신서고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

신서고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 22문항입니다. 문항 수로는 미분 13문항, 적분 9문항으로 미분 쪽이 더 무겁습니다. 이 시험에서 가장 먼저 짚어야 할 사실은 도함수의 활용 (2) 한 단원에서 7문항이 나왔다는 것, 그리고 정적분의 활용은 13번 한 문항뿐이라는 것입니다.

핵심 요약

• 22문항 — 정답 기록 기준 1~20번 선택형, 21·22번 서술형 2문항
• 난이도: 하 3 / 중 9 / 중상 7 / 상 3
• 배치 단원: 도함수의 활용 (2) 7 / 정적분 5 / 도함수의 활용 (3) 4 / 부정적분 3 / 도함수의 활용 (1) 2 / 정적분의 활용 1
• 두 번씩 나온 유형: f(x)=k의 실근의 개수(7·17번), 최대·최소를 이용한 미정계수(10·20번), 위끝·피적분함수에 변수가 있는 정적분 등식(14·22번)
• 상 난이도: 17·20·22번 — 두 번씩 나온 유형의 두 번째 문항이 모두 상

신서고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

신서고등학교는 서울 양천구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 22문항이고, 정답 기록상 1~20번이 선택형, 21·22번 두 문항이 답을 직접 쓰는 형태입니다.

배치 단원은 도함수의 활용 (1)부터 정적분의 활용까지 여섯 단원이지만 비중은 크게 기웁니다. 도함수의 활용 (1)~(3)이 13문항, 적분 세 단원이 9문항입니다. 미분계수와 도함수 단원으로 배치된 문항은 0개입니다.

특히 정적분의 활용이 1문항(13번) 이라는 점이 눈에 띕니다. 넓이·속도와 거리 같은 활용 문항보다는 정적분 자체의 계산과 등식(5문항) 에 무게가 실렸습니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 7, 상 3

하 난이도는 1·2·6번 세 문항입니다. 1번은 평균값 정리, 2번은 부정적분과 미분의 관계에 대한 명제, 6번은 적분 구간이 같은 정적분의 선형 연립입니다.

중상 이상이 10문항으로 전체의 45%입니다. 7번에서 첫 중상이 나온 뒤 10·12·13번이 이어지고, 16번부터 20번까지 다섯 문항이 모두 중상 이상입니다. 선택형 후반이 이 시험의 고비입니다.

출제 단원 — 도함수의 활용 (2) 7문항

도함수의 활용 (2) 7문항이 시험의 32%입니다. 증가·감소, 극대·극소, 최대·최소와 그 활용이 모두 이 단원이고, 이 중 중상 이상이 4문항(10·12·18·20번) 입니다.

시그니처 구조 — 같은 유형이 두 번, 두 번째는 상

이 시험에는 두 번씩 나온 유형이 셋 있고, 세 쌍 모두 뒤쪽 문항이 상 난이도입니다.

• 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 7번 중상 → 17번 상
• 함수의 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정 — 10번 중상 → 20번 상
• 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우 — 14번 중 → 22번 상(서술형)

7번은 사차함수와 수평선이 세 점에서 만나는 높이를 찾는 문항이고, 17번은 넓이 조건으로 도함수의 부호를 먼저 복원한 뒤 이어 붙인 삼차함수에서 근의 개수를 따집니다.

10번은 닫힌구간에서 최댓값과 최솟값의 관계로 계수를 정하고, 20번은 움직이는 구간의 최대 함수가 미분가능하지 않은 점에서 사차함수를 복원합니다.

14번은 위끝과 피적분함수에 모두 변수가 있는 적분의 극한이고, 22번은 같은 형태의 적분 항등식을 두 번 미분해 관계를 세운 뒤 여러 조건을 차례로 적용하는 4단계 서술형입니다.

앞 문항에서 쓴 개념이 뒤 문항의 첫 단계가 되는 구조입니다. 앞 문항을 풀 때 왜 그렇게 되는지까지 정리해 두면 뒤 문항의 진입이 쉬워집니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (2) (4·9·10·12·15·18·20번) — 7문항

4번 중 함수의 그래프와 증가·감소, 9번 중 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 10번 중상 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정, 12번 중상 도함수의 그래프의 해석(응용), 15번 중 최대·최소의 활용; 부피, 18번 중상 함수의 극대·극소의 활용, 20번 상 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정.

4번은 함수의 그래프에서 증감 구간을 읽고 네 명제를 판정합니다. 9번은 극한 조건으로 계수를 먼저 정하고 극대 정보로 극솟값을 구합니다.

12번은 두 포물선 모양의 도함수 그래프가 주어지고 그 차의 부호로 판단하는 문항입니다. 그림에서 식을 복원하는 단계가 먼저입니다.

15번은 부채꼴로 만든 원뿔의 부피 최대입니다. 부채꼴의 반지름이 원뿔의 모선이 된다는 점을 이용해 부피를 한 변수로 나타냅니다.

18번은 절댓값이 두 번 씌워진 함수의 극점 개수를 수평선 높이에 따라 따지는 문항입니다.

