진관고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

진관고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 23문항입니다. 문항 수로는 적분 15문항, 미분 8문항으로 적분이 거의 두 배입니다. 이 시험의 특징은 정적분과 정적분의 활용이 각 7문항이라는 점, 그리고 상 난이도 없이 하 6문항·중 12문항으로 기본 비중이 높다는 점입니다.

핵심 요약

• 23문항 — 정답 기록 기준 1~18번 선택형, 19~23번 서술형 5문항
• 난이도: 하 6 / 중 12 / 중상 5 / 상 0
• 배치 단원: 정적분 7 / 정적분의 활용 7 / 도함수의 활용 (3) 5 / 도함수의 활용 (2) 3 / 부정적분 1
• 반복 유형: 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 2회(7·16번), 나머지는 거의 한 번씩
• 가장 까다로운 구간: 13~17번 다섯 문항 중 네 문항이 중상

진관고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

진관고등학교는 서울 은평구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 23문항이고, 정답 기록상 1~18번이 선택형, 19~23번 다섯 문항이 답을 직접 쓰는 형태입니다.

배치 단원은 도함수의 활용 (2)·(3)과 부정적분·정적분·정적분의 활용입니다. 도함수의 활용 (1)로 배치된 문항은 0개이고, 부정적분도 12번 한 문항뿐입니다. 사실상 정적분과 그 활용 14문항이 시험의 중심입니다.

서술형 다섯 문항이 모두 중 난이도라는 점도 이 시험의 성격입니다. 선택형 후반의 중상 구간을 지나면, 서술형은 정확한 계산과 풀이 과정으로 점수를 지키는 구간입니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 0문항, 하 6문항

하 난이도 여섯 문항이 모두 1~8번에 있습니다. 최댓값 비교, 속도·가속도, 포물선과 직선 사이의 넓이, 절댓값 정적분, 정지 거리, 끝이 상수인 정적분 등식입니다. 앞쪽 여덟 문항 중 여섯 개가 하이니, 이 구간을 빠르고 정확하게 통과하는 것이 첫 목표입니다.

중상 다섯 문항은 7번과 13·15·16·17번입니다. 7번 하나만 앞에 있고 나머지 넷은 13~17번에 모여 있습니다. 선택형 후반이 이 시험의 고비입니다.

출제 단원 — 적분 15, 미분 8

정적분과 정적분의 활용 두 단원이 14문항으로 전체의 61%입니다. 서술형 다섯 문항 중에서도 네 문항(19·21·22·23번)이 이 두 단원입니다.

미분 파트는 도함수의 활용 (3)이 5문항으로 중심입니다. 속도·가속도, 방정식의 실근, 부등식이 여기 들어 있습니다.

시그니처 유형 — "방정식 f(x)=k의 실근의 개수" 2회, 둘 다 중상

두 번 이상 나온 유형은 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(7·16번) 하나입니다. 그리고 두 문항 모두 중상입니다.

• 7번 중상 — 그림으로 주어진 도함수에서 계수를 복원하고, 극값의 높이를 구한 뒤 수평선과의 교점 개수 조건을 따집니다.
• 16번 중상 — 삼차함수의 극값을 구하고, 절댓값을 씌워 대칭으로 접은 그래프에서 수평선과의 교점 개수가 바뀌는 경계를 모두 찾습니다.

두 문항 모두 극값의 높이를 정확히 구하는 것이 출발점입니다. 극값을 구한 다음 그래프를 직접 그려 수평선을 위아래로 움직여 보는 연습이 필요합니다.

반복 유형이 적은 만큼, 정적분·정적분의 활용 14문항이 서로 다른 유형으로 채워져 있습니다. 적분 단원의 교과서 유형을 넓게 훑어 두는 것이 가장 효율적인 대비입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 정적분 (4·8·9·11·13·21·23번) — 7문항

4번 하 정적분의 계산; 절댓값 기호를 포함한 함수, 8번 하 정적분을 포함한 등식(끝이 상수), 9번 중 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소, 11번 중 정적분을 포함한 등식(위끝·피적분함수에 변수), 13번 중상 극대·극소를 이용한 미정계수 · 정적분으로 정의된 함수의 극한, 21번 중(서술형) 주기함수의 정적분, 23번 중(서술형) 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소.

4번은 절댓값 안이 0이 되는 점에서 나눠 적분하고, 8번은 끝이 상수인 정적분을 상수로 두고 푸는 기본형입니다. 둘 다 하 난이도입니다.

9번은 대칭 구간에서 홀수차항이 사라지는 성질로 정적분 함수를 만든 뒤, 양 끝값과 극값을 비교해 최대·최소를 구합니다.

11번은 피적분함수에 변수가 있는 등식을 두 번 미분하고 아래끝의 초기조건과 연립합니다.

13번은 그림의 극값 정보로 삼차함수의 계수를 복원한 뒤 미적분의 기본정리로 극한을 계산합니다. 정적분 단원의 유일한 중상입니다.

21번은 한 주기 적분값을 구한 뒤 주기로 나눠 합하는 서술형이고, 23번은 그림으로 이차함수 계수를 정하고 정적분 함수의 극소 조건으로 계수를 확정하는 서술형입니다.

2. 정적분의 활용 (3·10·14·15·17·19·22번) — 7문항

3번 하 포물선과 직선 사이의 넓이(1/6 공식), 10번 중 그래프에서의 위치와 움직인 거리, 14번 중 두 도형의 넓이가 같을 조건, 15번 중상 두 곡선 사이의 넓이의 활용; 이등분, 17번 중상 위치와 위치의 변화량, 19번 중(서술형) 두 곡선 사이의 넓이, 22번 중(서술형) 속도·가속도와 운동 방향 · 움직인 거리.

