영동일고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)
영동일고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 25문항입니다. 문항 수가 많고, 서술형이 6문항입니다. 상 난이도 두 문항(19·24번)은 둘 다 06 도함수의 활용 (3)에서 나왔습니다.
핵심 요약
- 25문항 — 정답 기록 기준 1~19번 선택형, 20~25번 서술형 6문항
- 난이도: 하 6 / 중 12 / 중상 5 / 상 2
- 배치 단원: 05 도함수의 활용 (2) 7 / 06 도함수의 활용 (3) 6 / 07 부정적분 4 / 08 정적분 4 / 09 정적분의 활용 4
- 반복 유형: 실근의 개수(7·19번), 모든 실수에서 부등식(8·24번), 극대·극소로 미정계수 결정(12·16번), 도함수로 함수 구하기(2·25번) 각 2회
- 가장 까다로운 문항: 19번(선택형 마지막)과 24번(서술형), 둘 다 상
영동일고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
영동일고등학교는 서울 송파구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 25문항입니다. 정답 기록을 보면 1~19번은 ①~⑤ 중 하나를 고르는 선택형이고, 20~25번 여섯 문항이 서술형입니다.
배치 단원은 05 도함수의 활용 (2)부터 09 정적분의 활용까지 다섯 단원입니다. 미분 쪽(05·06) 13문항, 적분 쪽(07~09) 12문항으로 거의 반반입니다. 01~04 단원에 배치된 문항은 없습니다.
눈에 띄는 점은 다섯 단원이 4~7문항씩 고르게 나뉘어 있다는 것입니다. 05 단원이 7문항으로 조금 많을 뿐, 어느 단원도 빠지지 않습니다.
2025학년 난이도 분포 — 상 2문항, 서술형에 중상 이상 3문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 6 | 24% | 1·2·4·5·6·20 |
| 중 | 12 | 48% | 3·7·8·9·11·12·13·14·15·16·21·22 |
| 중상 | 5 | 20% | 10·17·18·23·25 |
| 상 | 2 | 8% | 19·24 |
하 6문항 중 다섯 개가 1·2·4·5·6번으로 시험 첫머리에 몰려 있습니다. 서술형 첫 문항인 20번도 하입니다.
선택형에서는 10번이 첫 중상이고, 17·18번 중상에 이어 19번이 상입니다. 선택형 마지막 세 문항이 연달아 중상 이상입니다.
서술형 여섯 문항은 하 1(20번), 중 2(21·22번), 중상 2(23·25번), 상 1(24번) 입니다. 서술형 안에서도 난이도 폭이 넓으니 20~22번을 먼저 확보하고 23~25번으로 넘어가는 순서가 현실적입니다.
출제 단원 — 05 도함수의 활용 (2) 7문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 05 도함수의 활용 (2) | 7 | 1·5·10·11·12·16·23 |
| 06 도함수의 활용 (3) | 6 | 6·7·8·19·22·24 |
| 07 부정적분 | 4 | 2·9·14·25 |
| 08 정적분 | 4 | 4·17·18·20 |
| 09 정적분의 활용 | 4 | 3·13·15·21 |
05 도함수의 활용 (2) 는 극대·극소, 최대·최소, 증가 조건이 모인 단원입니다. 7문항 중 1·5번은 하, 10·23번은 중상입니다.
06 도함수의 활용 (3) 은 6문항으로, 상 두 문항(19·24번)이 모두 이 단원입니다. 방정식의 실근과 부등식이 핵심입니다.
07 부정적분이 4문항이라는 점도 특징입니다. 서술형 마지막 25번(중상)도 부정적분 단원입니다.
