덕성여고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

덕성여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 문항 수로는 적분 14문항, 미분 7문항으로 적분이 두 배입니다. 이 시험의 특징은 서술형이 7문항(15~21번) 으로 3분의 1을 차지한다는 점, 그리고 상 난이도 없이 중 13문항이 중심을 이룬다는 점입니다.

핵심 요약

• 21문항 — 정답 기록 기준 1~14번 선택형, 15~21번 서술형 7문항
• 난이도: 하 4 / 중 13 / 중상 4 / 상 0
• 배치 단원: 정적분 8 / 도함수의 활용 (3) 7 / 정적분의 활용 5 / 부정적분 1
• 두 번씩 나온 유형: 속도(2·13번), 끝이 상수인 정적분 등식(5·18번), 곡선과 x축 사이의 넓이(6·17번), 끝에 변수가 있는 정적분 등식(15·21번)
• 미분 파트 7문항이 모두 도함수의 활용 (3)

덕성여고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

덕성여자고등학교는 서울 종로구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 21문항이고, 정답 기록상 1~14번이 선택형, 15~21번 일곱 문항이 답을 직접 쓰는 형태입니다.

배치 단원은 네 단원뿐입니다. 미분 파트는 도함수의 활용 (3) 7문항이 전부이고, 도함수의 활용 (1)·(2) 단원으로 배치된 문항은 0개입니다. 증가·감소나 극대·극소 단독 문항보다는 방정식의 실근, 속도, 부등식, 변화율 같은 도함수의 활용 (3) 내용이 나왔습니다.

적분 파트는 정적분 8문항, 정적분의 활용 5문항, 부정적분 1문항입니다. 정적분 단원 비중이 가장 큽니다.

2025학년 난이도 분포 — 상 0문항, 중 13문항

상 난이도가 없고 중이 13문항입니다. 손을 못 댈 문항은 없지만, 중 난이도 문항 하나하나를 정확히 맞혀야 점수가 지켜지는 시험입니다.

하 난이도 네 문항(1·2·3·6번)은 앞쪽에 있습니다. 다항함수의 정적분 계산, 지면에 도달한 순간의 속도, 겹치는 적분 구간의 결합, 포물선과 x축 사이의 넓이입니다.

중상 네 문항 중 세 개가 11·13·14번에 몰려 있고, 나머지 하나는 서술형 마지막 21번입니다. 선택형 끝부분이 고비입니다.

출제 단원 — 정적분 8, 도함수의 활용 (3) 7

정적분 8문항과 도함수의 활용 (3) 7문항이 시험의 70% 이상입니다. 서술형 7문항도 정적분 3문항(15·18·21번), 도함수의 활용 (3) 2문항(16·19번), 정적분의 활용 1문항(17번), 부정적분 1문항(20번)으로 나뉩니다.

시그니처 유형 — 두 번씩 나온 네 유형

세 번 이상 나온 유형은 없고, 두 번씩 나온 유형이 넷입니다.

• 속도 — 2번 하 → 13번 중상
• 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우 — 5번 중 → 18번 중(서술형)
• 곡선과 x축 사이의 넓이; f(x)≥0 또는 f(x)≤0인 경우 — 6번 하 → 17번 중(서술형)
• 정적분을 포함한 등식; 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우 — 15번 중(서술형) → 21번 중상(서술형)

눈에 띄는 것은 선택형에서 나온 유형이 서술형에서 다시 나온다는 점입니다. 5번과 18번, 6번과 17번이 그렇습니다. 선택형에서 답만 고르고 넘어간 유형을 서술형에서는 풀이 과정까지 써야 합니다.

정적분을 포함한 등식은 두 형태를 합쳐 네 문항(5·15·18·21번) 입니다. 끝이 상수이면 정적분을 상수로 두고, 끝에 변수가 있으면 미분한다는 두 절차를 확실히 구분해 두어야 합니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 정적분 (1·3·5·7·14·15·18·21번) — 8문항

1번 하 정적분의 계산; 적분 구간이 같은 경우, 3번 하 정적분의 계산; 피적분함수가 같은 경우, 5번 중 정적분 등식(끝이 상수), 7번 중 우함수·기함수의 정적분(피적분함수가 주어지지 않은 경우), 14번 중상 주기함수의 정적분, 15번 중(서술형) 정적분 등식(끝에 변수), 18번 중(서술형) 정적분 등식(끝이 상수), 21번 중상(서술형) 공통인 접선 · 정적분 등식(끝에 변수).

3번은 겹치는 적분 구간을 빼고 합치는 성질을 쓰는 하 난이도입니다.

5번은 대칭인 두 적분의 값이 0이라는 조건으로 계수를 연립하고 다른 구간의 적분을 구합니다.

7번은 우함수와 기함수의 곱의 성질로 대칭 구간 정적분을 계산합니다.

14번은 기함수이면서 주기를 갖는 함수의 적분을 구하고, 도함수 부호에 대한 명제는 반례로 판정합니다.

18번은 적분 밖의 변수와 적분상수를 분리해 상수에 대한 식을 세우는 서술형입니다.

