성수고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025 서울 성동구)
서울 성동구 성수고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 하 난이도는 1·2번 두 문항뿐이고, 나머지 스무 문항이 중 이상입니다. 그중 중 14문항이 시험의 몸통이고, 뒤쪽에 중상 5문항과 상 1문항이 붙어 있습니다.
핵심 요약
- 22문항 — 정답 기록 기준 1~18번 선택형, 19~22번 서술형 4문항
- 난이도: 하 2 / 중 14 / 중상 5 / 상 1
- 배치 단원: 06 도함수의 활용 (3) 8 / 08 정적분 6 / 09 정적분의 활용 5 / 05 도함수의 활용 (2) 2 / 07 부정적분 1
- 최다 반복 유형: 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 3회(10·15·21번)
- 유일한 상 문항: 17번 두 그래프의 교점의 개수
※ 강원 춘천시에도 같은 이름의 성수고가 있습니다. 이 글은 서울 성동구 성수고 시험지 분석입니다.
성수고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
2025학년 성수고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 22문항입니다. 정답 기록을 보면 1~18번은 ①~⑤ 중 하나를 고르는 선택형이고, 19~22번 네 문항이 서술형입니다.
출제는 수학Ⅱ 후반부에 모여 있습니다. 배치 단원 기준으로 미분 쪽(05·06) 10문항, 적분 쪽(07·08·09) 12문항입니다. 01 함수의 극한부터 04 도함수의 활용 (1)까지는 한 문항도 배치되지 않았습니다.
미분과 적분이 시험지 안에서 번갈아 나옵니다. 1~4번이 부정적분·정적분, 5~8번이 도함수의 활용, 9번이 넓이, 10·11번이 다시 도함수의 활용입니다. 단원 순서대로 묶여 있지 않으니 문항마다 어느 단원인지 먼저 확인하고 들어가는 편이 낫습니다.
2025학년 난이도 분포 — 하 2문항, 중 14문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 2 | 9% | 1·2 |
| 중 | 14 | 64% | 3·4·5·6·7·8·9·11·12·13·14·15·16·20 |
| 중상 | 5 | 23% | 10·18·19·21·22 |
| 상 | 1 | 5% | 17 |
확보용 하 문항이 두 개뿐이라는 점이 이 시험의 성격입니다. 1번(도함수가 주어질 때 함수 구하기)과 2번(적분 구간이 같은 정적분의 계산)을 지나면 바로 중 난이도가 이어집니다.
대신 중 14문항이 3번부터 16번까지 거의 끊김 없이 이어집니다. 10번 중상 하나를 빼면 3~16번 열네 문항 가운데 13문항이 중입니다. 이 구간에서 실수 없이 맞히는 것이 점수의 바탕입니다.
중상 이상 6문항은 10번과 17~22번에 있습니다. 서술형 네 문항 중 20번만 중이고, 19·21·22번 세 문항은 중상입니다.
출제 단원 — 도함수의 활용 (3)이 8문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 06 도함수의 활용 (3) | 8 | 5·6·8·10·11·15·17·21 |
| 08 정적분 | 6 | 2·3·4·12·13·18 |
| 09 정적분의 활용 | 5 | 9·14·16·20·22 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 2 | 7·19 |
| 07 부정적분 | 1 | 1 |
06 도함수의 활용 (3)이 8문항(36%) 으로 가장 많습니다. 방정식의 실근, 부등식, 속도·가속도, 변화율이 모두 이 단원에 들어 있습니다. 이 시험의 유일한 상 문항(17번)과 중상 두 문항(10·21번)도 여기서 나왔습니다.
적분 쪽은 08 정적분 6문항과 09 정적분의 활용 5문항으로 11문항이 거의 반반입니다. 07 부정적분은 1번 한 문항입니다.
시그니처 유형 — "방정식 f(x)=k의 실근의 개수" 3회
방정식 f(x)=k의 실근의 개수가 10·15·21번 세 문항에서 나왔습니다. 15번은 중, 10번은 중상, 21번은 서술형 중상입니다.
