서울 중랑구 면목고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)

서울 중랑구 면목고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 21문항입니다. 배치 단원은 05 도함수의 활용 (2)부터 09 정적분의 활용까지 다섯 단원이고, 적분 파트가 13문항으로 미분 파트(8문항)보다 많습니다. 중 난이도가 13문항으로 절반이 넘고, 상 난이도는 17번 한 문항입니다.

핵심 요약

• 21문항. 정답 기록 기준 1~19번 선택형, 20·21번 서술형 2문항
• 난이도: 하 3 / 중 13 / 중상 4 / 상 1
• 배치 단원: 08 정적분 6 / 05 도함수의 활용 (2) 5 / 09 정적분의 활용 5 / 06 도함수의 활용 (3) 3 / 07 부정적분 2
• 눈에 띄는 묶음: 넓이 네 문항(8·11·12·18번), 운동 문항 세 개(3·6·7번)
• 상 난이도: 17번 (두 그래프의 교점의 개수)

면목고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가

면목고등학교는 서울 중랑구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 21문항이고, 정답 기록 기준 1~19번이 선택형, 20·21번 두 문항이 서술형입니다.

미분 파트(05·06 단원)는 8문항, 적분 파트(07·08·09 단원)는 13문항입니다. 서술형 두 문항은 모두 08 정적분에서 나왔습니다.

시험 범위 라벨은 '함수의 연속'부터 시작하지만, 함수의 연속 단원으로 배치된 문항은 없습니다. 19번이 정적분 문항이면서 함수가 연속일 조건을 함께 쓰는 정도입니다. 04 도함수의 활용 (1)로 배치된 문항도 0개입니다.

2025학년 난이도 분포 — 중 13문항

하 3문항이 1·2·5번, 모두 앞쪽에 있습니다. 부정적분과 정적분 기본 계산이라 반드시 챙겨야 하는 구간입니다.

3~14번 열두 문항 가운데 하 난이도인 5번을 빼면 모두 중입니다. 중간 구간이 길게 이어지니 여기서 시간을 아껴야 15번 이후를 풀 수 있습니다. 15~17번은 중상·중상·상이 연달아 나오는 구간입니다.

출제 단원 — 08 정적분 6문항

08 정적분 6문항이 가장 많고, 서술형 20·21번도 여기에 있습니다. 05 도함수의 활용 (2)는 5문항 중 15·16번 두 문항이 중상입니다.

시그니처 — 넓이 네 문항과 운동 세 문항

같은 유형이 두 번 나온 경우는 없지만, 넓이를 구하는 문항이 네 개 있습니다.

• 8번 중 두 곡선 사이의 넓이의 활용, 넓이의 최솟값
• 11번 중 함수와 역함수의 그래프의 y=x 대칭을 이용한 넓이
• 12번 중 두 곡선 사이의 넓이(주기함수로 두 곡선의 넓이 계산)
• 18번 중 두 도형의 넓이가 같을 조건

네 문항 모두 중 난이도입니다. 교점을 구하고 위아래를 정해 적분하는 기본 흐름에, 최솟값·대칭·주기·넓이가 같을 조건이 하나씩 얹힌 구조입니다.

운동 문항도 세 개입니다. 3번은 위로 던진 물체의 위치와 속도, 6번은 속도·가속도와 운동 방향, 7번은 그래프에서의 위치와 움직인 거리입니다. 3·6번은 미분으로, 7번은 적분으로 푸는 문항이라 위치·속도·가속도를 미분과 적분 양쪽으로 오가는 연습이 필요합니다.

빈출 유형 정리 (2025학년 기출 기준)

1. 정적분 (2·13·14·19·20·21번) — 6문항

2번 하 우함수·기함수의 정적분(대칭 구간에서 정적분을 계산), 13번 중 정적분을 포함한 등식, 아래끝과 위끝이 상수인 경우(정적분 조건의 이차함수를 복원), 14번 중 정적분의 계산, 절댓값 기호를 포함한 함수(적분 방향과 절댓값 등호 조건), 19번 중상 함수가 연속일 조건 · 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 정적분, 20번 중상 서술형 정적분을 포함한 등식, 아래끝 또는 위끝에 변수가 있는 경우(적분 항등식과 적분 함수 극한), 21번 중 서술형 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소(원시함수 극값과 절댓값 적분).

19번은 곱의 연속 조건과 교점이 하나라는 조건으로 함수를 확정한 뒤, 구간별로 정의된 함수의 정적분을 최대로 만드는 문항입니다. 범위 라벨의 '함수의 연속'이 실제로 쓰이는 곳이 이 문항입니다.

20번 서술형은 적분이 들어간 항등식을 미분해 도함수를 구하는 것이 출발점이고, 마지막에 적분 함수의 극한을 계산합니다.

2. 도함수의 활용 (2) (4·9·10·15·16번) — 5문항

4번 중 도함수의 그래프를 이용한 함수의 극대·극소(도함수 부호로 증감과 극값 판정), 9번 중 최대·최소의 활용, 부피(내접 원기둥의 부피를 최대화), 10번 중 삼차함수가 주어진 구간에서 극값을 가질 조건(도함수 두 근의 구간 조건과 정수), 15번 중상 함수의 최대·최소(누적 최소 함수의 값 교체를 판정), 16번 중상 사차함수가 극댓값 또는 극솟값을 가질 조건(사차 극소와 도함수 근의 제약).