10번은 속도 그래프의 위아래 넓이로 위치와 거리를 비교합니다. 위치는 부호를 살려서, 거리는 절댓값으로 더한다는 차이가 핵심입니다.

14번은 넓이가 같다는 조건을 정적분 값이 0이라는 식으로 바꾼 뒤 조건에 맞는 값을 고릅니다.

15번은 영역을 이등분하는 조건에서 x축 아래 부분의 넓이와 전체 넓이의 관계를 세웁니다. 위아래 배치를 경우로 나눠야 하는 중상 문항입니다.

17번은 두 점의 상대 위치를 적분으로 구하고, 그 값이 최소가 되는 시각의 위치를 찾습니다.

22번은 소문항이 여러 개인 서술형으로, 속도가 0이 되는 시각과 방향 전환, 초기 위치를 포함한 위치, 절댓값으로 구하는 움직인 거리를 차례로 묻습니다.

3. 도함수의 활용 (3) (2·6·7·16·20번) — 5문항

2번 하 가속도, 6번 하 정지하는 물체의 속도와 움직인 거리, 7번 중상 도함수의 그래프를 이용한 극대·극소 · 실근의 개수, 16번 중상 실근의 개수, 20번 중(서술형) 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건.

2번은 위치를 미분해 속도·가속도를 구하고 조건으로 계수를 연립합니다. 6번은 정지 시각을 구하고 그때까지의 속도를 적분합니다.

20번은 반직선 구간에서 최솟값을 구해 부등식이 항상 성립하는 상수 범위를 정하는 서술형입니다. 등호 포함 여부를 정확히 써야 합니다.

4. 도함수의 활용 (2) (1·5·18번) — 3문항

1번 하 함수의 최대·최소, 5번 중 최대·최소의 활용; 부피, 18번 중 함수의 증가와 감소.

1번은 양 끝값과 도함수가 0인 점의 값을 비교하는 확보 문항입니다. 5번은 닮음으로 부피 식을 세운 뒤 극대와 양 끝값을 비교합니다.

18번은 사차함수의 증가·감소 구간을 구하고 정수 조건의 경계를 따지는 문항입니다.

5. 부정적분 (12번) — 1문항

12번 중 도함수가 주어질 때 함수 구하기.

두 함수의 합과 차의 도함수를 적분하고 초기값으로 f, g를 각각 복원하는 문항입니다.

주의 문항 — 중상 5문항

7번 중상 (도함수 그래프 · 실근의 개수) — 앞쪽의 유일한 중상입니다. 그림에서 계수를 읽는 단계부터 정확해야 합니다.

13번 중상 (삼차함수 복원 · 정적분 극한) — 극값 좌표로 계수를 연립하는 단계가 길어 시간이 걸립니다.

15번 중상 (넓이의 이등분) — x축 위아래에 놓일 수 있는 배치를 경우로 나눠 따져야 합니다.

16번 중상 (절댓값 삼차함수의 실근 개수) — 근의 개수가 바뀌는 경계를 모두 찾아야 합니다.

17번 중상 (상대 위치) — 두 점의 위치 차를 세우고 최소 시각을 찾는 3단계 문항입니다.

진관고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 최대·최소 기본, 속도·가속도 — 1·2번 대비. 확보 구간.
2. 포물선과 직선 사이의 넓이(1/6 공식) — 3번 대비. 확보 구간.
3. 절댓값 정적분, 끝이 상수인 정적분 등식 — 4·8번 대비. 확보 구간.
4. 정지 시각과 움직인 거리 — 6번 대비.
5. 닮음을 이용한 부피의 최대 — 5번 대비.
6. 사차함수의 증가·감소 — 18번 대비.
7. ★ 극값 높이와 실근의 개수 — 7·16번 대비. 이 시험의 시그니처.
8. 반직선에서 부등식이 성립할 조건 — 20번 서술형 대비.
9. 합·차 도함수로 두 함수 복원 — 12번 대비.
10. 대칭 구간 정적분과 정적분 함수의 최대·최소 — 9번 대비.
11. 피적분함수에 변수가 있는 등식 — 11번 대비.
12. 미적분의 기본정리와 극한 — 13번 대비.
13. 주기함수의 정적분 — 21번 서술형 대비.
14. 정적분 함수의 극대·극소 — 23번 서술형 대비.
15. 속도 그래프에서 위치와 거리 — 10·22번 대비.
16. 넓이가 같을 조건, 넓이의 이등분 — 14·15번 대비.
17. 두 점의 상대 위치 — 17번 대비.
18. 두 곡선 사이의 넓이 — 19번 서술형 대비.

자주 나오는 질문

진관고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 23문항입니다. 정답 기록상 1~18번은 선택형, 19~23번 다섯 문항은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분과 정적분의 활용이 각 7문항으로 가장 많습니다. 두 단원을 합치면 23문항 중 14문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 없습니다. 실질적인 최고 난도는 중상 5문항(7·13·15·16·17번)입니다.

서술형은 어렵나요?

서술형 다섯 문항(19~23번)은 모두 중 난이도입니다. 두 곡선 사이의 넓이, 부등식의 상수 범위, 주기함수의 정적분, 속도와 움직인 거리, 정적분 함수의 극소가 한 문항씩입니다.

도함수의 활용 (1)도 나오나요?

도함수의 활용 (1)로 배치된 문항은 0개입니다. 미분 파트 8문항은 도함수의 활용 (2)·(3)입니다.

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