창덕여고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

창덕여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 문항 수로는 적분 15문항, 미분 7문항으로 적분 쪽이 두 배 이상 무겁습니다. 이 시험의 가장 큰 특징은 하 난이도가 한 문항도 없다는 점, 그리고 정적분과 정적분의 활용이 각각 6문항으로 시험의 절반 이상을 차지한다는 점입니다.

핵심 요약

• 22문항 — 정답 기록 기준 1~17번 선택형, 18~22번 서술형 5문항
• 난이도: 하 0 / 중 11 / 중상 9 / 상 2
• 배치 단원: 정적분 6 / 정적분의 활용 6 / 도함수의 활용 (2) 3 / 도함수의 활용 (3) 3 / 부정적분 3 / 도함수의 활용 (1) 1
• 최다 반복 유형: 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 3회(5·17·18번)
• 상 난이도: 15·17번, 둘 다 정적분의 활용(넓이)

창덕여고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

창덕여자고등학교는 서울 송파구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 22문항이고, 정답 기록상 1~17번이 선택형, 18~22번 다섯 문항이 답을 직접 쓰는 형태입니다.

배치 단원을 세어 보면 도함수의 활용 (1)~(3)이 7문항, 부정적분·정적분·정적분의 활용이 15문항입니다. 2학기 기말 범위에서 적분 파트가 중심이라는 것이 숫자로 드러납니다. 도함수의 활용 (1)은 20번 평균값 정리 한 문항뿐입니다.

또 하나 눈여겨볼 점은 미분 문항이 적분 문항 사이사이에 섞여 있다는 것입니다. 1~4번은 부정적분·정적분인데 5번은 극대·극소, 7번은 운동, 9·11번은 부등식입니다. 단원 순서대로 배치되지 않았으니 문항마다 어떤 도구를 쓸지 먼저 판단하고 들어가야 합니다.

2025학년 난이도 분포 — 하 0문항, 중상 9문항

하 난이도가 없다는 것이 이 시험의 성격을 정합니다. 1번부터 중 난이도로 시작하고, 5번에서 벌써 첫 중상이 나옵니다. 중상 이상이 11문항으로 전체의 절반입니다.

중상은 앞뒤로 고르게 퍼져 있습니다. 5·6·7번이 연달아 중상이고, 10·13·14번, 서술형 18·19·22번도 중상입니다. 앞쪽에서 막히면 뒤에서 만회할 시간이 부족한 구조입니다.

출제 단원 — 적분 15, 미분 7

정적분과 정적분의 활용이 12문항입니다. 상 난이도 두 문항도 모두 정적분의 활용에 있습니다. 반면 도함수의 활용 (1)은 1문항이니, 공부 시간 배분은 적분 쪽에 확실히 무게를 두는 편이 맞습니다.

시그니처 유형 — "극대·극소를 이용한 미정계수의 결정" 3회

함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정이 5·17·18번 세 문항에 쓰였습니다. 5번은 극대 조건으로 계수를 연립한 뒤 다른 극솟값을 구하고, 18번은 극대·극소 좌표에서 출발해 삼각형 넓이와 계수로 이어집니다. 17번은 이 유형이 곡선과 x축 사이의 넓이와 묶인 상 난이도 문항입니다.

여기에 다음 유형들이 두 번씩 겹칩니다.

• 도함수가 주어질 때 함수 구하기 — 1·13번
• 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우 — 2·21번
• 함수가 연속일 조건 (응용) — 6·15번
• 속도·가속도와 운동 방향 — 7·16번
• 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건; 최대·최소의 활용 — 9·11번
• 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 10·13번
• 곡선과 x축 사이의 넓이; f(x)≥0 또는 f(x)≤0인 경우 — 15·17번

눈에 띄는 것은 함수가 연속일 조건이 6·15번에서 적분 문항 안에 들어 있다는 점입니다. 두 문항 모두 조각으로 정의된 함수를 이어 붙이는 연속 조건이 출발점이고, 그 뒤에 정적분이나 넓이 계산이 이어집니다. 앞 단원인 함수의 연속 개념을 적분 문항에서 다시 쓰는 구조입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 정적분 (2·4·6·10·21·22번) — 6문항

2번 중 정적분을 포함한 등식(끝에 변수), 4번 중 우함수·기함수의 정적분, 6번 중상 함수가 연속일 조건 · 주기함수의 정적분, 10번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 · 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소, 21번 중(서술형) 정적분을 포함한 등식(끝에 변수), 22번 중상(서술형) 정적분을 포함한 등식(끝이 상수).

2번은 아래끝을 대입해 상수를 구하고 변수인 위끝으로 미분하는 기본 절차입니다. 21번도 같은 유형이니 이 절차가 손에 익으면 두 문항이 함께 풀립니다.

6번은 조각함수의 연속 조건 → 주기 → 구간을 나눈 정적분 순서로 이어집니다. 주기를 이용해 적분 구간을 쪼개는 것이 핵심입니다.

10번은 삼차 도함수의 근이 단순근인지 이중근인지에 따라 부호가 바뀌는지를 따져, 정적분으로 정의된 함수의 극값 개수를 세는 문항입니다.

22번은 끝이 상수인 정적분을 상수로 두고 도함수 적분과 초기조건으로 함수를 확정하는 서술형입니다.