9번은 닮음으로 부피를 한 변수의 식으로 만들고 미분해 최대를 찾는 순서입니다.

16번은 도함수의 단순근과 중근이 극값에 어떤 역할을 하는지 구분해야 풀립니다.

3. 정적분의 활용 (7·8·11·12·18번) — 5문항

7번 중 그래프에서의 위치와 움직인 거리(속도 그래프의 적분으로 위치 계산), 8번 중 넓이의 최솟값, 11번 중 역함수의 y=x 대칭을 이용한 넓이, 12번 중 두 곡선 사이의 넓이, 18번 중 두 도형의 넓이가 같을 조건(두 넓이 조건과 극값의 차 계산).

7번은 속도 그래프의 넓이가 위치의 변화량이라는 점을 그대로 씁니다.

11번은 함수와 역함수가 y=x에 대칭이라는 성질로 두 영역의 넓이를 연결합니다.

4. 도함수의 활용 (3) (3·6·17번) — 3문항

3번 중 위로 던진 물체의 위치와 속도(낙하 시각에서 순간속도 계산), 6번 중 속도·가속도와 운동 방향(방향 전환에서 계수와 가속도 결정), 17번 상 두 그래프의 교점의 개수(두 함수 중 큰 값의 교점 수를 판정).

6번은 운동 방향이 바뀌는 순간 속도가 0이라는 조건으로 계수를 정하고 가속도를 구합니다.

5. 부정적분 (1·5번) — 2문항, 모두 하

1번 하 도함수가 주어질 때 함수 구하기(도함수와 초기값으로 함수 복원), 5번 하 부정적분과 미분의 관계(부정적분 항등식 미분으로 함숫값).

하 3문항 중 두 개가 여기 있습니다. 시험 시작 구간에서 점수를 확보하는 문항입니다.

주의 문항 — 상 1문항, 중상 4문항

17번 상 (두 그래프의 교점의 개수) — 두 함수 중 큰 값으로 만든 그래프의 모양을 먼저 파악하고, 기울기 부호에 따라 경우를 나눠 교점 수를 따집니다. 이 시험에서 가장 단계가 많은 문항입니다.

15번 중상 (함수의 최대·최소) — 극점과 누적 최솟값을 따져 값이 바뀌는 지점을 찾는 문항입니다.

16번 중상 (사차함수의 극값 조건) — 도함수 근의 구조를 따져야 합니다.

19번 중상 (연속 조건과 구간별 정적분) — 함수를 확정하는 단계와 정적분을 최대로 만드는 단계가 이어집니다.

20번 중상 서술형 (변수가 있는 정적분 등식) — 서술형이라 미분하는 과정까지 써야 합니다.

중상·상 5문항 중 15·16·17번이 연달아 있습니다. 앞 구간에서 시간을 남겨 두는 것이 중요합니다.

면목고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서

1. 부정적분과 미분의 관계, 도함수로 함수 구하기 — 1·5번 대비. 확보 구간.
2. 우함수·기함수의 정적분 — 2번 대비.
3. 위로 던진 물체, 속도·가속도와 운동 방향 — 3·6번 대비.
4. 도함수 그래프로 극대·극소 판정 — 4번 대비.
5. 최대·최소의 활용(부피) — 9번 대비.
6. 삼차함수가 구간에서 극값을 가질 조건 — 10번 대비.
7. ★ 넓이 네 유형(최솟값·역함수 대칭·두 곡선·넓이가 같을 조건) — 8·11·12·18번 대비.
8. 속도 그래프와 위치·움직인 거리 — 7번 대비.
9. 정적분을 포함한 등식(상수·변수) — 13·20번 대비.
10. 절댓값이 있는 함수의 정적분 — 14번 대비.
11. 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 — 21번 대비.
12. 연속 조건과 구간별 함수의 정적분 — 19번 대비.
13. 사차함수의 극값 조건, 구간별 최솟값 — 15·16번 대비.
14. 두 그래프의 교점의 개수 — 17번 대비. 마지막에 도전.

자주 나오는 질문

면목고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?

2025학년 기준 21문항입니다. 정답 기록 기준 1~19번은 선택형, 20·21번 두 문항은 서술형입니다.

어느 단원이 가장 많이 나오나요?

배치 단원 기준 08 정적분이 6문항으로 가장 많습니다. 05 도함수의 활용 (2)와 09 정적분의 활용이 각 5문항, 06 도함수의 활용 (3) 3문항, 07 부정적분 2문항입니다.

함수의 연속 단원은 나왔나요?

함수의 연속으로 배치된 문항은 없습니다. 19번 정적분 문항에 함수가 연속일 조건이 함께 들어 있습니다.

킬러 문항이 있나요?

상 난이도는 17번 한 문항입니다. 중상은 15·16·19·20번 네 문항이고, 20번은 서술형입니다.

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