서울 송파구 보성고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

서울 송파구 보성고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 이 시험의 특징은 중 난이도가 11문항으로 가장 많고, 상 난이도가 14번 한 문항이라는 점입니다. 단원으로는 도함수의 활용 (2)가 6문항으로 가장 많고, 그중 세 문항이 중상입니다.

핵심 요약

• 20문항 — 정답 기록 기준 1~14번 선택형, 15~20번 답을 직접 쓰는 형태(6문항)
• 난이도: 하 3 / 중 11 / 중상 5 / 상 1
• 배치 단원: 05 도함수의 활용 (2) 6 / 09 정적분의 활용 5 / 06 도함수의 활용 (3) 4 / 08 정적분 3 / 04 도함수의 활용 (1) 1 / 07 부정적분 1
• 유일한 상: 14번 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이
• 답을 직접 쓰는 문항이 6개로 많은 편

보성고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

보성고는 서울 송파구에 있는 고등학교입니다. 다른 지역에도 같은 이름의 학교가 있으니 이 글은 서울 송파구 보성고 기준입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 20문항이고, 정답 기록을 보면 1~14번은 선택형, 15~20번 여섯 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

배치 단원은 도함수의 활용 (1)부터 정적분의 활용까지 여섯 단원입니다. 묶어 보면 미분 쪽 11문항(04·05·06), 적분 쪽 9문항(07·08·09) 으로 미분이 조금 더 많습니다.

하 난이도 3문항은 1·2·3번 맨 앞에 있습니다. 4~10번은 모두 중이고, 11~14번이 중상·중상·중상·상으로 이어지는 선택형 후반 고비입니다.

2025학년 난이도 분포 — 중 11문항, 상 1문항

4~10번 일곱 문항이 연속 중입니다. 이 구간을 정확하게 풀어 두는 것이 기본 점수입니다.

선택형 11~14번 네 문항은 모두 중상 이상입니다. 여기서 막히면 시간이 크게 빠지니, 답을 직접 쓰는 15·16·17·19번(모두 중)을 먼저 처리하는 순서도 고려할 만합니다.

출제 단원 — 도함수의 활용 (2) 6문항이 최다

도함수의 활용 (2) 6문항 중 3문항이 중상(11·13·18번)입니다. 중상 5문항 가운데 절반 이상이 이 단원이라 증가·감소와 극대·극소, 최대·최소의 활용이 시험의 중심입니다.

정적분의 활용 5문항에는 상 1문항(14번)과 중상 1문항(20번) 이 들어 있습니다.

이 시험의 성격 — 같은 유형 반복 없음

이 시험은 같은 유형이 두 번 나온 경우가 없습니다. 20문항이 모두 다른 유형입니다. 대신 삼차함수의 증가·감소와 극값 조건이 여러 문항에 형태를 바꿔 나옵니다.

• 3번 하 — 실수 전체에서 감소할 조건(판별식)으로 최소 정수 계수
• 4번 중 — 음의 구간에서 두 극값을 가질 조건(판별식·근의 합·근의 곱)
• 13번 중상 — 도함수의 인수와 부호 변화로 증가·감소를 따져 정수 계수를 최적화
• 19번 중 — 열린 구간에서 감소할 조건으로 함숫값 차의 최대

네 문항 모두 도함수(이차식)의 부호를 어떻게 통제하느냐를 묻습니다. 판별식, 근의 위치, 축의 위치를 조건으로 바꾸는 연습을 묶어서 해 두세요.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (1)·(2) (3·4·11·13·15·18·19번) — 7문항

3번 하 실수 전체의 집합에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건, 4번 중 삼차함수가 주어진 구간에서 극값을 가질 조건, 11번 중상 도함수의 그래프의 해석 (응용), 13번 중상 함수의 증가와 감소, 15번 중 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우, 18번 중상 최대·최소의 활용; 부피, 19번 중 주어진 구간에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건.

11번은 두 도함수의 차를 나타낸 그래프를 보고 세 명제와 근의 개수를 판정합니다. 그래프가 축에 접하는지, 부호가 바뀌는지를 구분해 읽어야 합니다.

15번 평균값 정리는 답을 직접 쓰는 문항입니다. 평균변화율과 c에서의 미분계수를 같다고 놓고 연립해 함숫값을 구합니다.

18번은 정사각뿔에 내접하는 직육면체의 최대 부피를 묻습니다. 닮음으로 부피 함수를 한 변수로 나타낸 뒤 내부 임계점을 찾습니다.

2. 도함수의 활용 (3) (2·5·12·16번) — 4문항

2번 하 정지하는 물체의 속도와 움직인 거리, 5번 중 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건; 최대·최소의 활용, 12번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 16번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 부호.

2번은 제동하는 열차가 멈출 때까지의 거리를 묻습니다. 속도가 처음 0이 되는 시각까지 적분하면 됩니다.

