서울 양천구 광영고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)
서울 양천구 광영고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 이 시험은 중 난이도가 11문항으로 절반을 넘고, 상은 17번 한 문항입니다. 단원으로는 부정적분·정적분·정적분의 활용이 4문항씩, 적분 쪽이 12문항으로 미분 쪽보다 많습니다.
핵심 요약
- 21문항 — 정답 기록 기준 1~18번 선택형, 19~21번 답을 직접 쓰는 형태(3문항)
- 난이도: 하 5 / 중 11 / 중상 4 / 상 1
- 배치 단원: 05 도함수의 활용 (2) 5 / 07 부정적분 4 / 08 정적분 4 / 09 정적분의 활용 4 / 06 도함수의 활용 (3) 3 / 01 함수의 극한 1
- 반복 유형: 곡선과 x축 사이의 넓이 2회(2·10번), 함수의 극대·극소 2회(5·16번), 정적분을 포함한 등식 2회(12·14번)
- 유일한 상: 17번 교점의 개수로 정의한 함수의 극한
광영고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
광영고는 서울 양천구에 있는 고등학교입니다. 다른 지역에도 같은 이름의 학교가 있고, 광영여고와도 다른 학교이니 이 글은 서울 양천구 광영고 기준입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 21문항이고, 정답 기록을 보면 1~18번은 선택형, 19~21번 세 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.
배치 단원은 도함수의 활용 (2)·(3), 부정적분, 정적분, 정적분의 활용이 중심이고, 여기에 함수의 극한 단원 1문항(17번) 이 더해졌습니다. 묶어 보면 적분 쪽 12문항(07·08·09), 도함수의 활용 8문항(05·06), 함수의 극한 1문항입니다. 도함수의 활용 (1)로 분류된 문항은 없습니다.
하 5문항 중 4문항이 2~5번에 모여 있고, 나머지 하 하나는 답을 직접 쓰는 19번입니다. 6~12번은 모두 중이고, 13번부터 중상과 상이 섞여 나옵니다.
2025학년 난이도 분포 — 중 11문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 5 | 24% | 2·3·4·5·19 |
| 중 | 11 | 52% | 1·6·7·8·9·10·11·12·14·15·20 |
| 중상 | 4 | 19% | 13·16·18·21 |
| 상 | 1 | 5% | 17 |
하와 중을 합치면 16문항(76%) 입니다. 기본기만 탄탄하면 대부분의 점수를 확보할 수 있는 구조입니다.
어려운 문항은 13·16·17·18번(선택형)과 21번(서술형) 다섯 개로 좁혀집니다. 특히 16·17·18번 세 문항이 중상·상·중상으로 연속입니다.
답을 직접 쓰는 19번은 하, 20번은 중입니다. 선택형 후반에서 막히면 19·20번을 먼저 처리하는 순서가 현실적입니다.
출제 단원 — 적분 세 단원이 4문항씩
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 05 도함수의 활용 (2) | 5 | 1·5·7·13·16 |
| 07 부정적분 | 4 | 3·4·6·8 |
| 08 정적분 | 4 | 12·14·15·20 |
| 09 정적분의 활용 | 4 | 2·10·11·18 |
| 06 도함수의 활용 (3) | 3 | 9·19·21 |
| 01 함수의 극한 | 1 | 17 |
부정적분 4문항과 정적분 4문항에는 중상·상이 하나도 없습니다. 부정적분은 하 2·중 2, 정적분은 4문항 모두 중입니다. 적분 계산 단원은 확실한 득점 구간입니다.
중상 이상 5문항은 도함수의 활용 (2) 2문항(13·16번), 함수의 극한 1문항(17번), 정적분의 활용 1문항(18번), 도함수의 활용 (3) 1문항(21번)입니다.
반복 유형 — 넓이, 극대·극소, 정적분 등식
두 번씩 나온 유형이 세 가지입니다.
- 곡선과 x축 사이의 넓이; f(x)≥0 또는 f(x)≤0인 경우 — 2번(하), 10번(중)
- 함수의 극대·극소 — 5번(하), 16번(중상)
- 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우 — 12번(중), 14번(중)
2번과 10번은 같은 넓이 유형인데, 2번은 포물선과 x축 사이 넓이이고, 10번은 절댓값이 들어간 짝함수 곡선의 대칭을 이용합니다.
5번과 16번은 난이도 차이가 큽니다. 5번은 삼차함수의 두 극점에서 함숫값을 더하는 기본형이고, 16번은 절댓값 함수가 미분 불가능한 점이 하나뿐이라는 조건에서 삼중근 구조를 찾아 극값으로 계수를 정합니다.
12번과 14번은 같은 정적분 등식 유형입니다. 12번은 대칭 구간 적분으로 계수에 대한 방정식을 세워 실근의 합을 구하고, 14번은 아래끝에서 함숫값과 미분계수가 0이라는 두 조건을 연립합니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 도함수의 활용 (2) (1·5·7·13·16번) — 5문항
1번 중 도함수의 그래프의 해석 (응용), 5번 하 함수의 극대·극소, 7번 중 최대·최소의 활용; 부피, 13번 중상 주어진 구간에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건, 16번 중상 미분가능성과 연속성 · 함수의 극대·극소.
1번은 도함수 그래프의 부호와 축에 접하는 점을 보고 원래 함수의 성질을 선지별로 판정합니다. 첫 문항부터 중 난이도입니다.
7번은 원기둥의 둘레와 높이 조건으로 부피 함수를 만들고 최댓값과 그때의 높이를 구합니다.
