관악고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

관악고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 25문항입니다. 문항 수로는 적분 14문항, 미분 11문항입니다. 이 시험의 특징은 하 난이도 다섯 문항이 1~6번에 몰려 있고, 그 뒤로 중상 9문항과 상 2문항이 이어진다는 점, 그리고 절댓값이 든 함수의 정적분이 세 번 나왔다는 점입니다.

핵심 요약

• 25문항 — 정답 기록 기준 1~22번 선택형, 23~25번 서술형 3문항
• 난이도: 하 5 / 중 9 / 중상 9 / 상 2
• 배치 단원: 도함수의 활용 (3) 6 / 정적분의 활용 6 / 도함수의 활용 (2) 5 / 정적분 5 / 부정적분 3
• 최다 반복 유형: 정적분의 계산; 절댓값 기호를 포함한 함수 3회(5·19·25번)
• 상 난이도: 20·21번 연속, 서술형 3문항은 모두 중상

관악고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

관악고등학교는 서울 영등포구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 25문항이고, 정답 기록상 1~22번이 선택형, 23~25번 세 문항이 답을 직접 쓰는 형태입니다.

배치 단원은 도함수의 활용 (2)부터 정적분의 활용까지 다섯 단원입니다. 함수의 극한·연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 활용 (1) 단원으로 배치된 문항은 0개입니다. 다만 서술형 24번에는 두 접합점에서 함수가 연속일 조건을 쓰는 유형이 넓이 계산과 함께 들어 있습니다.

시험지는 앞쪽이 쉽고 뒤쪽이 급격히 어려워지는 구조입니다. 1·2·4·5·6번이 하 난이도이고, 12번부터 중상이 본격적으로 나오기 시작합니다. 20·21번은 연속 상입니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 9, 상 2

하 난이도 다섯 문항이 전부 1~6번에 있습니다. 극솟값 계산, 지정 시각의 속도, 도함수에서 함숫값 복원, 절댓값 정적분, 도함수 직선의 적분입니다. 여기서 시간을 아껴야 뒤쪽 중상·상 구간을 버틸 수 있습니다.

중상 이상이 11문항으로 전체의 44%입니다. 그리고 19번부터 25번까지 일곱 문항이 모두 중상 이상입니다. 선택형 후반과 서술형이 한꺼번에 무거운 시험이라, 시간 배분이 점수를 좌우합니다.

출제 단원 — 적분 14, 미분 11

도함수의 활용 (3)과 정적분의 활용이 각 6문항으로 가장 많습니다. 도함수의 활용 (3) 6문항 중 네 문항(3·10·11·17번)이 방정식의 실근을 다룹니다. 이 시험에서 방정식 단원이 얼마나 무거운지 보여 주는 숫자입니다.

시그니처 유형 — 절댓값이 든 함수의 정적분 3회

정적분의 계산; 절댓값 기호를 포함한 함수가 5·19·25번 세 문항에 쓰였습니다. 난이도도 하(5번) → 중상(19번) → 중상 서술형(25번)으로 올라갑니다.

• 5번 하 — 절댓값 안의 식이 0이 되는 점에서 구간을 나눠 적분하는 기본형입니다.
• 19번 중상 — 대칭 구간 적분과 극한 조건으로 홀수차 삼차함수를 먼저 복원한 뒤, 교점과 영점으로 구간을 나눠 절댓값 정적분을 합니다.
• 25번 중상(서술형) — 절댓값 함수의 극댓값으로 계수를 정하고, 구간별 정적분의 차를 계산합니다.

절댓값을 푸는 경계를 정확히 찾는 것이 세 문항의 공통 출발점입니다. 5번에서 기본기를 확실히 다지면 19·25번의 뒷단계에서 흔들리지 않습니다.

여기에 다음 유형들이 두 번씩 겹칩니다.

• 방정식 f(x)=k의 실근의 부호 — 3·10번
• 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 11·17번
• 도함수가 주어질 때 함수 구하기 — 4·6번
• 곡선과 x축 사이의 넓이 — 7·24번
• 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이 — 12·21번
• 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 — 18·25번

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (3) (2·3·8·10·11·17번) — 6문항

2번 하 속도, 3번 중 실근의 부호, 8번 중 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건, 10번 중 실근의 부호, 11번 중 실근의 개수, 17번 중상 실근의 개수.

3번은 극값으로 세 실근의 범위를 잡고 근의 부호를 판정합니다. 10번은 양의 실근 개수가 바뀌는 높이를 찾아 자연수에 대해 누적합을 구합니다. 같은 유형이지만 10번이 한 단계 더 나아갑니다.

11번은 도함수의 서로 다른 영점 개수를 따지는 문항이고, 17번은 거리 조건에 따라 두 조각으로 나뉜 함수에서 수평선과의 교점이 세 개인 조건을 찾습니다.

8번은 반무한 구간에서의 최댓값으로 부등식이 항상 성립하는 상수를 정합니다.

2. 정적분의 활용 (7·12·13·21·22·24번) — 6문항

7번 중 곡선과 x축 사이의 넓이, 12번 중상 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이, 13번 중 움직인 거리, 21번 상 두 그래프의 교점의 개수 · 곡선과 접선 사이의 넓이, 22번 중상 위치와 위치의 변화량, 24번 중상(서술형) 함수가 연속일 조건 · 곡선과 x축 사이의 넓이.