21번은 두 곡선의 공통인 접선에서 기울기를 일치시키는 조건과 정적분 등식을 함께 써 두 계수를 확정하는 서술형입니다. 접선 개념이 적분 문항 안에 들어 있습니다.

2. 도함수의 활용 (3) (2·8·11·12·13·16·19번) — 7문항

2번 하 속도, 8번 중 삼차방정식의 근의 판별, 11번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 12번 중 시각에 대한 부피의 변화율, 13번 중상 속도, 16번 중(서술형) 속도·가속도와 운동 방향, 19번 중(서술형) 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건.

8번은 삼차함수의 두 극값으로 세 실근이 존재할 정수 범위를 구합니다.

11번은 우함수인 사차함수와 두 수평선의 실근 개수 조건에서 계수를 정합니다. 실근 개수가 홀수라는 조건에서 원점이 근이라는 사실을 끌어내는 단계가 있습니다.

12번은 닮음비로 물의 부피를 나타낸 뒤 시간에 대한 변화율을 구합니다. 이 시험에서 드문 변화율 문항입니다.

13번은 두 점의 속력에 대한 조건으로 방정식 두 개를 세우고, 시간 범위에 따라 실근 개수를 세며 공통근을 빼는 3단계 문항입니다.

16번은 운동 방향이 바뀌는 시각의 가속도를, 19번은 반직선 구간의 최솟값으로 상수 범위를 구하는 서술형입니다.

3. 정적분의 활용 (4·6·9·10·17번) — 5문항

4번 중 그래프에서의 위치와 움직인 거리, 6번 하 곡선과 x축 사이의 넓이, 9번 중 두 곡선 사이의 넓이의 활용; 넓이의 최솟값, 10번 중 위치와 위치의 변화량, 17번 중(서술형) 곡선과 x축 사이의 넓이.

4번은 속도 그래프에서 출발점으로부터 가장 먼 위치를 찾습니다. 속도의 부호가 바뀌는 시각이 후보입니다.

9번은 두 곡선 사이의 넓이를 식으로 나타낸 뒤 양수 두 개의 역수 합이 최소가 되는 조건을 씁니다.

10번은 속도를 적분한 높이 조건으로 처음 속도를 정합니다.

17번은 y축 대칭인 곡선과 x축 사이의 넓이를 절댓값과 대칭성으로 구간을 나눠 구하는 서술형입니다.

4. 부정적분 (20번) — 서술형 1문항

20번 중(서술형) 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기.

원시함수에 대한 항등식을 미분해 다항식 항등식으로 바꾸고 초기값으로 함수를 복원합니다.

주의 문항 — 중상 4문항

11번 중상 (사차함수의 실근 개수) — 두 수평선 조건을 동시에 만족해야 하는 3단계 문항입니다.

13번 중상 (두 점의 속력) — 경우마다 실근 개수를 세고 공통근을 빼는 단계까지 챙겨야 합니다.

14번 중상 (주기함수의 정적분과 명제) — 적분 계산과 명제 판정이 한 문항에 들어 있습니다.

21번 중상 (서술형, 공통 접선 · 정적분 등식) — 마지막 문항입니다. 접선 조건과 적분 조건 두 가지를 모두 써야 계수가 확정됩니다.

덕성여고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 정적분 기본 계산과 구간 결합 — 1·3번 대비. 확보 구간.
2. 속도와 위치 — 2번 대비. 확보 구간.
3. 포물선과 x축 사이의 넓이 — 6·17번 대비.
4. ★ 끝이 상수인 정적분 등식 — 5·18번 대비.
5. ★ 끝에 변수가 있는 정적분 등식 — 15·21번 대비.
6. 우함수·기함수의 정적분 — 7번 대비.
7. 주기함수의 정적분 — 14번 대비.
8. 삼차방정식의 근의 판별 — 8번 대비.
9. 사차함수와 수평선의 실근 개수 — 11번 대비.
10. 시각에 대한 부피의 변화율 — 12번 대비.
11. 두 점의 속력 조건 — 13번 대비.
12. 운동 방향과 가속도 — 16번 서술형 대비.
13. 반직선에서 부등식이 성립할 조건 — 19번 서술형 대비.
14. 속도 그래프에서 위치와 거리 — 4·10번 대비.
15. 두 곡선 사이 넓이의 최솟값 — 9번 대비.
16. 함수와 부정적분 사이의 관계식 — 20번 서술형 대비.
17. 공통인 접선 — 21번 서술형 대비.

자주 나오는 질문

덕성여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 21문항입니다. 정답 기록상 1~14번은 선택형, 15~21번 일곱 문항은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 정적분이 8문항으로 가장 많고, 도함수의 활용 (3) 7문항, 정적분의 활용 5문항, 부정적분 1문항입니다.

증가·감소나 극대·극소 문항도 나오나요?

도함수의 활용 (1)·(2) 단원으로 배치된 문항은 0개입니다. 미분 파트 7문항은 모두 도함수의 활용 (3)입니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 없습니다. 중상이 11·13·14·21번 네 문항입니다.

서술형 비중이 높나요?

21문항 중 7문항이 서술형입니다. 서술형 일곱 문항 중 여섯 개가 중, 마지막 21번이 중상입니다.

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