예일여고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

서울 은평구 예일여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 20문항입니다. 문항이 배치된 단원은 미분계수와 도함수 · 도함수의 활용 (2)·(3) · 부정적분 · 정적분 · 정적분의 활용입니다. 이 시험의 무게중심은 분명합니다. 도함수의 활용 (2)가 7문항이고, 중상 이상이 11문항으로 절반을 넘습니다.

핵심 요약

• 20문항 — 정답 기록 기준 1~13번은 ①~⑤ 번호, 14~20번 7문항은 숫자·식으로 기록
• 난이도: 하 2 / 중 7 / 중상 9 / 상 2
• 배치 단원: 도함수의 활용 (2) 7 / 정적분의 활용 4 / 도함수의 활용 (3) 4 / 정적분 3 / 미분계수와 도함수 1 / 부정적분 1
• 세 번 나온 유형: 함수의 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정(7·8·10번)
• 상 2문항: 11번(증가와 감소) · 13번(미분가능성)

예일여고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

2025학년 예일여고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 20문항입니다. 분석표의 정답 기록을 보면 1~13번은 ①~⑤ 번호로, 14~20번 일곱 문항은 숫자·식으로 적혀 있습니다. 15~17번은 소문항으로 나뉘어 있습니다.

배치 단원으로 묶으면 미분 파트 12문항(미분계수와 도함수 1 · 도함수의 활용 (2) 7 · (3) 4), 적분 파트 8문항(부정적분 1 · 정적분 3 · 정적분의 활용 4) 입니다. 미분 쪽이 60%로 더 무겁습니다. 도함수의 활용 (1)(접선·평균값 정리)에 배치된 문항은 없습니다.

선택형 구간(1~13번)이 특히 어렵습니다. 1번 하 다음 2~6번이 중이고, 7번부터 13번까지 일곱 문항이 전부 중상 또는 상입니다. 상 2문항(11·13번)도 모두 이 구간에 있습니다.

2025학년 난이도 분포 — 중상 이상 11문항

하는 1번과 15번 두 문항뿐입니다. 15번은 부정적분 계산 세 소문항이라 답을 쓰는 구간에서 가장 먼저 확보할 수 있습니다.

중상이 9문항으로 가장 많은 구간입니다. 7~13번, 그리고 17~20번이 모두 중상 이상이라, 시험 대부분의 시간을 이 열한 문항이 차지합니다. 2~6번 중 다섯 문항을 빠르게 처리하는 것이 중요합니다.

출제 단원 — 도함수의 활용 (2) 7문항

도함수의 활용 (2)가 7문항(35%) 입니다. 최대·최소, 극값을 갖지 않을 조건, 미정계수 결정, 증가와 감소, 사차함수의 극값까지 이 단원의 유형이 거의 다 나왔습니다. 그중 7·10·19번이 중상, 11번이 상입니다.

미분계수와 도함수 단원에서 1문항(13번) 이 나왔는데, 이 문항이 상 난이도입니다. 기말 범위라고 앞 단원을 비워 두면 안 됩니다.

반복 유형 — 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 3회

7·8·10번 세 문항이 모두 중상이고 같은 유형입니다.

• 7번 — 극값의 좌표로 삼차함수를 복원한 뒤 정적분까지 계산합니다.
• 8번 — 극값 조건으로 정수 a를 정하고, x≥0에서 부등식이 성립하도록 하는 b의 최솟값을 구합니다.
• 10번 — 대칭인 사차함수의 극값 조건으로 계수를 정하고 함숫값을 구합니다.

극값의 위치는 도함수의 근, 극값의 높이는 함숫값이라는 두 식이 세 문항의 출발점입니다. 여기에 적분이나 부등식이 한 단계씩 더 붙어 중상이 됩니다.

위치와 위치의 변화량도 4번(중)과 20번(중상)에서 두 번 나왔습니다.

빈출 유형 정리 (2025 기출 기준)

1. 도함수의 활용 (2) (1·2·3·7·10·11·19번) — 7문항

1번 하 함수의 최대·최소, 2번 중 삼차함수가 극값을 갖지 않을 조건, 3번 중 최대·최소의 활용, 7번 중상 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 10번 중상 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정, 11번 상 함수의 증가와 감소, 19번 중상 사차함수가 극댓값 또는 극솟값을 가질 조건.

1번은 사차함수의 양 끝점과 극점의 값을 비교하는 확보 문항입니다. 2번은 도함수의 판별식 조건으로 정수의 최댓값·최솟값을 구합니다.

3번은 직원 수에 따른 수익의 최대를 묻는 활용 문제입니다. 직원 수가 정수라서 미분으로 얻은 값 근처의 정수들을 비교해야 합니다.

11번 상은 구간마다 다르게 주어진 함수가 증가할 조건을 양쪽 구간에서 동시에 따지는 문항입니다. 허용되는 a의 범위를 구한 뒤 목적식의 양 끝값을 봐야 합니다.

19번은 사차함수가 극소를 갖도록 도함수가 서로 다른 세 근을 갖는 조건입니다. 이차식 판별식과 근이 겹치는 예외를 함께 따집니다.

