충암고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

충암고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 24문항입니다. 이 시험은 두 가지 숫자로 요약됩니다. 정적분 단원 13문항, 그리고 상 난이도 8문항입니다. 24문항 중 20문항이 적분 파트이고, 중상과 상을 합치면 16문항으로 전체의 3분의 2입니다.

핵심 요약

• 24문항 — 정답 기록 기준 1~17번 선택형, 18~24번 서술형 7문항
• 난이도: 하 4 / 중 4 / 중상 8 / 상 8
• 배치 단원: 정적분 13 / 정적분의 활용 5 / 도함수의 활용 (2) 3 / 부정적분 2 / 도함수의 활용 (3) 1
• 최다 반복 유형: 정적분을 포함한 등식(끝에 변수) 3회(15·21·23번), 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 3회(16·17·23번)
• 서술형 7문항 중 21~24번 네 문항이 상

충암고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

충암고등학교는 서울 은평구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 24문항이고, 정답 기록상 1~17번이 선택형, 18~24번 일곱 문항이 답을 직접 쓰는 형태입니다. 서술형 비중이 높은 시험입니다.

배치 단원을 세어 보면 정적분 단원 하나에 13문항이 들어 있습니다. 여기에 정적분의 활용 5문항, 부정적분 2문항을 더하면 적분 파트가 20문항입니다. 미분 파트는 도함수의 활용 (2) 3문항, 도함수의 활용 (3) 1문항으로 4문항뿐입니다. 미분계수와 도함수, 도함수의 활용 (1) 단원으로 배치된 문항은 0개입니다.

다만 정적분 문항 안에 미분가능성·극대·극소·실근의 개수 같은 미분 개념이 깊게 섞여 있습니다. 정적분으로 정의된 함수를 미분해 극값을 따지는 문항이 많기 때문입니다. 미분 파트 문항 수가 적다고 미분 공부를 줄이면 안 되는 시험입니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 8문항

상 난이도가 8문항입니다. 선택형에 네 문항(10·15·16·17번), 서술형에 네 문항(21~24번)입니다. 15·16·17번이 연속 상이고, 서술형 마지막 네 문항도 연속 상입니다.

하·중 여덟 문항(1·2·3·4·6·7·18·19번)은 반드시 지켜야 하는 구간입니다. 1번은 접선의 기울기로 주어진 도함수를 적분하는 문항, 3번은 피적분함수에 변수가 있는 등식을 미분하는 문항, 4번은 우함수·기함수의 정적분, 18번은 정적분으로 정의된 함수의 극한입니다.

출제 단원 — 정적분 13문항

**정적분 13문항 중 상이 7문항(10·15·17·21·22·23·24번)**입니다. 상 8문항 가운데 정적분 단원이 아닌 것은 16번(도함수의 활용 (2)) 하나뿐입니다.

시그니처 유형 — 정적분 등식과 미분가능성, 각 3회

정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우가 15·21·23번에, 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성이 16·17·23번에 쓰였습니다. 23번은 두 유형이 함께 들어간 문항입니다.

이 다섯 문항(15·16·17·21·23번)이 모두 상입니다. 이 시험의 상위권 변별은 결국 "정적분으로 정의된 함수를 미분하고, 구간이 나뉘는 점에서 미분가능성을 따지는 능력" 에서 갈립니다.

여기에 다음 유형들이 두 번씩 겹칩니다.

• 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우 — 3·24번
• 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 5·21번
• 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 10·11번

3번과 24번은 같은 유형인데 3번은 하, 24번은 상입니다. 3번은 등식을 두 번 미분하는 기본 절차이고, 24번은 두 적분 항등식에서 절댓값이 든 도함수를 복원한 뒤 전역 극소와 부등식 조건까지 이어집니다. 3번의 절차가 24번의 첫 단계입니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 정적분 — 하·중 (3·4·6·7·18번)

3번 하 정적분을 포함한 등식(위끝·피적분함수에 변수), 4번 하 우함수·기함수의 정적분(피적분함수가 주어진 경우), 6번 중 우함수·기함수의 정적분(피적분함수가 주어지지 않은 경우), 7번 중 주기함수의 정적분, 18번 하(서술형) 정적분으로 정의된 함수의 극한.

4번은 대칭 구간에서 홀수차항이 사라지는 성질로 계수를 연립하고, 6번은 우함수·기함수의 곱의 성질로 대칭 정적분을 계산합니다. 같은 성질을 식이 주어진 경우와 주어지지 않은 경우로 한 번씩 물었습니다.

7번은 반 주기만큼 구간을 이동한 뒤 전체 주기와 나머지 구간으로 나눠 적분합니다.

18번은 미적분의 기본정리로 극한을 함숫값으로 바꾸는 하 난이도 서술형입니다.

2. 정적분 — 중상·상 (10·11·15·17·21·22·23·24번)

10번 상 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소, 11번 중상 같은 유형, 15번 상 정적분 등식(끝에 변수), 17번 상 구간별 함수의 미분가능성 · 정적분 등식(끝이 상수), 21번 상(서술형) 실근의 개수 · 정적분 등식(끝에 변수), 22번 상(서술형) 미분가능성과 연속성 · 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소, 23번 상(서술형) 구간별 함수의 미분가능성 · 정적분 등식(끝에 변수), 24번 상(서술형) 모든 실수에서 부등식이 성립할 조건 · 정적분 등식(위끝·피적분함수에 변수).

10번은 정적분 함수를 미분해 삼차 보조함수를 만들고, 단순근에서의 부호 변화와 정수 조건을 함께 따지는 4단계 문항입니다. 11번은 움직이는 구간의 절댓값 정적분을 미분해 두 극소의 부호를 경우로 나눕니다.