- 10번 중상 — 삼차함수에 절댓값이 붙은 그래프와 네 교점
- 15번 중 — 세 교점이 생기는 수준의 정수 합
- 21번 중상(서술형) — 절댓값 수준에서 홀수 개의 근이 생기는 경우의 가중합
세 문항 모두 y=f(x)의 그래프와 수평선 y=k의 교점 개수로 바꿔 읽는 문제입니다. 극댓값·극솟값을 정확히 구하고 그래프 개형을 그리는 것이 출발점입니다. 10번과 21번은 여기에 절댓값이 얹혀 있어, 그래프를 x축 기준으로 접어 올린 모양까지 그려야 합니다.
같은 단원의 17번(상) 도 두 그래프의 교점의 개수를 묻습니다. 실근 개수 문제를 그래프로 읽는 연습이 이 시험 미분 파트의 핵심입니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 부정적분과 정적분 계산 (1·2·3·4번) — 4문항
1번 하 도함수가 주어질 때 함수 구하기, 2번 하 정적분의 계산(적분 구간이 같은 경우), 3번 중 우함수·기함수의 정적분(피적분함수가 주어지지 않은 경우), 4번 중 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소.
1번은 도함수를 적분한 뒤 초기값으로 함수를 복원하고, 2번은 같은 구간의 두 정적분의 차를 계산합니다. 이 두 문항이 시험 전체의 하 난이도 전부입니다.
3번은 우함수의 정적분을 구간별로 더하는 문항이고, 4번은 절댓값이 들어간 정적분으로 정의된 함수의 최솟값을 묻습니다. 4번은 절댓값 안이 0이 되는 점에서 구간을 나누는 것이 첫 단계입니다.
2. 속도·가속도와 운동 (5·6·14·20번) — 4문항
5번 중 속도, 6번 중 속도·가속도와 운동 방향, 14번 중 위치와 위치의 변화량, 20번 중(서술형) 움직인 거리.
5번은 경사면에 처음 충돌할 때의 낙하 속도, 6번은 두 번째로 운동 방향이 바뀔 때의 가속도를 묻습니다. 14번은 두 점이 두 번 다시 만나는 상황에서 초기 위치를, 20번은 가장 먼 위치와 이동 거리를 묻습니다.
5·6번은 06 단원(미분), 14·20번은 09 단원(적분)입니다. 위치를 미분하면 속도, 속도를 적분하면 위치 변화량이라는 양방향 관계가 한 시험에 다 나왔습니다. 20번은 위치의 변화량과 움직인 거리를 구분하는 문항이라, 속도의 부호가 바뀌는 시각에서 구간을 나눠야 합니다.
3. 도함수의 그래프와 부등식 (7·8·19번) — 3문항
7번 중 도함수의 그래프의 해석(응용), 8번 중 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건, 19번 중상(서술형) 함수의 증가와 감소.
7번은 두 도함수의 차의 그래프를 보고 명제를 판정합니다. 8번은 모든 실수에서 함수 부등식이 성립하도록 계수를 정하는 문항이고, 19번은 감소 구간의 최대 길이를 묻습니다.
8번은 두 함수의 차를 하나의 함수로 놓고 그 최솟값이 0 이상이 되는 조건으로 바꾸는 것이 표준 풀이입니다.
4. 변화율 (11번) — 1문항
11번 중 시각에 대한 부피의 변화율. 수면이 올라갈 때 부피의 변화율을 묻습니다. 반지름과 높이를 시각 t의 함수로 나타낸 뒤 미분하는 순서입니다.
5. 정적분으로 정의된 함수 (12·13·18번) — 3문항
12번 중 정적분을 포함한 등식(아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우), 13번 중 정적분으로 정의된 함수의 극한, 18번 중상 정적분의 계산(구간에 따라 다르게 정의된 함수).
12번은 아래끝을 대입해 계수를 정한 뒤 두 번 미분하는 흐름이고, 13번은 고정된 상수 정적분이 들어간 식과 미분계수의 극한을 다룹니다. 18번은 누적되는 절댓값의 최댓값으로 정의된 함수를 적분합니다.
12번은 양변을 미분하기 전에 피적분함수 안의 x를 적분 기호 밖으로 빼는 것이 먼저입니다. 이 단계를 빠뜨리면 미분이 틀어집니다.
6. 넓이 (9·16·22번) — 3문항
9번 중 곡선과 직선 사이의 넓이, 16번 중 두 도형의 넓이가 같을 조건, 22번 중상(서술형) 곡선과 직선 사이의 넓이.
