성신여고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)

성신여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 23문항입니다. 이 시험은 상 난이도가 한 문항도 없고, 하 난이도가 8문항입니다. 단원으로는 08 정적분이 7문항으로 가장 무겁습니다.

핵심 요약

• 23문항 — 정답 기록 기준 1~20번 선택형, 21~23번 서술형 3문항
• 난이도: 하 8 / 중 11 / 중상 4 / 상 0
• 배치 단원: 08 정적분 7 / 06 도함수의 활용 (3) 4 / 09 정적분의 활용 4 / 05 도함수의 활용 (2) 3 / 07 부정적분 2 / 04 도함수의 활용 (1) 2 / 03 미분계수와 도함수 1
• 최다 반복 유형: 정적분의 계산 3회(4·18·22번)
• 가장 까다로운 구간: 중상 4문항(14·16·19·20번)이 모두 14번 이후

성신여고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

성신여자고등학교는 서울 성북구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 23문항입니다. 정답 기록을 보면 1~20번은 ①~⑤ 중 하나를 고르는 선택형이고, 21~23번 세 문항이 서술형입니다.

배치 단원은 03 미분계수와 도함수부터 09 정적분의 활용까지 일곱 단원에 걸쳐 있습니다. 미분 쪽(03~06)이 10문항, 적분 쪽(07~09)이 13문항으로 적분이 조금 더 많습니다.

03 미분계수와 도함수는 16번 한 문항(미분가능성과 연속성)입니다. 2학기 기말이지만 1학기 범위의 미분가능성 문항이 중상으로 한 개 섞여 있다는 점을 기억해 두세요. 01 함수의 극한, 02 함수의 연속에 배치된 문항은 없습니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 0문항, 하 8문항

상 난이도가 없습니다. 최고 난도는 중상 4문항입니다. 대신 하 8문항과 중 11문항을 합치면 19문항(83%) 이라, 기본기가 탄탄한 학생일수록 점수 차를 벌리기 어려운 구조입니다. 한 문항 실수가 그대로 등급에 반영되는 시험입니다.

하 8문항 중 1~4번과 6·7번이 앞쪽에 몰려 있습니다. 서술형 21번(평균값 정리)도 하 난이도입니다. 서술형이라도 쉬운 문항이 있으니 21번은 끝까지 남겨 두지 말고 시간을 배분해 풀어 두는 편이 낫습니다.

중상 4문항은 14·16·19·20번입니다. 14번 이후 선택형에 고르게 흩어져 있습니다.

출제 단원 — 08 정적분 7문항

08 정적분 7문항(30%) 이 가장 많고, 서술형 22·23번 두 문항도 이 단원입니다. 정적분 계산, 정적분을 포함한 등식, 정적분으로 정의된 함수까지 08 단원의 대표 유형이 고르게 나왔습니다.

06 도함수의 활용 (3)과 09 정적분의 활용이 각 4문항입니다. 04 도함수의 활용 (1)은 롤의 정리(12번)와 평균값 정리(21번) 두 문항이고, 둘 다 하 난이도입니다.

시그니처 유형 — "정적분의 계산" 3회, "정적분을 포함한 등식" 2회

정적분의 계산이 4·18·22번 세 번 나왔습니다. 세 문항의 결이 다릅니다.

• 4번 하 — 피적분함수가 같은 경우, 같은 함수의 정적분에서 구간 방향을 다룸
• 18번 중 — 구간에 따라 다르게 정의된 함수, 매개변수가 들어간 최댓값 함수의 정적분
• 22번 중(서술형) — 절댓값 기호를 포함한 함수의 정적분

정적분을 포함한 등식도 8·23번 두 번입니다. 8번은 아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우로 두 번 미분하는 흐름이고, 23번(서술형)은 아래끝과 위끝이 상수인 정적분 두 개를 연립하는 형태입니다.

23번처럼 위끝·아래끝이 상수인 정적분은 하나의 상수로 놓고 시작하는 것이 기본입니다. 상수 두 개를 문자로 두고 식 두 개를 세우면 연립방정식이 됩니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 부정적분 (1·5번) — 2문항

1번 하 도함수가 주어질 때 함수 구하기, 5번 중 부정적분과 극대·극소.

1번은 도함수를 적분하고 초기값으로 적분상수를 정합니다. 5번은 부정적분으로 구한 함수가 극소가 되는 조건을 씁니다. 적분상수 C를 끝까지 들고 가는 습관이 두 문항 모두에 필요합니다.

2. 극대·극소와 증가 조건 (2·6·13번) — 3문항

2번 하 함수의 극대·극소(극댓값과 극솟값의 합), 6번 하 실수 전체에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건, 13번 중 최대·최소의 활용(부피).

6번은 삼차함수의 역함수가 존재하도록 하는 정수 범위를 묻습니다. 역함수가 존재하려면 실수 전체에서 증가(또는 감소) 해야 하고, 이는 도함수의 판별식 조건으로 바뀝니다.

13번은 구에 내접하는 원기둥의 부피가 최대일 때의 높이를 묻습니다. 부피를 한 변수의 함수로 나타내는 것이 첫 단계입니다.

