잠실고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025)
잠실고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 이 시험은 하 난이도가 한 문항도 없습니다. 중 5문항을 빼면 나머지 16문항이 중상 또는 상입니다. 상 난이도만 5문항입니다.
핵심 요약
- 21문항 — 정답 기록 기준 1~17번 선택형, 18~21번 서술형 4문항
- 난이도: 하 0 / 중 5 / 중상 11 / 상 5
- 배치 단원: 09 정적분의 활용 6 / 06 도함수의 활용 (3) 5 / 08 정적분 4 / 04 도함수의 활용 (1) 3 / 05 도함수의 활용 (2) 2 / 07 부정적분 1
- 반복 유형: 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(11·12번), 정적분을 포함한 등식(3·15번) 각 2회
- 가장 까다로운 구간: 13번부터 21번까지 아홉 문항 전부 중상 이상
※ 잠실고와 잠신고는 다른 학교입니다. 이 글은 서울 송파구 잠실고등학교 시험지 분석입니다.
잠실고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
잠실고등학교는 서울 송파구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 21문항입니다. 정답 기록을 보면 1~17번은 ①~⑤ 중 하나를 고르는 선택형이고, 18~21번 네 문항이 서술형입니다.
배치 단원은 04 도함수의 활용 (1)부터 09 정적분의 활용까지 여섯 단원입니다. 미분 쪽(04~06) 10문항, 적분 쪽(07~09) 11문항으로 거의 반반입니다. 01~03 단원에 배치된 문항은 없습니다.
04 도함수의 활용 (1)에서 3문항(1·5·9번) 이 나왔다는 점이 눈에 띕니다. 1번 곡선 밖의 점에서 그은 접선, 5번 평균값 정리, 9번 공통인 접선입니다. 접선과 평균값 정리를 1학기에 끝난 내용으로 두면 안 되는 시험입니다.
2025학년 난이도 분포 — 하 0, 중상 이상 16문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 0 | 0% | — |
| 중 | 5 | 24% | 1·2·3·4·6 |
| 중상 | 11 | 52% | 5·7·8·9·10·11·12·14·15·18·19 |
| 상 | 5 | 24% | 13·16·17·20·21 |
확보용 하 문항이 없습니다. 가장 쉬운 문항이 중 난이도이고, 그 다섯 문항도 1~4번과 6번에 모여 있습니다. 5번부터 이미 중상이 나옵니다.
13번부터 21번까지 아홉 문항은 전부 중상 또는 상입니다. 상 5문항은 13·16·17번(선택형)과 20·21번(서술형)입니다. 서술형 네 문항은 18·19번 중상, 20·21번 상입니다.
이런 시험에서는 1~6번 중 난이도 다섯 문항을 빠르고 정확하게 끝내는 것이 첫 과제입니다. 그 뒤 중상 문항 중에서 익숙한 유형부터 골라 푸는 순서 전략이 필요합니다.
출제 단원 — 09 정적분의 활용 6문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 09 정적분의 활용 | 6 | 4·6·7·8·17·21 |
| 06 도함수의 활용 (3) | 5 | 10·11·12·14·20 |
| 08 정적분 | 4 | 3·15·16·19 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 3 | 1·5·9 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 2 | 13·18 |
| 07 부정적분 | 1 | 2 |
09 정적분의 활용 6문항 중 4·6번은 중, 7·8번은 중상, 17·21번은 상입니다. 넓이 문항과 속도·거리 문항이 섞여 있습니다.
06 도함수의 활용 (3) 5문항은 10·11·12·14번이 중상, 20번이 상입니다. 실근의 개수와 부등식, 상대 위치가 나왔습니다.
05 도함수의 활용 (2)는 2문항뿐이지만 13번 상, 18번 중상으로 둘 다 무겁습니다.
