용문고(서울 성북구) 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)
서울 성북구 용문고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 23문항입니다. 이 시험은 하 난이도가 4번 한 문항뿐이고, 중 11문항·중상 11문항이 나머지를 똑같이 나눠 가졌습니다. 특히 답을 직접 쓰는 20~23번 네 문항이 연속 중상이라 마지막 구간의 무게가 큽니다.
핵심 요약
- 23문항 — 정답 기록 기준 1~17번 선택형, 18~23번 답을 직접 쓰는 형태(6문항)
- 난이도: 하 1 / 중 11 / 중상 11 / 상 0
- 배치 단원: 05 도함수의 활용 (2) 4 / 07 부정적분 4 / 08 정적분 4 / 09 정적분의 활용 4 / 04 도함수의 활용 (1) 3 / 06 도함수의 활용 (3) 3 / 03 미분계수와 도함수 1
- 반복 유형: 함수의 최대·최소 3회(3·7·22번), 접선이 곡선과 다시 만나는 점 2회(14·23번), 정적분의 계산; 피적분함수가 같은 경우 2회(5·17번)
- 어느 단원도 5문항을 넘지 않는 고른 배치
용문고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
용문고는 서울 성북구에 있는 고등학교입니다. 다른 지역에도 같은 이름의 학교가 있으니 이 글은 서울 성북구 용문고 기준입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 23문항이고, 정답 기록을 보면 1~17번은 선택형, 18~23번 여섯 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.
배치 단원은 미분계수와 도함수부터 정적분의 활용까지 일곱 단원입니다. 묶어 보면 미분 쪽 11문항(03·04·05·06), 적분 쪽 12문항(07·08·09) 으로 거의 반반입니다.
하 난이도는 4번(부정적분의 계산) 하나입니다. 1번부터 중 난이도로 시작하므로, 첫 문항부터 집중해야 합니다.
2025학년 난이도 분포 — 중 11, 중상 11
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 1 | 4% | 4 |
| 중 | 11 | 48% | 1·2·3·5·6·8·12·16·17·18·19 |
| 중상 | 11 | 48% | 7·9·10·11·13·14·15·20·21·22·23 |
| 상 | 0 | 0% | — |
상은 없지만 중상이 절반입니다. 선택형에서는 9·10·11번, 13·14·15번이 각각 세 문항 연속 중상이고, 서술 구간에서는 20~23번 네 문항이 연속 중상입니다.
답을 직접 쓰는 문항 중 18·19번은 중입니다. 둘 다 부정적분 단원이라, 부정적분을 탄탄히 해 두면 서술 구간 앞 두 문항을 확보할 수 있습니다.
출제 단원 — 일곱 단원에 고르게
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 05 도함수의 활용 (2) | 4 | 3·10·13·14 |
| 07 부정적분 | 4 | 4·8·18·19 |
| 08 정적분 | 4 | 5·7·12·17 |
| 09 정적분의 활용 | 4 | 6·11·20·23 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 3 | 2·15·21 |
| 06 도함수의 활용 (3) | 3 | 9·16·22 |
| 03 미분계수와 도함수 | 1 | 1 |
네 단원이 4문항씩, 두 단원이 3문항씩입니다. 버릴 단원이 없는 배치입니다.
중상이 많은 단원은 도함수의 활용 (2) 3문항(10·13·14번) 과 정적분의 활용 3문항(11·20·23번) 입니다. 부정적분 4문항에는 중상이 없습니다.
시그니처 유형 — 최대·최소, 그리고 다시 만나는 점
함수의 최대·최소가 세 번 나왔습니다.
- 3번 중 — 사차함수의 도함수가 단순근과 중근을 가질 때 최솟값을 구합니다.
- 7번 중상 — 구간을 넓혀 가며 절댓값의 최댓값을 정의한 함수를 세 조각으로 나눠 정적분합니다.
- 22번 중상 — 두 점의 상대 위치가 가장 작아지는 시각을 찾고, 그 시각의 속도와 가속도를 구합니다.
세 문항이 미분(3번), 적분(7번), 운동(22번)으로 다른 단원에 흩어져 있습니다. 최대·최소 개념이 시험 전체를 관통한다는 뜻입니다.
접선이 곡선과 다시 만나는 점도 두 번 나왔습니다. 14번은 다시 만나는 점을 구해 삼각형 넓이를 함수로 만들고 최댓값을 구합니다. 23번은 같은 다시 만나는 점에서 출발해 접선과 곡선 사이 넓이를 구한 뒤 극대가 되는 시각을 따집니다. 14번을 확실히 풀 수 있으면 23번의 첫 단계가 열립니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 미분계수와 도함수의 활용 (1) (1·2·15·21번) — 4문항
1번 중 접선의 기울기를 이용한 미정계수의 결정, 2번 중 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우, 15번 중상 접선의 기울기의 최댓값 또는 최솟값, 21번 중상 접선의 방정식; 접점의 좌표가 주어진 경우.
1번은 곡선 위의 점 조건과 접선에 수직인 기울기 조건으로 두 계수를 구합니다. 2번은 평균변화율과 같은 미분계수를 갖는 구간 안의 점을 찾습니다.
15번은 접선의 기울기를 함수로 보고 최댓값을 구한 뒤, 그때의 접점과 절편을 구합니다.
21번은 답을 직접 쓰는 문항으로, 평행한 두 접선의 절편 차와 두 직선 사이 거리로 기울기를 정하고 x절편의 차를 구합니다.
2. 도함수의 활용 (2) (3·10·13·14번) — 4문항
3번 중 함수의 최대·최소, 10번 중상 삼차함수가 주어진 구간에서 극값을 가질 조건, 13번 중상 최대·최소의 활용; 부피, 14번 중상 접선이 곡선과 다시 만나는 점 · 최대·최소의 활용; 넓이.
