보인고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

보인고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 이 시험은 상 6문항·중상 7문항으로, 중상 이상이 13문항(62%) 입니다. 하 난이도는 4·7번 두 문항뿐입니다. 단원으로는 정적분 7문항, 정적분의 활용 5문항으로 적분 쪽이 시험의 3분의 2를 차지합니다.

핵심 요약

• 21문항 — 정답 기록 기준 1~15번 선택형, 16~21번 답을 직접 쓰는 형태(6문항)
• 난이도: 하 2 / 중 6 / 중상 7 / 상 6
• 배치 단원: 08 정적분 7 / 09 정적분의 활용 5 / 06 도함수의 활용 (3) 4 / 04 도함수의 활용 (1) 2 / 07 부정적분 2 / 05 도함수의 활용 (2) 1
• 반복 유형: 두 그래프의 교점의 개수 3회(14·15·20번, 모두 상)
• 상 6문항이 13~15번, 19~21번 두 구간에 세 문항씩 연속

보인고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

보인고는 서울 송파구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 21문항이고, 정답 기록을 보면 1~15번은 선택형, 16~21번 여섯 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

배치 단원은 도함수의 활용 (1)부터 정적분의 활용까지 여섯 단원입니다. 묶어 보면 미분 쪽 7문항(04·05·06), 적분 쪽 14문항(07·08·09) 으로 적분이 두 배입니다.

흐름은 세 단계입니다. 1~7번은 하·중만 있고, 8~12번 다섯 문항이 연속 중상, 13~15번이 연속 상입니다. 서술 구간은 16번 중으로 시작해 17·18번 중상, 19~21번 연속 상으로 끝납니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 이상 13문항

하와 중을 합쳐도 8문항입니다. 1~7번 일곱 문항과 16번을 실수 없이 확보하는 것이 기본선이고, 그 위의 점수는 중상 7문항을 얼마나 지키느냐에 달려 있습니다.

상 6문항은 선택형 끝 세 문항(13~15번)과 서술형 끝 세 문항(19~21번) 에 나뉘어 있습니다. 두 구간 모두 마지막에 몰려 있으니, 시간 배분을 미리 정해 두고 들어가야 합니다.

출제 단원 — 정적분 7문항이 최다

정적분 7문항은 4·7번 하, 9·11·18번 중상, 19·21번 상입니다. 하 두 문항이 모두 이 단원이고, 서술형 상 두 문항도 이 단원이라 정적분 단원의 난이도 폭이 가장 넓습니다.

도함수의 활용 (3) 4문항 중 3문항이 상(14·15·20번)입니다. 세 문항 모두 두 그래프의 교점의 개수 유형입니다.

정적분의 활용 5문항은 3·6번 중, 8·12·17번 중상입니다. 상은 없지만 절반 이상이 중상입니다.

시그니처 유형 — 두 그래프의 교점의 개수 3회, 모두 상

두 그래프의 교점의 개수가 14·15·20번 세 문항에 나왔고, 세 문항 모두 상입니다.

• 14번 — 자르는 점을 옮겨 가며 근의 개수를 함수로 정의하고, 그 함수가 불연속이 되는 지점을 따집니다.
• 15번 — 우함수의 세 근 구조에서 사차식을 구하고, 항상 근이 되는 값을 남긴 채 구간별 근의 개수를 세어 근의 개수가 바뀌는 지점을 찾습니다.
• 20번 — 답을 직접 쓰는 문항입니다. 절댓값이 들어간 교점 방정식을 구간별 삼차식으로 바꾸고, 극값과 경계의 높이로 근의 개수가 짝수가 되는 경우를 찾습니다.

세 문항의 공통점은 근의 개수를 높이(수평선)에 따라 세는 것입니다. 극댓값·극솟값·경계값을 기준으로 수평선을 올려 가며 교점 개수가 어떻게 바뀌는지 표로 정리하는 연습이 필요합니다.

이 밖에 두 번씩 나온 유형은 다음과 같습니다.

• 곡선과 x축 사이의 넓이; f(x)≥0 또는 f(x)≤0인 경우 — 3번(중), 17번(중상)
• 움직인 거리 — 6번(중), 8번(중상)
• 정적분의 계산; 구간에 따라 다르게 정의된 함수 — 19번(상), 21번(상)

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (1)·(2) (1·10·13번) — 3문항

1번 중 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정, 10번 중상 접선의 방정식; 접점의 좌표가 주어진 경우, 13번 상 미분가능성과 연속성 · 롤의 정리.

1번은 닫힌구간에서 모든 임계점과 양 끝 값을 비교해 최댓값과 최솟값의 합으로 상수를 정합니다.

10번은 네 함숫값이 등차를 이루는 조건에서 사차식을 인수로 나타내고, 두 접선의 교점을 구합니다.

13번(상) 은 롤의 정리로 근의 순서를 따지고, 절댓값 함수가 미분가능할 조건과 대칭을 이용해 나머지 근을 정합니다. 단계가 네 개인 문항입니다.

2. 도함수의 활용 (3) (14·15·16·20번) — 4문항

14번 상 두 그래프의 교점의 개수, 15번 상 두 그래프의 교점의 개수, 16번 중 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건; 최대·최소의 활용, 20번 상 두 그래프의 교점의 개수.

16번은 서술 구간의 유일한 중 문항입니다. 양수 범위에서 차함수의 최솟값을 구하고, 등호가 없는 부등식에 맞는 정수의 최댓값을 정합니다. 서술 구간에서 가장 먼저 확보할 문항입니다.