시그니처 유형 — 이어 붙인 함수와 실근의 개수
상 5문항을 보면 공통점이 있습니다.
| 번호 | 배치 단원 | 유형 |
|---|---|---|
| 13 | 05 | 미분가능성과 연속성 / 도함수의 그래프의 해석(응용) |
| 16 | 08 | 정적분의 계산(절댓값 기호를 포함한 함수) |
| 17 | 09 | 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 / 곡선과 x축 사이의 넓이 |
| 20 | 06 | 미분계수를 이용한 극한값의 계산 / 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 |
| 21 | 09 | 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 / 두 곡선 사이의 넓이 |
17·21번은 둘 다 "구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성"에 넓이를 결합한 문항입니다. 이어 붙인 함수가 미분가능하려면 경계에서 함숫값이 같고(연속), 좌미분계수와 우미분계수도 같아야 합니다. 이 두 조건으로 계수를 먼저 정하고, 그 뒤에 넓이를 계산하는 흐름입니다.
방정식 f(x)=k의 실근의 개수도 11·12번(중상)에서 두 번 나온 뒤 20번(상)에서 한 번 더 쓰입니다. 실근 개수는 y=f(x)와 y=k의 교점 개수로 읽는 것이 기본입니다.
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 접선과 평균값 정리 (1·5·9번) — 3문항
1번 중 접선의 방정식(곡선 밖의 한 점이 주어진 경우), 5번 중상 평균값 정리(정의를 이용하는 경우, 평균값 정리·롤의 정리를 구간별로 적용하고 명제의 반례 확인), 9번 중상 공통인 접선(공통접선의 두 점 기울기로 삼차함수의 계수와 도함수).
1번은 접점을 (t, f(t))로 두고 접선이 주어진 점을 지난다는 식을 세우는 표준 유형입니다. 5번은 명제 판정형이라 반례를 떠올리는 연습이 필요합니다.
2. 부정적분과 정적분을 포함한 등식 (2·3·15번) — 3문항
2번 중 도함수가 주어질 때 함수 구하기(도함수 직선을 복원한 뒤 부정적분과 초기값), 3번 중 정적분을 포함한 등식(아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우), 15번 중상 정적분을 포함한 등식(아래끝과 위끝이 상수인 경우).
3번은 양변에 아래끝 값을 대입해 계수를 정하고, 위끝 변수로 미분하는 순서입니다. 15번은 상수형이라 정적분 값을 상수로 놓고 시작합니다.
3. 넓이 (4·6번) — 2문항, 둘 다 중
4번 중 곡선과 x축 사이의 넓이(그래프 꼴, 부호가 바뀌는 영점에서 구간 분할), 6번 중 두 곡선 사이의 넓이(수평선과 두 포물선 영역의 차).
4번은 x축 아래 부분은 부호를 바꿔 더해야 한다는 점이 실수 지점입니다. 이 두 문항은 반드시 확보해야 합니다.
4. 속도와 운동 (7·8·10번) — 3문항, 전부 중상
7번 중상 속도·가속도와 운동 방향 / 위치와 위치의 변화량(속도를 적분한 위치, 방향 전환·목표 좌표·복귀 시각), 8번 중상 정지하는 물체의 속도와 움직인 거리(가속도가 세 단계로 주어진 속도, 양의 속도 구간의 실제 거리), 10번 중상 함수의 최대·최소 / 속도(상대 위치의 절댓값 최대와 두 속도의 합).
세 문항 모두 중상입니다. 속도를 적분하면 위치, 위치를 미분하면 속도라는 관계를 양방향으로 빠르게 오갈 수 있어야 합니다. 8번처럼 가속도가 구간별로 주어지면 구간마다 속도를 따로 구해 이어 붙여야 합니다.
5. 실근의 개수와 부등식 (11·12·14번) — 3문항, 전부 중상
11번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(대칭인 함수의 홀수 개 실근, 중근 높이와 사차함수 계수), 12번 중상 같은 유형(사차함수의 모든 임계 높이, 정수 수평선별 실근 개수의 가중합), 14번 중상 부등식 f(x)>g(x)가 항상 성립할 조건(절댓값 부호 영역, 최솟값과 등호 없는 부등식의 정수 범위).
12번은 극댓값·극솟값을 모두 구하고, 그 사이 정수 k마다 실근 개수를 세는 유형입니다. 14번은 등호가 없는 부등식이라 경계값을 포함하는지 꼭 확인해야 합니다.