2. 정적분의 활용 (4·5·17·20번) — 4문항

4번 중 위로 던진 물체의 위치와 속도 · 위치와 위치의 변화량, 5번 중 곡선과 직선 사이의 넓이, 17번 중상 두 곡선 사이의 넓이의 활용; 이등분, 20번 중상 위치와 위치의 변화량.

4번은 최고점에서 속도가 0이 되는 시각을 구하고 위치를 적분하는 문항입니다. 5번은 삼차곡선과 직선이 만드는 두 영역의 넓이입니다.

17번은 전체 넓이를 구한 뒤 넓이를 이등분하는 직선의 기울기를 찾는 서술형입니다. 20번은 두 방향의 위치를 각각 적분해 점이 직선을 지나는 조건을 세웁니다.

3. 도함수의 활용 (3) (6·8·12·18번) — 4문항

6번 중 방정식 f(x)=k의 실근의 개수, 8번 중상 미정계수의 결정 · 주어진 구간에서 부등식이 항상 성립할 조건, 12번 중상 속도·가속도와 운동 방향, 18번 중상 가속도.

6번은 사차방정식의 서로 다른 실근의 개수로, 중근을 따로 세지 않도록 주의해야 합니다. 12번은 운동 방향이 바뀌지 않을 조건을 계수로 따진 뒤 거리를 비교합니다. 18번은 두 점이 만나는 시각을 t≥0에서 골라 그때의 속도와 가속도를 구합니다.

4. 정적분 (9·14·16번) — 3문항

9번 중상 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소, 14번 중 정적분을 포함한 등식; 아래끝과 위끝이 상수인 경우, 16번 중 정적분의 계산; 적분 구간이 같은 경우.

9번은 정적분의 평균 형태 극한으로 계수를 구하고, 이어서 정적분으로 정의된 함수의 최솟값을 찾습니다. 14번은 정적분 값을 상수로 놓고 연립해 함수를 구합니다. 16번은 같은 구간과 이어진 구간의 정적분 성질을 소문항으로 묻습니다.

5. 미분계수와 도함수 (13번) — 상

13번 상 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성.

최솟값으로 정의된 함수가 미분 불가능한 점을 찾는 문항입니다. 구간의 경계에서 좌우 미분계수를 비교하고, 다른 점에서는 미분가능한지 하나씩 배제해야 합니다. 이 시험에서 가장 까다로운 문항 중 하나입니다.

6. 부정적분 (15번) — 하

15번 하 부정적분의 계산. 기본 공식으로 푸는 세 소문항입니다. 적분상수 C를 빠뜨리지 마세요.

주의 문항 — 상 2 · 중상 9

11번 상 (증가와 감소) — 두 구간 조건을 동시에 만족하는 범위를 구해야 합니다.

13번 상 (미분가능성) — 앞 단원 문항이지만 시험 최고 난도입니다.

7·8·10번 중상 (극값과 미정계수) — 연속 배치라 시간 관리가 필요합니다.

9번 중상 (정적분으로 정의된 함수의 최솟값) — 극한과 적분이 이어집니다.

12번 중상 (운동 방향) · 18번 중상 (가속도) — 운동 문항 두 개입니다.

17·19·20번 중상 — 넓이 이등분, 사차함수 극값 조건, 위치 적분 서술형입니다.

예일여고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 닫힌 구간 최대·최소 — 1번. 확보 구간입니다.
2. 부정적분 기본 공식 — 15번. 답 쓰는 구간 확보.
3. 극값을 갖지 않을 조건(판별식) — 2번.
4. 최대·최소 활용(정수 조건) — 3번.
5. 위로 던진 물체, 위치의 변화량 — 4·20번.
6. 곡선과 직선 사이 넓이 — 5번.
7. 사차방정식 실근의 개수 — 6번.
8. ★ 극대·극소와 미정계수 — 7·8·10번.
9. 정적분을 포함한 등식, 정적분 성질 — 14·16번.
10. 정적분으로 정의된 함수의 최솟값 — 9번.
11. ★ 구간별 함수의 증가 조건 — 11번.
12. 운동 방향과 가속도 — 12·18번.
13. ★ 구간별 함수의 미분가능성 — 13번.
14. 넓이의 이등분 — 17번.
15. 사차함수의 극값 조건 — 19번.

자주 나오는 질문

예일여고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 20문항입니다. 정답 기록 기준 1~13번은 ①~⑤ 번호, 14~20번은 숫자·식으로 기록돼 있습니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도가 2문항(11·13번) 있습니다. 중상도 9문항이라 7~13번 구간이 특히 어렵습니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 도함수의 활용 (2)가 7문항으로 가장 많습니다. 정적분의 활용·도함수의 활용 (3) 각 4문항, 정적분 3문항, 미분계수와 도함수·부정적분 각 1문항입니다.

1학기 단원도 나왔나요?

미분계수와 도함수 단원에서 13번 1문항이 나왔고, 상 난이도입니다. 구간별로 정의된 함수의 미분가능성을 다시 정리해 두세요.

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