15번은 양의 부분만 적분한 값이 평평해지는 최대 구간에서 사차함수의 중근과 경계를 복원합니다.

17번은 미분가능하지 않은 점이 하나뿐이라는 조건으로 삼차함수의 중근을 정하고 정적분 값을 구합니다.

21번은 곱의 미분 항등식에서 이차함수의 근을 복원하고, 원점에서의 중복을 고려해 수평선과의 근의 개수를 셉니다. 22번은 절댓값이 꺾이는 점이 하나뿐이라는 조건과 근의 합으로 삼차함수를 복원한 뒤 접선과의 차를 적분한 값의 최대를 구합니다. 23번은 절댓값과 원시함수의 곱이 미분가능할 조건에서 출발합니다.

3. 정적분의 활용 (2·8·12·19·20번) — 5문항

2번 중 두 도형의 넓이가 같을 조건, 8번 중상 속도·가속도와 운동 방향 · 위치의 변화량, 12번 중상 곡선과 x축 사이의 넓이(그래프 꼴), 19번 중(서술형) 그래프에서의 위치와 움직인 거리, 20번 중상(서술형) 삼차함수의 증가 조건 · 역함수의 정적분.

2번은 넓이의 비 조건을 정적분 값이 0이라는 식으로 바꿔 계수를 정합니다. 8번은 속도가 0이 되는 두 시각으로 경우를 나누고 정지 위치를 적분으로 구합니다.

12번은 증가함수를 평행이동했을 때 x축 위아래 넓이가 어떻게 바뀌는지를 따집니다. 20번은 전 구간에서 단조인 조건으로 계수를 정하고 역함수의 정적분을 계산하는 서술형입니다.

4. 도함수의 활용 (2) (13·14·16번) — 3문항

13번 중상 함수의 증가와 감소, 14번 중상 삼차함수가 극값을 갖지 않을 조건, 16번 상 구간별 함수의 미분가능성 · 함수의 극대·극소.

13번은 영점 양쪽의 도함수 부호로 다항식을 복원하고 최대 구간과 최솟값을 구합니다. 14번은 극값이 없을 조건을 판별식으로 바꿔 정수 쌍 다섯 개를 찾고, 그중 접선과 넓이를 비교합니다.

16번은 조각으로 정의된 함수가 이어지는 점에서 미분가능할 조건으로 계수를 정하고, 모든 극값의 합을 구하는 4단계 문항입니다.

5. 부정적분·도함수의 활용 (3) (1·9·5번)

1번 하 부정적분과 접선의 기울기, 9번 중상 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기, 5번 중상 도함수의 그래프를 이용한 극대·극소 · 실근의 개수.

9번은 차수와 최고차항을 비교해 함수의 차수를 정한 뒤 모든 계수를 연립합니다. 5번은 도함수의 그림으로 함수를 복원하고 극값 높이로 실근이 세 개인 정수 조건을 찾습니다.

주의 문항 — 상 8문항

선택형 상 (10·15·16·17번) — 15·16·17번이 연속 상입니다. 세 문항 모두 구간이 나뉘는 함수나 적분 구간의 경계를 정확히 찾아야 풀립니다.

서술형 상 (21·22·23·24번) — 네 문항 모두 정적분 단원이고 4단계 풀이입니다. 함수를 복원하는 단계가 길어 시간을 충분히 남겨 두지 않으면 손대기 어렵습니다.

하·중 여덟 문항(1·2·3·4·6·7·18·19번)에서 실수 없이 점수를 확보하는 것이 이 시험에서 등급을 지키는 출발점입니다.

충암고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 부정적분과 접선의 기울기 — 1번 대비. 확보 구간.
2. ★ 피적분함수에 변수가 있는 등식의 미분 — 3·24번 대비.
3. 우함수·기함수의 정적분 — 4·6번 대비.
4. 주기함수의 정적분 — 7번 대비.
5. 정적분으로 정의된 함수의 극한 — 18번 서술형 대비.
6. 함수와 부정적분 사이의 관계식 — 9번 대비. 차수 비교.
7. 도함수의 그래프와 실근의 개수 — 5·21번 대비.
8. 증가·감소와 극값이 없을 조건 — 13·14번 대비.
9. 넓이가 같을 조건, 곡선과 x축 사이의 넓이 — 2·12번 대비.
10. 속도와 위치, 움직인 거리 — 8·19번 대비.
11. 역함수의 정적분 — 20번 서술형 대비.
12. ★ 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 10·11번 대비.
13. ★ 끝에 변수가 있는 정적분 등식 — 15·21·23번 대비.
14. ★ 구간별 함수의 미분가능성 — 16·17·23번 대비.
15. 정적분 함수의 최대·최소와 미분가능성 — 22번 대비.
16. 적분 항등식과 부등식의 결합 — 24번 대비.

자주 나오는 질문

충암고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 24문항입니다. 정답 기록상 1~17번은 선택형, 18~24번 일곱 문항은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분이 13문항으로 압도적입니다. 적분 파트 전체는 20문항, 미분 파트는 4문항입니다.

킬러 문항이 많나요?

상 난이도가 8문항입니다. 선택형 10·15·16·17번, 서술형 21~24번입니다. 중상까지 합치면 16문항입니다.

쉬운 문항은 어디에 있나요?

하 난이도는 1·3·4·18번, 중 난이도는 2·6·7·19번입니다. 이 여덟 문항이 기본 점수 구간입니다.

미분 단원은 공부하지 않아도 되나요?

배치 단원으로는 미분 파트가 4문항뿐이지만, 정적분 상 문항 대부분에 미분가능성·극대·극소 판단이 들어 있습니다. 미분 개념을 함께 정리해야 합니다.

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