12번은 곡선 밖의 점에서 그은 접선과 곡선 사이의 넓이입니다. 접점 조건으로 두 접선을 찾고 대칭을 이용해 넓이를 계산합니다.

13번은 운동 방향이 바뀌는 시점으로 계수를 정하고, 부호를 나눠 이동 거리를 구합니다.

22번은 두 점의 위치 차를 적분으로 세우고, 그 차가 최대가 되는 순간의 거리를 구합니다.

3. 도함수의 활용 (2) (1·9·16·18·23번) — 5문항

1번 하 함수의 극대·극소, 9번 중 최대·최소의 활용; 넓이, 16번 중 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정, 18번 중 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 23번 중상(서술형) 함수의 최대·최소.

9번은 대칭인 직사각형의 넓이를 한 변수로 나타내 최대를 구합니다. 16번은 끝점에서 최댓값을 가진다는 조건으로 계수를 정한 뒤 최솟값을 구하고, 18번은 두 극점의 대칭과 극값의 차로 계수를 정합니다.

23번은 움직이는 구간에 극대점이 포함되는지에 따라 경우를 나눠 최대 함수를 만들고 그 극소를 판정하는 서술형입니다.

4. 정적분 (5·15·19·20·25번) — 5문항

5번 하·19번 중상·25번 중상 절댓값 정적분(위 시그니처 참고), 15번 중상 정적분을 포함한 등식(끝에 변수), 20번 상 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소.

15번은 움직이는 적분 구간에 대한 등식 세 개를 연립해 원하는 구간의 값을 구합니다.

5. 부정적분 (4·6·14번) — 3문항

4번 하 도함수가 주어질 때 함수 구하기, 6번 하 같은 유형, 14번 중상 부정적분과 미분의 관계를 이용하여 함수 구하기.

4·6번은 도함수를 적분하고 초기값을 대입하는 확보 문항입니다. 14번은 곱의 미분 조건에서 두 함수를 복원하는 중상 문항으로, 전 구간에서 미분가능해야 한다는 조건으로 경우를 골라내야 합니다.

주의 문항 — 상 2문항

20번 상 (정적분으로 정의된 함수의 최대·최소) — 정적분으로 정의된 함수의 치역이 조건을 만족하도록 하는 문제로, 양의 구간과 음의 구간을 나눠 부호 경우를 따지고 정수 경계와 최종 함숫값까지 구하는 4단계 문항입니다.

21번 상 (교점의 개수 · 곡선과 접선 사이의 넓이) — 교점 개수 조건으로 사차함수를 완전히 확정한 뒤, 그 사차함수와 접선 사이의 넓이를 계산합니다. 함수를 확정하는 단계에서 다른 경우를 제외하는 과정이 필요합니다.

두 상 문항이 20·21번에 연달아 있습니다. 이 앞에서 시간을 다 써 버리면 서술형 23~25번까지 손대기 어렵습니다.

관악고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 극대·극소 기본 계산, 속도 — 1·2번 대비. 확보 구간.
2. 도함수의 적분과 초기값 — 4·6번 대비. 확보 구간.
3. ★ 절댓값이 든 함수의 정적분 — 5·19·25번 대비. 이 시험의 시그니처.
4. ★ 방정식의 실근의 부호와 개수 — 3·10·11·17번 대비. 네 문항.
5. 반무한 구간의 부등식 — 8번 대비.
6. 직사각형 넓이의 최대 — 9번 대비.
7. 최대·최소, 극대·극소를 이용한 미정계수 — 16·18번 대비.
8. 움직이는 구간의 최대 함수 — 23번 서술형 대비.
9. 곡선과 x축 사이의 넓이 — 7·24번 대비.
10. 곡선 밖의 점에서 그은 접선과 넓이 — 12·21번 대비.
11. 움직인 거리와 위치 차 — 13·22번 대비.
12. 움직이는 구간의 정적분 등식 — 15번 대비.
13. 곱의 미분과 함수 복원 — 14번 대비.
14. 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소 — 20번 대비.
15. 조각함수의 연속 조건 — 24번 서술형 대비.

자주 나오는 질문

관악고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 25문항입니다. 정답 기록상 1~22번은 선택형, 23~25번 세 문항은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 도함수의 활용 (3)과 정적분의 활용이 각 6문항입니다. 이어서 도함수의 활용 (2)·정적분이 각 5문항, 부정적분이 3문항입니다.

함수의 연속 단원도 나오나요?

함수의 극한·연속 단원으로 배치된 문항은 0개입니다. 다만 24번 서술형에서 함수가 연속일 조건이 넓이 계산의 출발점으로 쓰였습니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 20·21번 두 문항입니다. 중상도 9문항이라, 19번부터 25번까지 일곱 문항이 모두 중상 이상입니다.

쉬운 문항은 어디에 있나요?

하 난이도 다섯 문항이 모두 1~6번에 있습니다. 1·2·4·5·6번입니다.

과년도 관악고 기출도 볼 수 있나요?

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