3. 부정적분 (2·5번) — 2문항

2번 중 도함수가 주어질 때 함수 구하기, 5번 중 부정적분과 극대·극소.

2번은 그림의 두 점으로 도함수(직선)를 정하고 적분해 함숫값을 구합니다. 5번은 그림의 두 도함수 근으로 식을 세우고, 극댓값과 극솟값의 차로 배율을 정합니다.

4. 정적분 (4·7·9·11·18·19·21번) — 7문항

4번 하 정적분의 계산; 피적분함수가 같은 경우, 7번 하 미적분의 기본정리, 9번 중상 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우, 11번 중상 미적분의 기본정리의 활용, 18번 중상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소, 19번 상 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 · 정적분의 계산; 구간에 따라 다르게 정의된 함수, 21번 상 정적분의 계산; 구간에 따라 다르게 정의된 함수.

4·7번 하는 적분 방향이 다른 같은 함수의 정적분 합, 미적분의 기본정리로 계수 정하기입니다. 반드시 확보하세요.

9번은 누적 최댓값이 일정한 구간을 정해 적분 방정식을 세웁니다. 11번은 연속으로 이어지는 점의 조건과 적분 함수의 최소 조건으로 두 계수를 정합니다.

18번은 피적분함수의 부호로 적분 함수의 증가·감소를 보고 두 극값을 구합니다.

19·21번(상) 은 둘 다 구간별로 정의된 함수의 정적분입니다. 19번은 절댓값 함수의 미분가능 조건으로 접합 상수를 정한 뒤 부호별로 적분하고, 21번은 원시함수가 항상 0 이상이라는 조건에서 함수의 부호를 골라 구간 정적분을 계산합니다.

5. 정적분의 활용 (3·6·8·12·17번) — 5문항

3번 중 곡선과 x축 사이의 넓이, 6번 중 움직인 거리, 8번 중상 움직인 거리, 12번 중상 곡선과 x축 사이의 넓이; 그래프 꼴, 17번 중상 곡선과 x축 사이의 넓이.

6번은 가속하는 구간과 등속인 구간의 이동 거리를 각각 구해 더합니다. 8번은 운동 방향이 바뀌지 않는 조건을 판별식으로 바꾸고, 가속도 조건과 함께 이동 거리를 구합니다. 같은 유형이 6번 중, 8번 중상으로 바로 이어져 나옵니다.

12번은 등차를 이루는 세 근의 중심을 옮겨 기함수 꼴 대칭으로 넓이를 구하고, 공차를 정합니다.

17번은 답을 직접 쓰는 문항으로, 두 축까지 거리의 최솟값으로 만든 함수가 둘러싸는 영역을 찾고 넓이를 적분합니다.

주의 문항 — 13~15번, 19~21번

8~12번 중상 — 움직인 거리, 누적 최댓값 적분, 등차 네 함숫값과 접선, 연속 접합과 적분 함수, 등차 세 근의 넓이. 다섯 문항 연속 중상입니다.

13번 상 (롤의 정리와 미분가능성) — 선택형 상 구간의 첫 문항입니다.

14·15번 상 (교점의 개수) — 근의 개수가 바뀌는 지점을 찾는 문항이 연속으로 나옵니다.

19번 상 (구간별 함수의 미분가능성과 정적분) — 서술 구간 상 구간의 첫 문항입니다.

20번 상 (절댓값 교점의 개수) — 시그니처 유형의 서술형입니다.

21번 상 (원시함수 조건과 구간별 정적분) — 마지막 문항입니다.

보인고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 같은 함수의 정적분, 미적분의 기본정리 — 4·7번 대비. 하 문항 확보.
2. 닫힌구간 최대·최소 — 1번 대비.
3. 도함수에서 함수 구하기, 부정적분과 극값 — 2·5번 대비.
4. 곡선과 x축 사이의 넓이 — 3·12·17번 대비.
5. ★ 움직인 거리 — 6·8번 대비.
6. 구간에서 항상 성립하는 부등식 — 16번 대비. 서술 구간 확보.
7. 상수 구간 정적분 등식 — 9번 대비.
8. 접선의 방정식 — 10번 대비.
9. 미적분의 기본정리의 활용 — 11번 대비.
10. 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 18번 대비.
11. 롤의 정리와 미분가능성 — 13번 대비.
12. ★ 두 그래프의 교점의 개수 — 14·15·20번 대비. 수평선 높이별 교점 수 표 만들기.
13. ★ 구간별로 정의된 함수의 정적분 — 19·21번 대비.

자주 나오는 질문

보인고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 21문항입니다. 정답 기록 기준 1~15번은 선택형, 16~21번 여섯 문항은 답을 직접 쓰는 형태입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분이 7문항으로 가장 많습니다. 이어서 정적분의 활용 5문항, 도함수의 활용 (3) 4문항, 도함수의 활용 (1)과 부정적분 각 2문항, 도함수의 활용 (2) 1문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도가 6문항(13·14·15·19·20·21번)입니다. 선택형 끝 세 문항과 서술형 끝 세 문항이 모두 상입니다.

쉬운 구간은 어디인가요?

1~7번은 하·중만 있습니다. 하는 4·7번, 나머지는 중입니다. 서술 구간에서는 16번이 유일한 중입니다.

과년도 보인고 기출도 볼 수 있나요?

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