2. 정적분 (6·8·14·19·22번) — 5문항

6번 하 정적분의 계산; 적분 구간이 같은 경우, 8번 중 절댓값 기호를 포함한 함수의 정적분, 14번 중 정적분 등식(위끝·피적분함수에 변수), 19번 중상 미분가능성과 연속성 · 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 정적분, 22번 상(서술형) 정적분 등식(위끝·피적분함수에 변수).

6번은 위끝과 아래끝이 바뀐 두 적분을 선형 연립하는 확보 문항입니다. 8번은 다항식의 영점에서 구간을 나눠 절댓값 정적분을 계산합니다.

19번은 우함수인 사차함수가 이어지는 점에서 미분가능할 조건으로 계수를 정한 뒤, 구간별로 정적분합니다.

3. 도함수의 활용 (3) (7·11·17·21번) — 4문항

7번 중상 실근의 개수, 11번 중 속도·가속도와 운동 방향, 17번 상 실근의 개수, 21번 중(서술형) 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건.

11번은 양의 시각에서 운동 방향이 두 번 바뀌는 조건의 경계를 찾고, 그중 최대 정수에서의 가속도를 구합니다.

21번은 반직선 구간에서 등호가 없는 부등식이 항상 성립할 조건을 구하는 서술형입니다.

4. 부정적분 (2·5·16번) — 3문항

2번 하 부정적분과 미분의 관계, 5번 중 도함수가 주어질 때 함수 구하기, 16번 중상 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기.

2번은 적분상수 포함 여부와 미분·적분의 역관계에 대한 명제를 판정합니다. 상수함수 같은 반례를 떠올릴 수 있어야 합니다.

16번은 원시함수의 차수를 먼저 추론하고 계수를 연립한 뒤, 원래 식에 다시 대입해 확인합니다.

5. 도함수의 활용 (1) (1·3번) — 2문항

1번 하 평균값 정리, 3번 중 롤의 정리.

3번은 분모가 있는 함수의 원래 정의역을 먼저 확인하고 양 끝값이 같은지 판정합니다. 정의역에서 빠지는 점을 놓치면 롤의 정리 조건 판단이 틀어집니다.

6. 정적분의 활용 (13번) — 1문항

13번 중상 두 곡선 사이의 넓이의 활용; 넓이의 최솟값.

접선과 포물선 사이의 넓이를 함수로 나타내고 그 최솟값을 구하는 문항입니다. 정적분의 활용 단원은 이 한 문항이지만 중상 난이도입니다.

주의 문항 — 상 3문항

17번 상 (실근의 개수) — 넓이 조건에서 도함수의 부호를 복원하고, 원래 함수를 결정한 뒤, 이어 붙인 지점 좌우로 근의 개수를 나눠 따지는 4단계 문항입니다.

20번 상 (최대·최소를 이용한 미정계수) — 움직이는 구간의 최대 함수가 평평해지는 구간과 미분가능하지 않은 점의 구조를 먼저 찾아야 합니다.

22번 상 (서술형, 정적분 등식) — 적분 항등식을 두 번 미분해 관계를 세우고 극값 조건, 평균값 조건, 끝점 조건을 차례로 적용합니다. 서술형이라 각 단계를 빠짐없이 써야 합니다.

신서고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 평균값 정리, 부정적분과 미분의 관계 — 1·2번 대비. 확보 구간.
2. 적분 구간이 같은 정적분의 연립 — 6번 대비. 확보 구간.
3. 롤의 정리와 정의역 확인 — 3번 대비.
4. 함수 그래프의 증감 판독 — 4번 대비.
5. 도함수가 주어질 때 함수 구하기 — 5번 대비.
6. 절댓값 정적분 — 8번 대비.
7. 극대·극소를 이용한 미정계수 — 9번 대비.
8. ★ 최대·최소를 이용한 미정계수 — 10·20번 대비.
9. ★ 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 — 7·17번 대비.
10. 운동 방향이 바뀌는 조건 — 11번 대비.
11. 도함수 그래프의 해석 — 12번 대비.
12. 원뿔 부피의 최대 — 15번 대비.
13. 함수와 부정적분 사이의 관계식 — 16번 대비.
14. 절댓값 함수의 극점 개수 — 18번 대비.
15. 구간별 함수의 미분가능성과 정적분 — 19번 대비.
16. 접선과 포물선 사이 넓이의 최솟값 — 13번 대비.
17. ★ 위끝·피적분함수에 변수가 있는 정적분 등식 — 14·22번 대비.
18. 반직선에서 부등식이 성립할 조건 — 21번 서술형 대비.

자주 나오는 질문

신서고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 22문항입니다. 정답 기록상 1~20번은 선택형, 21·22번은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 도함수의 활용 (2)가 7문항으로 가장 많습니다. 다음은 정적분 5문항, 도함수의 활용 (3) 4문항입니다.

정적분의 활용은 몇 문항인가요?

13번 한 문항입니다. 접선과 포물선 사이 넓이의 최솟값을 묻는 중상 문항입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 17·20·22번 세 문항입니다. 중상도 7문항이라, 중상 이상이 10문항입니다.

미분계수 단원도 나오나요?

미분계수와 도함수 단원으로 배치된 문항은 0개입니다. 도함수의 활용 (1)은 1·3번 두 문항입니다.

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