10번은 열린 구간에서 도함수가 두 근을 가질 조건을 축의 위치·판별식·양 끝 값의 부호 세 가지로 세우는 문항입니다. 세 조건 중 하나라도 빠뜨리면 틀립니다.
13번은 정사각뿔에 내접한 기둥의 부피가 최대가 될 때를 구하고, 그때의 겉넓이나 모서리 길이 합을 구합니다.
3. 도함수의 활용 (3) (9·16·22번) — 3문항
9번 중상 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건, 16번 중 속도·가속도와 운동 방향, 22번 중상 함수의 최대·최소 · 가속도.
9번은 항상 성립하는 부등식을 양수 범위에서 유리함수의 최솟값 문제로 바꿉니다. 16번은 속도가 0이 되는 두 시각을 구해 첫 시각의 위치와 둘째 시각의 가속도를 구합니다.
4. 부정적분 (4·8·18·19번) — 4문항
4번 하 부정적분의 계산, 8번 중 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기, 18번 중 부정적분과 미분의 관계를 이용하여 함수 구하기, 19번 중 부정적분과 극대·극소.
4번은 두 부정적분의 차를 다항식 하나로 정리해 적분합니다. 8번은 관계식을 미분하고 적분상수를 정합니다.
18번은 곱의 미분을 거꾸로 적용해 적분하고, 함수가 다항함수라는 조건으로 상수를 정합니다. 19번은 도함수의 극소점 조건으로 적분상수를 구한 뒤 지정된 값을 계산합니다. 두 문항 모두 답을 직접 쓰는 형태입니다.
5. 정적분 (5·7·12·17번) — 4문항
5번 중 정적분의 계산; 피적분함수가 같은 경우, 7번 중상 함수의 최대·최소 · 정적분의 계산; 구간에 따라 다르게 정의된 함수, 12번 중 정적분의 계산; 절댓값 기호를 포함한 함수, 17번 중 정적분의 계산; 피적분함수가 같은 경우.
5번과 17번은 같은 유형입니다. 5번은 적분 방향이 반대인 구간과 이어진 구간을 합치고 우함수·기함수 성질을 씁니다. 17번은 구간별 정적분 값을 연립해 원하는 다항식의 정적분 차를 구합니다.
12번은 절댓값 안이 0이 되는 점을 기준으로 나눠, 적분값 조건을 만족하는 위끝을 구합니다.
6. 정적분의 활용 (6·11·20·23번) — 4문항
6번 중 두 곡선 사이의 넓이, 11번 중상 속도의 그래프의 해석 · 움직인 거리, 20번 중상 두 곡선 사이의 넓이의 활용; 이등분, 23번 중상 접선이 곡선과 다시 만나는 점 · 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이.
11번은 속도 그래프로 운동 방향, 가속도, 위치, 움직인 거리를 명제별로 판정합니다.
20번은 곡선이 직사각형의 넓이를 이등분하는 조건을 적분 방정식으로 세웁니다. 구한 값이 영역 안에 있는지까지 확인해야 합니다.
주의 문항 — 20~23번 연속 중상
7번 중상 (최대·최소로 정의한 함수의 정적분) — 함수를 세 조각으로 나누는 단계가 핵심입니다.
9·10·11번 중상 — 항상 성립하는 부등식, 구간에서 극값을 가질 조건, 속도 그래프 명제 판정이 이어집니다.
13·14·15번 중상 — 부피의 최대, 다시 만나는 점과 넓이의 최대, 접선 기울기의 최대가 이어집니다.
20~23번 중상 — 넓이의 이등분, 평행한 두 접선, 상대 위치의 최소, 접선과 곡선 사이 넓이입니다. 답을 직접 쓰는 형태라 풀이 과정이 길어집니다.
용문고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서
- 부정적분의 계산 — 4번 대비. 유일한 하 문항.
- 접선의 기울기와 미정계수, 평균값 정리 — 1·2번 대비.
- 정적분의 계산(구간 합치기, 우함수·기함수) — 5·17번 대비.
- 두 곡선 사이의 넓이 — 6번 대비.
- 부정적분과 함수의 관계식 — 8·18번 대비.
- 절댓값 함수의 정적분 — 12번 대비.
- 속도·가속도와 운동 방향 — 16번 대비.
- 부정적분과 극대·극소 — 19번 대비.
- ★ 함수의 최대·최소 — 3·7·22번 대비.
- 구간에서 극값을 가질 조건 — 10번 대비. 축·판별식·양 끝 값.
- 항상 성립하는 부등식 — 9번 대비.
- 속도 그래프 해석 — 11번 대비.
- 부피의 최대, 접선 기울기의 최대 — 13·15번 대비.
- ★ 접선이 곡선과 다시 만나는 점 — 14·23번 대비.
- 넓이의 이등분, 평행한 두 접선 — 20·21번 대비.
자주 나오는 질문
용문고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 23문항입니다. 정답 기록 기준 1~17번은 선택형, 18~23번 여섯 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 도함수의 활용 (2), 부정적분, 정적분, 정적분의 활용이 각 4문항입니다. 도함수의 활용 (1)·(3)이 각 3문항, 미분계수와 도함수가 1문항입니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도는 없습니다. 대신 중상이 11문항이고, 답을 직접 쓰는 20~23번이 모두 중상입니다.
접선 관련 문항은 몇 개인가요?
유형명 기준으로 접선 관련 유형이 1·14·15·21·23번 다섯 문항에 들어 있습니다(접선의 기울기, 다시 만나는 점, 기울기의 최댓값, 접선의 방정식, 접선과 곡선 사이 넓이).
과년도 용문고 기출도 볼 수 있나요?
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