2. 정적분의 활용 (8·12·15·16·17·19번) — 6문항

8번 중 함수와 그 역함수의 정적분, 12번 중 정지하는 물체의 속도와 움직인 거리, 15번 상 함수가 연속일 조건 · 곡선과 x축 사이의 넓이, 16번 중 속도·가속도와 운동 방향 · 위치의 변화량, 17번 상 극대·극소를 이용한 미정계수 · 곡선과 x축 사이의 넓이, 19번 중상(서술형) 포물선과 직선 사이의 넓이(1/6 공식).

8번 역함수 정적분은 두 적분의 합을 두 직사각형 넓이의 차로 보는 것이 열쇠입니다.

12번은 속도 단위를 환산하고 등감속 운동의 정지 거리를 적분으로 구합니다. 단위 환산을 빠뜨리지 않는지가 실수 지점입니다.

19번은 포물선과 직선 사이의 넓이로 폭을 구한 뒤 중점 좌표를 소거하는 서술형입니다. 1/6 공식을 바로 쓸 수 있어야 시간이 남습니다.

3. 도함수의 활용 (2) (5·14·18번) — 3문항, 전부 중상

5번 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 14번 함수의 최대·최소, 18번(서술형) 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정.

세 문항 모두 중상입니다. 14번은 움직이는 구간에서 최댓값이 끝점에서 나오는지 내부 극대에서 나오는지 세 경우를 나눠 따지는 문항입니다. 경우를 빠뜨리면 틀립니다.

4. 도함수의 활용 (3) (7·9·11번) — 3문항

7번 중상 속도·가속도와 운동 방향, 9번 중 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건, 11번 중 같은 유형.

9·11번은 같은 유형이 두 번 나왔습니다. 9번은 닫힌구간에서 절댓값의 최댓값으로 정수 범위를 정하고, 11번은 끝점과 도함수가 0인 점의 값을 모두 비교해 상수의 최솟값을 구합니다.

7번은 내분점 좌표로 위치를 세운 뒤 속도가 0이 되는 시각으로 운동 방향이 바뀌는 횟수를 셉니다.

5. 부정적분 (1·3·13번) — 3문항

1번 중 도함수가 주어질 때 함수 구하기, 3번 중 부정적분과 미분계수, 13번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 · 도함수가 주어질 때 함수 구하기.

1번은 도함수를 적분하고 두 초기값으로 계수와 상수를 정하는 문항입니다. 13번은 같은 출발에서 도함수의 세 영점으로 함수를 복원한 뒤 실근 개수까지 묻는 확장판입니다.

6. 도함수의 활용 (1) (20번) — 서술형 1문항

20번 중(서술형) 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우.

평균값 정리의 가정(연속·미분가능)을 확인하고 평균 기울기와 같은 c를 찾는 서술형입니다. 난이도는 중이지만 서술형이니 가정을 확인하는 과정까지 답안에 담는 연습이 필요합니다.

주의 문항 — 상 2문항

15번 상 (연속 조건 · 곡선과 x축 사이의 넓이) — 접합 지점의 연속 조건 두 개로 계수를 정하고, 전 구간에서 부호를 확인한 뒤 실제 넓이로 계수를 확정하고 극솟값까지 구하는 4단계 문항입니다.

17번 상 (극대·극소 미정계수 · 곡선과 x축 사이의 넓이) — 적분으로 정의된 함수의 영점 조건에서 출발해 원점에서의 극대(이중근)를 이용해 삼차함수를 정하고, 실제 넓이를 구하는 4단계 문항입니다.

두 문항 모두 정적분의 활용 단원이고, 넓이 계산 앞에 함수를 확정하는 단계가 길게 붙어 있습니다. 넓이 공식만 외워서는 들어가기 어렵습니다.

창덕여고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 부정적분과 초기값 — 1·3번의 토대.
2. 정적분을 포함한 등식(끝에 변수) — 2·21번 대비. 대입 후 미분.
3. 정적분을 포함한 등식(끝이 상수) — 22번 대비. 상수로 두기.
4. 우함수·기함수의 정적분 — 4번 대비.
5. 주기함수의 정적분과 조각함수의 연속 — 6번 대비.
6. ★ 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 — 5·17·18번 대비. 이 시험의 시그니처.
7. 움직이는 구간의 최대·최소 — 14번 대비. 경우 나누기.
8. 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건 — 9·11번 대비.
9. 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 10·13번 대비.
10. 속도·가속도와 운동 방향, 위치의 변화량 — 7·16번 대비.
11. 정지 거리와 움직인 거리 — 12번 대비. 단위 환산 주의.
12. 역함수의 정적분 — 8번 대비.
13. 포물선과 직선 사이의 넓이(1/6 공식) — 19번 대비.
14. ★ 곡선과 x축 사이의 넓이 — 15·17번 대비. 상 두 문항.
15. 평균값 정리 서술 — 20번 대비. 가정 확인 문장까지.

자주 나오는 질문

창덕여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 22문항입니다. 정답 기록상 1~17번은 선택형, 18~22번 다섯 문항은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분과 정적분의 활용이 각 6문항으로 가장 많습니다. 적분 세 단원을 합치면 15문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 15·17번 두 문항이고 둘 다 넓이 문항입니다. 중상도 9문항이라 전체적으로 쉬운 시험은 아닙니다.

쉬운 문항으로 점수를 지킬 수 있나요?

하 난이도가 한 문항도 없습니다. 중 난이도 11문항을 실수 없이 맞히는 것이 기본 점수를 지키는 방법입니다.

서술형은 어떤 유형이 나왔나요?

18번 극대·극소 미정계수, 19번 포물선과 직선 사이의 넓이, 20번 평균값 정리, 21·22번 정적분을 포함한 등식입니다. 다섯 문항 중 세 문항이 적분입니다.

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