9번은 포물선 영역을 수평선으로 나눈 넓이, 16번은 세 영역의 넓이가 상쇄되는 조건입니다. 22번은 접선이 만드는 넓이와 세 가지 값을 함께 구하는 서술형입니다.
16번처럼 두 넓이가 같다는 조건은 부호를 붙인 정적분 값이 0이라는 식으로 바꾸면 계산이 단순해집니다.
주의 문항 — 중상 5문항과 상 1문항
10번 중상 (방정식 f(x)=k의 실근의 개수) — 선택형 구간의 유일한 중상입니다. 삼차함수에 절댓값이 붙은 그래프에서 네 교점을 따집니다.
17번 상 (두 그래프의 교점의 개수) — 이 시험의 최고 난도입니다. 네 교점이 생기는 조건을 묻습니다.
18번 중상 (구간에 따라 다르게 정의된 함수의 정적분) — 함수를 구간별로 나누는 것부터가 문제입니다.
19번 중상 (함수의 증가와 감소, 서술형) — 감소 구간의 최대 길이를 묻습니다.
21번 중상 (방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 서술형) — 10번과 같은 유형이 서술형으로 한 번 더 나왔습니다.
22번 중상 (곡선과 직선 사이의 넓이, 서술형) — 접선이 만드는 넓이와 함께 세 가지 값을 구하는 문항입니다.
17~22번 여섯 문항 중 다섯 문항이 중상 이상입니다. 3~16번 중 난이도 구간에서 시간을 아껴 두어야 뒤에서 버틸 수 있습니다.
성수고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ 대비 학습 순서
- 도함수로 함수 복원, 같은 구간 정적분 계산 — 1·2번. 하 두 문항은 반드시 확보.
- 우함수·기함수의 정적분 — 3번 대비.
- 절댓값 정적분과 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소 — 4·18번 대비.
- 속도·가속도와 운동 방향 — 5·6번 대비.
- 위치의 변화량과 움직인 거리 구분 — 14·20번 대비.
- 도함수 그래프 해석 — 7번 대비.
- 모든 실수에서 부등식이 성립할 조건 — 8번 대비. 차함수의 최솟값으로 바꾸기.
- 부피의 변화율 — 11번 대비.
- 정적분을 포함한 등식과 정적분으로 정의된 함수의 극한 — 12·13번 대비.
- ★ 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 10·15·21번 대비. 이 시험의 시그니처.
- 두 그래프의 교점의 개수 — 17번 대비.
- 함수의 증가와 감소 조건 — 19번 대비.
- 곡선과 직선 사이의 넓이, 넓이가 같을 조건 — 9·16·22번 대비.
자주 나오는 질문
성수고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 22문항입니다. 정답 기록 기준 1~18번은 선택형, 19~22번 네 문항은 서술형입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 06 도함수의 활용 (3)이 8문항으로 가장 많습니다. 이어서 08 정적분 6문항, 09 정적분의 활용 5문항입니다.
함수의 극한이나 미분계수 단원도 나오나요?
2025학년 이 시험에서는 01~04 단원에 배치된 문항이 없습니다. 05 도함수의 활용 (2)부터 09 정적분의 활용까지에서 출제됐습니다.
킬러 문항은 몇 번인가요?
상 난이도는 17번(두 그래프의 교점의 개수) 한 문항입니다. 중상은 10·18·19·21·22번 다섯 문항입니다.
쉬운 문항은 많은가요?
하 난이도는 1·2번 두 문항뿐입니다. 대신 중 난이도가 14문항으로, 어렵지 않지만 실수가 바로 감점으로 이어지는 구간이 깁니다.
과년도 성수고 기출도 볼 수 있나요?
내신판은 확보된 원문만 제공합니다. 찾는 시험지가 없으면 내신판에서 요청할 수 있습니다.
성수고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ 기출 받아보기
2025학년 서울 성동구 성수고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 원문은 내신판에서 바로 확인할 수 있습니다. 원문과 함께 같은 유형·다른 숫자의 변형 문제도 제공됩니다.
📚 성수고 전체 기출이 궁금하다면?
가입만 해도 무료 20 크레딧 지급, 바로 다운로드 가능합니다.
(서울 성동구 지역 학원 강사·학원장이시라면 인근 고등학교 기출을 한 번에 확보해 수업 준비 시간을 줄일 수 있습니다.)