3. 속도·가속도와 운동 (3·10번) — 2문항

3번 하 가속도(순간속도와 가속도), 10번 중 그래프에서의 위치와 움직인 거리.

10번은 속도 그래프에서 위치와 거리를 읽는 문항입니다. 그래프와 t축 사이 넓이의 부호가 위치 변화량, 넓이 그대로가 움직인 거리입니다.

4. 부등식과 방정식 (9·15·20번) — 3문항

9번 중 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건(사차 부등식), 15번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 부호(삼차방정식), 20번 중상 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건(함수와 도함수의 연립부등식 해집합).

9·15번은 그래프 개형 하나로 정리되는 문항입니다. 20번은 함수와 도함수에 대한 부등식을 동시에 만족하는 범위를 구하는 문항이라, 조건 두 개를 따로 풀고 겹치는 부분을 찾아야 합니다.

5. 롤의 정리와 평균값 정리 (12·21번) — 2문항, 둘 다 하

12번 하 롤의 정리(양 끝 값이 같은 조건), 21번 하(서술형) 평균값 정리(정의를 이용하는 경우, 구간 내부의 점).

두 문항 모두 정리의 조건과 결론을 그대로 적용하는 문항입니다. 21번은 서술형이므로 "닫힌구간에서 연속, 열린구간에서 미분가능" 이라는 조건 확인을 답안에 적는 습관을 들이세요.

6. 정적분으로 정의된 함수 (11·17번) — 2문항

11번 중 정적분으로 정의된 함수의 극한(적분함수의 극한과 중근), 17번 중 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소(절댓값 적분함수의 유일한 극대).

17번은 적분으로 정의된 함수를 미분하면 피적분함수가 된다는 것에서 출발합니다. 극대·극소는 그 피적분함수의 부호 변화로 판단합니다.

7. 넓이 (7·14·19번) — 3문항

7번 하 포물선과 직선 사이의 넓이(1/6 공식), 14번 중상 함수와 역함수의 그래프의 y=x 대칭을 이용한 넓이, 19번 중상 곡선과 x축 사이의 넓이.

7번은 공식 한 줄이면 끝나는 확보 문항입니다. 14번은 역함수의 그래프가 y=x에 대해 대칭이라는 점을 써서 넓이를 바꿔 계산하는 유형이고, 19번은 구간별로 곡선의 넓이를 나눠 구합니다.

주의 문항 — 중상 4문항

14번 중상 (역함수 대칭 넓이) — 대칭을 이용해 넓이를 옮기는 발상이 필요합니다.

16번 중상 (미분가능성과 연속성) — 03 단원 문항입니다. 2학기 범위만 준비했다면 놓치기 쉽습니다.

19번 중상 (곡선과 x축 사이의 넓이) — 구간별로 넓이를 따로 구해야 합니다.

20번 중상 (구간에서 부등식이 항상 성립할 조건) — 선택형 마지막 문항입니다. 함수와 도함수 조건을 동시에 다룹니다.

중상 네 문항이 모두 14~20번 사이에 있습니다. 앞쪽 하 문항에서 시간을 아끼고, 서술형 21번(하)은 미리 확보해 두는 순서가 유리합니다.

성신여고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ 대비 학습 순서

1. 부정적분과 적분상수 — 1·5번 대비.
2. 극대·극소, 삼차함수가 증가할 조건 — 2·6번 대비. 판별식 조건 정리.
3. 최대·최소의 활용(부피) — 13번 대비.
4. 속도·가속도, 속도 그래프의 위치와 거리 — 3·10번 대비.
5. 롤의 정리·평균값 정리 — 12·21번 대비. 서술형 조건 확인까지.
6. ★ 정적분의 계산(구간·절댓값·구간별 함수) — 4·18·22번 대비.
7. ★ 정적분을 포함한 등식 — 8·23번 대비. 상수형과 변수형 구분.
8. 정적분으로 정의된 함수의 극한·극대·극소 — 11·17번 대비.
9. 부등식과 실근의 부호 — 9·15·20번 대비.
10. 포물선과 직선 사이의 넓이 공식 — 7번 대비.
11. 역함수 대칭 넓이, 곡선과 x축 사이 넓이 — 14·19번 대비.
12. 미분가능성과 연속성 복습 — 16번 대비. 1학기 범위 다시 보기.

자주 나오는 질문

성신여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 23문항입니다. 정답 기록 기준 1~20번은 선택형, 21~23번 세 문항은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 08 정적분이 7문항으로 가장 많습니다. 06 도함수의 활용 (3)과 09 정적분의 활용이 각 4문항으로 뒤를 잇습니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 한 문항도 없습니다. 최고 난도는 중상 4문항(14·16·19·20번)입니다.

1학기 범위도 나오나요?

03 미분계수와 도함수 단원의 16번(미분가능성과 연속성) 한 문항이 배치되어 있습니다. 01·02 단원 문항은 없습니다.

서술형은 어렵나요?

서술형 세 문항 중 21번은 하, 22·23번은 중입니다. 서술형에 중상 이상은 없습니다.

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