시그니처 유형 — 같은 유형을 두 번씩 묻는다
이 시험은 유형 네 개가 각각 두 번씩 나왔습니다. 그리고 그중 세 쌍은 쉬운 버전과 어려운 버전으로 짝을 이룹니다.
| 유형 | 앞 문항 | 뒤 문항 |
|---|---|---|
| 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 | 7번 중 | 19번 상 |
| 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건 | 8번 중 | 24번 상(서술형) |
| 도함수가 주어질 때 함수 구하기 | 2번 하 | 25번 중상(서술형) |
| 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 | 12번 중 | 16번 중 |
7번은 삼차방정식이 실근 세 개를 갖는 조건이고, 19번은 수평선과의 실근 조건에서 사차함수의 최솟값 범위를 묻습니다. 8번은 사차함수에 대한 전 구간 부등식이고, 24번은 접선을 이용한 전 구간 부등식에서 사차함수의 최솟값을 다룹니다.
즉 7·8번에서 쓴 도구가 19·24번에서 다시 쓰입니다. 앞 문항을 풀 때 "왜 이렇게 푸는지"를 이해해 두면 상 문항에 들어갈 길이 생깁니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 극대·극소와 최대·최소 (1·5·12·16·23번) — 5문항
1번 하 함수의 극대·극소(삼차함수의 극솟값), 5번 하 함수의 최대·최소(구간 최댓값과 최솟값의 합), 12번 중 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정(미분계수와 극댓값으로 복원), 16번 중 같은 유형(사차함수의 최솟값과 계수), 23번 중상(서술형) 최대·최소의 활용(정삼각형 접기와 최대 부피).
극값을 갖는 x에서 도함수의 값이 0이라는 조건이 다섯 문항 모두의 출발점입니다. 12·16번은 이 조건으로 식을 세워 계수를 구합니다. 23번은 부피를 한 변수의 함수로 세우는 것이 먼저입니다.
2. 도함수의 그래프와 증가 조건 (10·11번) — 2문항
10번 중상 도함수의 그래프의 해석(응용, 두 도함수 그림의 차함수), 11번 중 실수 전체에서 삼차함수가 증가 또는 감소하기 위한 조건(삼차함수의 역함수 존재).
11번은 역함수가 존재하려면 일대일대응, 즉 실수 전체에서 증가(또는 감소) 해야 한다는 것을 도함수의 판별식 조건으로 바꾸는 문항입니다.
3. 방정식과 부등식 (7·8·19·24번) — 4문항
7번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 8번 중 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건, 19번 상 실근의 개수, 24번 상(서술형) 부등식이 항상 성립할 조건.
네 문항 모두 그래프를 그려 극값과 비교하는 문제입니다. 실근 개수는 y=k와의 교점 개수로, 부등식은 두 함수의 차의 최솟값으로 바꿔 읽습니다.
4. 속도·가속도와 운동 (3·6·13·22번) — 4문항
3번 중 그래프에서의 위치와 움직인 거리(속도 그래프의 위치), 6번 하 가속도(위치의 이계도함수), 13번 중 움직인 거리(최초 복귀와 총거리), 22번 중(서술형) 속도(두 점의 속도가 같을 때 두 위치 사이 거리).
6번은 위치를 두 번 미분하면 끝나는 확보 문항입니다. 13번은 위치의 변화량이 0인 시각과 움직인 거리를 따로 구해야 합니다. 속도의 부호가 바뀌는 시각에서 구간을 나누는 것을 잊지 마세요.
5. 부정적분 (2·9·14·25번) — 4문항
2번 하 도함수가 주어질 때 함수 구하기, 9번 중 부정적분과 극대·극소(접선의 기울기와 극솟값), 14번 중 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기, 25번 중상(서술형) 도함수가 주어질 때 함수 구하기(대소가 정해진 두 도함수의 근에 따른 분기).
14번처럼 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어지면 양변을 미분해 도함수에 대한 식으로 바꾸는 것이 첫 단계입니다. 25번은 2번과 같은 유형이지만 경우를 나눠야 하는 서술형입니다.
6. 정적분 (4·17·18·20번) — 4문항
4번 하 우함수·기함수의 정적분(피적분함수가 주어진 경우), 17번 중상 정적분을 포함한 등식(아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우), 18번 중상 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소(절댓값 그림의 부호 구성), 20번 하(서술형) 정적분의 계산(적분 구간이 같은 경우).
