서울 영등포구 영신고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)
서울 영등포구 영신고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 23문항입니다. 문항이 배치된 단원은 도함수의 활용 (2)·(3) · 부정적분 · 정적분 · 정적분의 활용입니다. 이 시험에서 가장 눈에 띄는 것은 도함수의 활용 (3)이 8문항으로 단원 하나가 시험의 3분의 1 이상을 차지한다는 점입니다.
핵심 요약
- 23문항 — 정답 기록 기준 1~20번 선택형, 21~23번은 서술형 3문항
- 난이도: 하 5 / 중 12 / 중상 6 / 상 0
- 배치 단원: 도함수의 활용 (3) 8 / 정적분 6 / 정적분의 활용 5 / 도함수의 활용 (2) 3 / 부정적분 1
- 세 번 나온 유형: 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(4·18·20번)
- 중상 6문항: 17~20번과 서술형 22·23번
※ 이 글은 서울 영등포구에 있는 영신고등학교 시험지 분석입니다. 대구 동구에도 같은 이름의 학교가 있으니 혼동하지 마세요.
서울 영신고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
2025학년 서울 영신고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 23문항입니다. 분석표의 정답 기록을 보면 1~20번은 선택형, 21~23번 세 문항은 서술형입니다.
배치 단원으로 묶으면 미분 파트 11문항(도함수의 활용 (2) 3 · (3) 8), 적분 파트 12문항(부정적분 1 · 정적분 6 · 정적분의 활용 5) 입니다. 미분과 적분이 거의 반반입니다. 도함수의 활용 (1)(접선·평균값 정리) 단원에 배치된 문항은 없습니다.
난이도 흐름은 번호 순서를 잘 따릅니다. 1~7번 중 다섯 문항이 하, 8~16번은 전부 중, 17~20번 네 문항이 연달아 중상입니다. 서술형은 21번이 중, 22·23번이 중상입니다.
2025학년 난이도 분포 — 상 0문항, 중 12문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 5 | 22% | 1·2·5·6·7 |
| 중 | 12 | 52% | 3·4·8~16·21 |
| 중상 | 6 | 26% | 17·18·19·20·22·23 |
| 상 | 0 | 0% | — |
상 난이도는 한 문항도 없습니다. 중 12문항이 절반을 넘고, 중상 6문항이 뒤에 몰려 있습니다. 앞쪽 하 다섯 문항을 빠르게 지나가고, 8~16번 중 구간에서 실수 없이 시간을 남기는 것이 17번 이후를 풀 여유를 만듭니다.
중상 6문항은 17~20번 선택형 넷과 22·23번 서술형 둘입니다. 시험 후반부 약 3분의 1이 중상이라는 뜻이니 시간 배분을 미리 정해 두세요.
출제 단원 — 도함수의 활용 (3) 8문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 06 도함수의 활용 (3) | 8 | 4·5·8·12·15·16·18·20 |
| 08 정적분 | 6 | 1·2·6·10·11·19 |
| 09 정적분의 활용 | 5 | 7·9·13·17·21 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 3 | 3·14·22 |
| 07 부정적분 | 1 | 23 |
도함수의 활용 (3)이 8문항(35%) 입니다. 방정식의 실근, 부등식이 항상 성립할 조건, 속도·가속도가 모두 이 단원에 들어 있습니다. 중상 문항 중 18·20번도 여기 있습니다.
부정적분은 1문항뿐이지만 마지막 23번 서술형(중상) 입니다. 문항 수가 적다고 넘기면 안 되는 단원입니다.
반복 유형 — 방정식 f(x)=k의 실근의 개수 3회
4번 중, 18번 중상, 20번 중상 세 문항이 방정식 f(x)=k의 실근의 개수를 다룹니다. 4번은 두 극값의 높이 조건으로 정수의 개수를 세는 문항이고, 18번은 절댓값이 있는 방정식이 네 실근을 갖는 조건, 20번은 함수의 증가와 감소를 함께 묻는 문항입니다.
그래프를 그리고 y=k를 위아래로 움직이며 교점 수가 바뀌는 높이(극댓값·극솟값)를 찾는 것이 세 문항의 공통 출발점입니다.
여기에 다음 유형들이 두 번씩 나왔습니다.
- 움직인 거리 — 9·21번
- 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우 — 10·19번
- 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건 — 12·16번
빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)
1. 도함수의 활용 (3) (4·5·8·12·15·16·18·20번) — 8문항
4번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 5번 하 속도·가속도와 운동 방향, 8번 중 속도, 12번 중 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건, 15번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 부호, 16번 중 모든 실수에서 부등식이 항상 성립할 조건, 18번 중상 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 20번 중상 함수의 증가와 감소 · 방정식 f(x)=k의 실근의 개수.
5번은 양의 방향으로 운동 방향이 바뀌는 시각, 8번은 두 점의 속도가 같아지는 시각과 그때의 거리를 묻습니다. 위치를 미분해 속도를 구하는 기본 절차입니다.
12번과 16번은 같은 유형입니다. 12번은 두 다항함수의 차가 항상 0 이상일 조건, 16번은 대칭이동한 사차함수가 들어간 부등식입니다. 두 문항 모두 차함수의 최솟값이 0 이상이라는 한 가지 원리로 정리됩니다.
15번은 양의 실근의 개수를 정수 범위별로 세어 합하는 문항입니다.