13번은 연속인 조각 삼차함수가 전 구간에서 증가할 조건을 조각마다 세우고, 경계에서 연속인 조건과 묶어 매개변수의 최댓값을 구합니다.
2. 도함수의 활용 (3) (9·19·21번) — 3문항
9번 중 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건, 19번 하 속도, 21번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수.
9번은 두 함수의 차로 사차함수를 만들어 전 구간 최솟값을 구하고, 등호가 없는 부등식에 맞는 정수의 최댓값을 정합니다.
19번은 답을 직접 쓰는 문항으로, 물체가 수면에 닿는 양수 시각을 구하고 그때의 속도를 계산합니다. 하 난이도라 서술 구간에서 반드시 확보할 문항입니다.
21번은 절댓값이 들어간 방정식을 부호에 따라 나눠, 각 경우를 수평선과 그래프의 교점 개수로 바꿔 셉니다.
3. 부정적분 (3·4·6·8번) — 4문항
3번 하 부정적분의 정의, 4번 하 부정적분과 접선의 기울기, 6번 중 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기, 8번 중 부정적분과 미분계수.
3번은 같은 함수의 두 부정적분은 상수만큼 차이 난다는 성질을 씁니다. 4번은 접선의 기울기를 적분하고 지나는 점으로 상수를 정합니다.
6번은 관계식을 항등식으로 보고 미분해 함수를 구합니다. 8번은 부정적분의 대칭 차분 꼴 극한을 미분계수로 정리하는 문항입니다.
4. 정적분 (12·14·15·20번) — 4문항, 전부 중
12번 정적분을 포함한 등식, 14번 정적분을 포함한 등식, 15번 우함수·기함수의 정적분; 피적분함수가 주어지지 않은 경우, 20번 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소.
15번은 주어진 관계식에서 함수가 기함수라는 성질을 끌어내, 대칭 구간 정적분이 상쇄되는 것을 이용합니다.
20번은 답을 직접 쓰는 문항으로, 끝이 움직이는 정적분을 미분해 임계점을 찾고 닫힌구간 양 끝 값과 함께 비교해 최댓값과 최솟값을 구합니다.
5. 정적분의 활용 (2·10·11·18번) — 4문항
2번 하 곡선과 x축 사이의 넓이, 10번 중 곡선과 x축 사이의 넓이, 11번 중 위치와 위치의 변화량, 18번 중상 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이.
11번은 출발점이 다른 두 점의 속도를 적분해 위치를 구하고, 두 점이 만나는 양수 시각을 고릅니다.
18번은 사차함수가 접선과 세 겹으로 접하는 조건에서 접점을 구하고, 지정된 점을 포함한 영역의 넓이를 적분합니다.
6. 함수의 극한 (17번) — 1문항, 상
17번 상 개수 세기형 계단함수의 극한.
배치 단원으로는 수학Ⅱ 첫 단원인 함수의 극한입니다. 두 그래프의 교점 개수로 정의한 함수가 계단 모양이 되는데, 삼차함수 쪽과 포물선 쪽 교점 수를 각각 구하고 좌극한·우극한·함숫값을 모두 비교해 조건을 만족하는 계수를 찾습니다. 2학기 기말이라도 1학기 극한 단원의 좌우극한 개념을 다시 점검해 두세요.
주의 문항
13번 중상 (조각 삼차함수의 증가 조건) — 조각마다 조건을 세우고 연속 조건까지 묶어야 합니다.
16번 중상 (미분 불가능한 점과 극값) — 절댓값 함수의 구조를 먼저 파악해야 합니다.
17번 상 (교점 개수로 정의한 함수의 극한) — 유일한 상 문항입니다.
18번 중상 (곡선과 접선 사이 넓이) — 접점을 정확히 구하는 것이 먼저입니다.
21번 중상 (절댓값 방정식의 실근 개수) — 마지막 서술 문항입니다.
광영고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서
- 곡선과 x축 사이 넓이, 부정적분 기본, 극값 — 2·3·4·5번 대비. 하 문항 확보.
- 속도 — 19번 대비. 서술 구간 하 문항.
- 도함수 그래프 해석 — 1번 대비.
- 부정적분 관계식과 미분계수 — 6·8번 대비.
- 부피의 최대 — 7번 대비.
- 항상 성립하는 부등식 — 9번 대비.
- 절댓값 짝함수의 넓이 — 10번 대비.
- 위치와 위치의 변화량 — 11번 대비.
- ★ 정적분을 포함한 등식 — 12·14번 대비.
- 우함수·기함수의 정적분 — 15번 대비.
- 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소 — 20번 대비.
- 조각 함수의 증가 조건, 미분가능성과 극값 — 13·16번 대비.
- 곡선과 접선 사이 넓이 — 18번 대비.
- 실근의 개수(절댓값) — 21번 대비.
- 좌극한·우극한 — 17번 대비. 함수의 극한 복습.
자주 나오는 질문
광영고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 21문항입니다. 정답 기록 기준 1~18번은 선택형, 19~21번 세 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 도함수의 활용 (2)가 5문항으로 가장 많습니다. 부정적분·정적분·정적분의 활용이 각 4문항, 도함수의 활용 (3) 3문항, 함수의 극한 1문항입니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도는 17번 한 문항입니다. 중상은 13·16·18·21번 네 문항입니다.
함수의 극한도 나왔나요?
네, 17번(상) 한 문항이 배치 단원 기준 함수의 극한입니다. 교점 개수로 정의한 함수의 좌우극한을 묻습니다.
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