4번과 20번은 확보 문항이고, 17·18번 중상 두 문항이 선택형 끝부분에 있습니다. 17번은 양변을 미분해 원래 함수의 그림을 구하는 흐름입니다.
7. 넓이와 역함수 (15·21번) — 2문항
15번 중 함수와 그 역함수의 정적분(역함수 적분의 합), 21번 중(서술형) 곡선과 x축 사이의 넓이(그래프 꼴).
15번은 함수와 역함수의 그래프가 y=x에 대해 대칭이라는 성질을 넓이로 옮기는 유형입니다.
주의 문항 — 중상 5문항과 상 2문항
10번 중상 (도함수의 그래프 해석) — 선택형 첫 중상. 두 도함수 그림에서 차함수를 읽어야 합니다.
17번 중상 (정적분을 포함한 등식) — 미분해서 원래 함수 그림을 구하는 문항입니다.
18번 중상 (정적분으로 정의된 함수의 최대·최소) — 절댓값 그림의 부호를 따져야 합니다.
19번 상 (방정식 f(x)=k의 실근의 개수) — 선택형 최고 난도. 7번과 같은 유형의 심화입니다.
23번 중상 (최대·최소의 활용; 부피, 서술형) — 부피를 식으로 세우는 과정이 답안에 드러나야 합니다.
24번 상 (모든 실수에서 부등식, 서술형) — 8번과 같은 유형의 심화입니다.
25번 중상 (도함수로 함수 구하기, 서술형) — 경우를 나누는 서술형입니다.
영동일고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ 대비 학습 순서
- 극댓값·극솟값, 구간 최대·최소 — 1·5번 대비. 확보 구간.
- 도함수로 함수 구하기, 정적분 기본 계산 — 2·4·20번 대비.
- 가속도와 위치 그래프 — 3·6번 대비.
- 삼차함수의 역함수 존재 조건 — 11번 대비. 판별식 정리.
- 극대·극소로 미정계수 결정 — 12·16번 대비.
- 위치의 변화량과 움직인 거리 — 13·22번 대비.
- 부정적분과 극대·극소, 함수와 부정적분 관계식 — 9·14번 대비.
- 역함수의 정적분, 곡선과 x축 사이 넓이 — 15·21번 대비.
- 도함수 그래프 해석 — 10번 대비.
- 정적분을 포함한 등식, 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소 — 17·18번 대비.
- ★ 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 7번에서 19번까지.
- ★ 모든 실수에서 부등식이 성립할 조건 — 8번에서 24번까지.
- 최대·최소의 활용(부피)과 경우 나누기 서술형 — 23·25번 대비.
자주 나오는 질문
영동일고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 25문항입니다. 정답 기록 기준 1~19번은 선택형, 20~25번 여섯 문항은 서술형입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 05 도함수의 활용 (2)가 7문항, 06 도함수의 활용 (3)이 6문항입니다. 07·08·09 단원은 각 4문항입니다.
킬러 문항은 몇 번인가요?
상 난이도는 19번(실근의 개수)과 24번(부등식이 항상 성립할 조건, 서술형) 두 문항입니다. 둘 다 06 도함수의 활용 (3) 단원입니다.
서술형은 몇 문항이고 난이도는 어떤가요?
20~25번 6문항입니다. 20번 하, 21·22번 중, 23·25번 중상, 24번 상입니다.
함수의 극한이나 미분계수 단원도 나오나요?
2025학년 이 시험에서는 01~04 단원에 배치된 문항이 없습니다.
과년도 영동일고 기출도 볼 수 있나요?
내신판은 확보된 원문만 제공합니다. 찾는 시험지가 없으면 내신판에서 요청할 수 있습니다.
영동일고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ 기출 받아보기
2025학년 영동일고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 원문은 내신판에서 바로 확인할 수 있습니다. 원문과 함께 같은 유형·다른 숫자의 변형 문제도 제공됩니다.
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