5번은 주어진 구간에서 도함수의 부호로 최솟값을 정하고, 부등호가 등호를 포함하지 않는다는 점에 맞춰 정수 경계를 정합니다.

12번은 두 실근 조건에서 중근의 경우를 나누고, 조건에 맞지 않는 경우를 제외한 뒤 도함수의 대칭축으로 함수를 정합니다.

16번은 답을 직접 쓰는 문항으로, 한 개의 음근과 두 개의 양근을 갖도록 하는 수평선의 범위를 구합니다.

3. 부정적분·정적분 (1·6·9·17번) — 4문항

1번 하 도함수가 주어질 때 함수 구하기, 6번 중 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소, 9번 중 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우, 17번 중 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우.

6번은 절댓값이 들어간 함수를 적분해 만든 함수의 최댓값과 최솟값의 차를 구합니다. 절댓값 안이 0이 되는 점을 기준으로 식을 나누는 것이 첫 단계입니다.

9번은 피적분함수에 변수가 함께 들어 있는 정적분의 극한을 이용해 함숫값을 거꾸로 구합니다.

17번은 답을 직접 쓰는 문항입니다. 아래끝을 대입해 얻는 조건과, 미분해서 얻는 식을 연립해 함수 전체를 구합니다.

4. 정적분의 활용 (7·8·10·14·20번) — 5문항

7번 중 함수와 역함수의 그래프의 y=x 대칭을 이용한 넓이, 8번 중 그래프에서의 위치와 움직인 거리, 10번 중 두 도형의 넓이가 같을 조건, 14번 상 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이, 20번 중상 위치와 위치의 변화량.

8번은 속도 그래프를 보고 다섯 개 선지의 위치·거리를 하나씩 확인하는 문항입니다. 구간별 넓이를 미리 정리해 두면 빠릅니다.

14번(상) 은 이 시험에서 단계가 가장 많은 문항입니다. 사차곡선과 기울기가 음인 접선 사이의 넓이를 구하는데, 사차식의 중근 구조를 세우고 경우를 나눠 하나를 제외한 뒤 적분합니다.

20번은 출발 시각이 다른 두 점이 다시 만나는 조건을 위치의 적분으로 세우고, 속도가 같다는 식과 묶어 값을 구합니다. 출발 시각 차이를 적분 구간에 반영하는 것이 핵심입니다.

주의 문항 — 11~14번과 18·20번

11번 중상 (도함수 차의 그래프) — 명제 판정형이라 보기마다 근거를 확인해야 합니다.

12번 중상 (실근의 개수와 중근) — 경우를 나누고 하나를 제외하는 과정이 있습니다.

13번 중상 (증가·감소와 정수 계수) — 도함수의 인수 구조를 먼저 파악해야 합니다.

14번 상 (곡선과 접선 사이 넓이) — 유일한 상 문항입니다.

18번 중상 (내접 직육면체의 최대 부피) — 답을 직접 쓰는 구간의 중상입니다.

20번 중상 (출발 시각이 다른 두 점) — 마지막 문항입니다.

보성고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 도함수로 함수 구하기, 정지 거리, 감소 조건 — 1·2·3번 대비. 하 문항 확보.
2. ★ 삼차함수의 증가·감소와 극값 조건 — 3·4·13·19번 대비. 도함수 부호 통제.
3. 구간에서 항상 성립하는 부등식 — 5번 대비.
4. 절댓값 함수의 정적분과 최대·최소 — 6번 대비.
5. 역함수 대칭 넓이 — 7번 대비.
6. 속도 그래프에서 위치와 거리 — 8번 대비.
7. 정적분 등식 — 9·17번 대비.
8. 넓이가 같을 조건 — 10번 대비.
9. 평균값 정리 — 15번 대비.
10. 실근의 부호와 개수 — 12·16번 대비.
11. 도함수 그래프의 해석 — 11번 대비.
12. 부피의 최대 — 18번 대비.
13. 출발 시각이 다른 두 점의 위치 — 20번 대비.
14. ★ 곡선과 접선으로 둘러싸인 넓이 — 14번 대비.

자주 나오는 질문

보성고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항입니다. 정답 기록 기준 1~14번은 선택형, 15~20번 여섯 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 도함수의 활용 (2)가 6문항으로 가장 많습니다. 이어서 정적분의 활용 5문항, 도함수의 활용 (3) 4문항, 정적분 3문항, 도함수의 활용 (1)과 부정적분 각 1문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 14번 한 문항입니다. 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 문항입니다. 중상은 11·12·13·18·20번 다섯 문항입니다.

평균값 정리는 나왔나요?

15번(중)이 평균값 정리 문항이고, 답을 직접 쓰는 형태입니다.

과년도 보성고 기출도 볼 수 있나요?

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