2. 정적분 (1·2·6·10·11·19번) — 6문항
1번 하 미적분의 기본정리, 2번 하 정적분의 계산(절댓값 기호를 포함한 함수), 6번 하 정적분을 포함한 등식(아래끝 또는 위끝에 변수), 10번 중 정적분을 포함한 등식(아래끝과 위끝이 상수), 11번 중 정적분을 포함한 등식(아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수), 19번 중상 정적분을 포함한 등식(아래끝과 위끝이 상수).
정적분을 포함한 등식이 6문항 중 4문항입니다. 형태별로 푸는 방법이 다릅니다.
- 위끝·아래끝이 상수 → 정적분 값을 상수로 놓고 연립 (10·19번)
- 위끝에 변수 → 위끝과 아래끝이 같아지는 값을 대입해 정적분을 0으로 만들기 (6번)
- 위끝과 피적분함수에 모두 변수 → 양변을 두 번 미분해 함수 복원 (11번)
19번 중상은 절댓값이 들어간 정적분이라 경우를 둘로 나눠 상수를 구해야 합니다.
3. 정적분의 활용 (7·9·13·17·21번) — 5문항
7번 하 곡선과 x축 사이의 넓이, 9번 중 움직인 거리, 13번 중 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이, 17번 중상 함수와 그 역함수의 정적분, 21번 중 움직인 거리(서술형).
9번은 속도의 부호가 바뀌는 점에서 구간을 나눠 거리를 더하는 문항입니다. 같은 유형인 21번 서술형은 위로 던진 물체의 최고 높이와 총 이동 거리를 (1)·(2) 두 소문항으로 묻습니다.
17번 중상은 역함수와 정사각형 영역을 이용하는 문항입니다. 역함수의 그래프가 y=x에 대칭이라는 점을 써서 넓이를 바꿔 계산합니다.
13번은 삼차곡선과 그 접선으로 둘러싸인 넓이입니다. 접선을 먼저 구하고 교점을 확정한 뒤 적분합니다.
4. 도함수의 활용 (2) (3·14·22번) — 3문항
3번 중 함수의 최대·최소(닫힌 구간 삼차함수), 14번 중 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 22번 중상 최대·최소의 활용; 부피(서술형).
22번 서술형은 뚜껑 있는 상자의 부피 최대를 묻습니다. 부피를 한 변수의 함수로 세우고 정의역을 밝힌 뒤 증감표로 최댓값을 확인하는 과정을 답안에 써야 합니다.
5. 부정적분 (23번) — 중상, 서술형
23번 중상 함수와 부정적분 사이의 관계식이 주어질 때 함수 구하기.
두 원시함수의 곱을 미분한 항등식이 조건으로 나옵니다. 곱의 미분법과 계수 비교를 함께 써야 하는 마지막 문항입니다.
주의 문항 — 중상 6문항
17번 중상 (함수와 그 역함수의 정적분) — 넓이를 직접 적분하지 않고 대칭으로 바꿔 계산해야 합니다.
18번 중상 (실근의 개수) — 절댓값 때문에 정의역을 나눠 그래프를 그려야 합니다.
19번 중상 (정적분을 포함한 등식) — 절댓값이 있어 두 경우로 나눠 상수를 정합니다.
20번 중상 (증가와 감소 · 실근의 개수) — 자연수 조건이 붙은 증감 판정과 실근 개수가 한 문항에 묶였습니다.
22번 중상 (부피의 최대, 서술형) — 식 세우기부터 정의역까지 서술이 필요합니다.
23번 중상 (부정적분 관계식, 서술형) — 시험의 마지막 문항입니다.
서울 영신고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서
- 미적분의 기본정리와 절댓값 정적분 — 1·2번. 확보 구간입니다.
- 속도와 운동 방향 — 5·8번.
- 곡선과 x축 사이의 넓이 — 7번.
- 닫힌 구간 최대·최소 — 3번.
- ★ 정적분을 포함한 등식 세 가지 형태 — 6·10·11·19번.
- 움직인 거리 — 9·21번.
- 극대·극소와 미정계수 — 14번.
- ★ 부등식이 항상 성립할 조건 — 12·16번. 차함수의 최솟값.
- ★ 실근의 개수와 부호 — 4·15·18·20번.
- 곡선과 접선 사이의 넓이 — 13번.
- 역함수와 정적분 — 17번.
- 부피의 최대(서술형) — 22번.
- 부정적분 관계식과 곱의 미분 — 23번.
자주 나오는 질문
서울 영신고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 23문항입니다. 정답 기록 기준 1~20번은 선택형, 21~23번은 서술형입니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도는 없습니다. 가장 어려운 구간은 중상 6문항(17·18·19·20·22·23번)입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 도함수의 활용 (3)이 8문항으로 가장 많습니다. 정적분 6문항, 정적분의 활용 5문항, 도함수의 활용 (2) 3문항, 부정적분 1문항입니다.
대구 영신고와 같은 학교인가요?
아닙니다. 이 글은 서울 영등포구의 영신고등학교 시험지입니다. 대구 동구에 있는 같은 이름의 학교와는 다른 학교입니다.
과년도 서울 영신고 기출도 볼 수 있나요?
내신판은 확보된 원문만 제공합니다. 찾는 시험지가 없으면 내신판에서 요청할 수 있습니다.
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