항, 정적분의 활용 5문항, 도함수의 활용 (2) 4문항, 도함수의 활용 (1) 1문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 한 문항도 없습니다. 실질적인 최고 난도는 중상 7문항(7·9·12·14·15·17·18번)입니다.

부정적분 단원은 안 나왔나요?

배치 단원이 부정적분(07)인 문항은 없습니다. 다만 20번(정적분 단원) 에 함수와 부정적분 사이의 관계식 유형이 들어 있습니다.

과년도 홍대부고 기출도 볼 수 있나요?

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