6. 정적분 심화 (16·19번) — 2문항
16번 상 정적분의 계산(절댓값 기호를 포함한 함수, 계수에 따른 경우와 명제 판정), 19번 중상(서술형) 주기함수의 정적분(평행이동, 기함수·주기를 이용한 정적분).
19번은 주기함수의 정적분은 한 주기 구간의 값이 반복된다는 성질, 기함수의 대칭 구간 정적분이 0이라는 성질을 함께 씁니다.
7. 극대·극소의 활용 (13·18번) — 2문항
13번 상 미분가능성과 연속성 / 도함수의 그래프의 해석(그림에서 증가·극소·미분가능한 점을 각각 모아 합), 18번 중상(서술형) 함수의 극대·극소의 활용(극대 위치에 따라 나뉘는 극댓값과 좌우극한).
13번은 그래프를 보고 증가하는 점, 극소인 점, 미분가능한 점을 각각 판정해야 하는 문항이라 하나라도 놓치면 틀립니다.
주의 문항 — 상 5문항
13번 상 (미분가능성과 도함수 그래프 해석) — 선택형 첫 상 문항입니다. 세 가지 판정을 동시에 해야 합니다.
16번 상 (절댓값 정적분, 명제 판정) — 계수에 따라 경우가 갈립니다.
17번 상 (이어 붙인 함수의 미분가능성과 넓이) — 연속·미분가능 조건으로 계수를 정한 뒤 넓이를 구합니다.
20번 상 (미분계수 극한과 실근의 개수, 서술형) — 극한 조건과 절댓값이 겹친 함수의 그래프를 함께 다룹니다.
21번 상 (이어 붙인 함수의 미분가능성과 두 곡선 사이 넓이, 서술형) — 17번과 같은 뼈대가 서술형으로 다시 나왔습니다.
상 5문항 중 3문항(13·17·21번)이 미분가능성 조건을 씁니다. 01~03 단원에 배치된 문항은 없지만, 미분가능성 개념은 뒷부분 문항 곳곳에 들어 있습니다.
잠실고 고2 2학기 기말 수학Ⅱ 대비 학습 순서
- 곡선 밖의 점에서 그은 접선 — 1번 대비.
- 도함수로 함수 구하기, 정적분을 포함한 등식 — 2·3·15번 대비.
- 곡선과 x축 사이 넓이, 두 곡선 사이 넓이 — 4·6번 대비. 중 문항 확보.
- 평균값 정리·롤의 정리 명제 판정 — 5번 대비.
- 공통인 접선 — 9번 대비.
- 속도·위치·움직인 거리(구간별 가속도 포함) — 7·8·10번 대비.
- ★ 실근의 개수(극값과 수평선) — 11·12·20번 대비.
- 부등식이 항상 성립할 조건(등호 없는 경우) — 14번 대비.
- 절댓값 정적분, 주기함수의 정적분 — 16·19번 대비.
- 극대·극소의 활용, 도함수 그래프 해석 — 13·18번 대비.
- ★ 이어 붙인 함수의 미분가능성 + 넓이 — 17·21번 대비. 상 두 문항의 공통 뼈대.
자주 나오는 질문
잠실고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 21문항입니다. 정답 기록 기준 1~17번은 선택형, 18~21번 네 문항은 서술형입니다.
어려운 시험인가요?
하 난이도가 0문항이고, 중상 11문항·상 5문항입니다. 전체의 76%가 중상 이상입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 09 정적분의 활용이 6문항, 06 도함수의 활용 (3)이 5문항, 08 정적분이 4문항입니다.
킬러 문항은 몇 번인가요?
상 난이도는 13·16·17·20·21번 다섯 문항입니다. 서술형 20·21번이 포함됩니다.
1학기 범위도 나오나요?
04 도함수의 활용 (1)이 3문항(1·5·9번) 배치되어 있습니다. 01~03 단원 문항은 없습니다.
과년도 잠실고 기출도 볼 수 있나요?
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