중앙고(서울 종로구) 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ 기출 분석 (2025학년)
서울 종로구 중앙고 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 2025학년 기준 총 18문항입니다. 문항 수는 적지만 상 난이도가 6문항으로 세 문항 중 하나가 상입니다. 특히 9~12번 네 문항이 연달아 상이고, 서술형에도 상 두 문항(14·15번)이 있습니다.
핵심 요약
- 18문항. 정답 기록 기준 1~13번 선택형, 14~18번 서술형 5문항
- 난이도: 하 5 / 중 3 / 중상 4 / 상 6
- 배치 단원: 08 정적분 6 / 05 도함수의 활용 (2) 5 / 06 도함수의 활용 (3) 3 / 09 정적분의 활용 2 / 04 도함수의 활용 (1) 1 / 03 미분계수와 도함수 1
- 07 부정적분으로 배치된 문항은 0개
- 상 난이도: 9·10·11·12·14·15번
중앙고 고2 2학기 기말은 어떤 시험인가
중앙고등학교는 서울 종로구에 있는 고등학교입니다. 2025학년 2학년 2학기 기말고사 수학Ⅱ는 총 18문항이고, 정답 기록 기준 1~13번이 선택형, 14~18번 다섯 문항이 서술형입니다.
범위 라벨은 '도함수의 활용'부터 '정적분의 활용'까지입니다. 실제 배치를 보면 07 부정적분 단원 문항은 없고, 범위 라벨 앞 단원인 03 미분계수와 도함수로 배치된 서술형 15번이 한 문항 있습니다.
미분 파트(03·04·05·06 단원)는 10문항, 적분 파트(08·09 단원)는 8문항입니다.
2025학년 난이도 분포 — 상 6문항
| 난이도 | 문항 수 | 비중 | 문항 번호 |
|---|---|---|---|
| 하 | 5 | 28% | 1·2·3·4·18 |
| 중 | 3 | 17% | 5·6·17 |
| 중상 | 4 | 22% | 7·8·13·16 |
| 상 | 6 | 33% | 9·10·11·12·14·15 |
중 난이도가 3문항뿐입니다. 하 5문항과 상 6문항이 양 끝에 몰린 구조입니다.
1~4번 네 문항이 하, 5·6번이 중이고, 7번부터 13번까지는 중상과 상만 나옵니다. 선택형 앞 여섯 문항을 얼마나 빨리 끝내느냐가 뒷부분 시간을 정합니다.
서술형 다섯 문항은 14·15번 상, 16번 중상, 17번 중, 18번 하입니다. 17·18번은 서술형 중에서도 확보해야 하는 문항입니다.
출제 단원 — 08 정적분 6문항
| 배치 단원 | 문항 수 | 문항 번호 |
|---|---|---|
| 08 정적분 | 6 | 1·7·10·11·14·18 |
| 05 도함수의 활용 (2) | 5 | 3·6·12·13·17 |
| 06 도함수의 활용 (3) | 3 | 4·9·16 |
| 09 정적분의 활용 | 2 | 5·8 |
| 04 도함수의 활용 (1) | 1 | 2 |
| 03 미분계수와 도함수 | 1 | 15 |
08 정적분 6문항 중 세 문항(10·11·14번)이 상입니다. 정적분 단원이 이 시험의 난도를 가장 많이 끌어올립니다.
05 도함수의 활용 (2) 5문항은 하 1(3번), 중 2(6·17번), 중상 1(13번), 상 1(12번)로 난이도가 고르게 퍼져 있습니다.
시그니처 — 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소
정적분으로 정의된 함수의 최대·최소가 10번(상)과 서술형 14번(상) 두 번 나왔습니다.
- 10번 상 원시함수 두 치역의 포함 조건
- 14번 상 서술형 반직선에서의 최소 조건
두 문항 모두 정적분으로 정의된 함수의 값 범위를 따지는 상 난이도입니다. 10번은 치역끼리의 포함 관계로, 14번은 절댓값 최소 조건과 사차함수의 근 구조로 풀어 갑니다.
또 미정계수를 정하는 문항이 세 개(11·12·13번) 연달아 있습니다. 11번은 극대·극소, 12·13번은 최대·최소를 이용해 계수를 정합니다.
빈출 유형 정리 (2025학년 기출 기준)
1. 정적분 (1·7·10·11·14·18번) — 6문항
1번 하 정적분의 계산, 적분 구간이 같은 경우(원시함수로 정적분 계산), 7번 중상 정적분을 포함한 등식, 아래끝 또는 위끝과 피적분함수에 변수가 있는 경우(고정 정적분과 가중 적분 극한), 10번 상 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소, 11번 상 극대·극소를 이용한 미정계수의 결정 · 정적분의 계산(극소 조건으로 사차 형태 결정, 절댓값 다항식 정적분 계수), 14번 상 서술형 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소, 18번 하 서술형 미적분의 기본정리(홀함수와 정적분 기본정리).
11번은 절댓값이 붙은 다항식이 미분가능하다는 조건에서 근의 중복도를 따지고, 극소 조건으로 사차함수의 꼴을 정한 뒤 정적분을 계산합니다.
18번 서술형은 하 난이도입니다. 홀함수의 성질과 미적분의 기본정리를 쓰는 문항으로, 서술형에서 반드시 챙길 점수입니다.
2. 도함수의 활용 (2) (3·6·12·13·17번) — 5문항
3번 하 함수의 최대·최소(사차함수 전역 최솟점 비교), 6번 중 접선의 방정식 · 함수의 최대·최소(접선으로 절편 함수 구성, 양의 구간 절편 함수 최솟값), 12번 상 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정(구간 최댓값의 대칭과 미분 불능), 13번 중상 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 미분가능성 · 최대·최소를 이용한 미정계수의 결정(조각 함수 접속 미분 조건, 삼차함수 최댓값으로 결정), 17번 중 서술형 도함수의 그래프를 이용한 함수의 극대·극소(도함수 그래프와 극값으로 복원).
6번은 접선의 절편을 함수로 놓고 양의 구간에서 그 최솟값을 구하는 문항입니다.
17번 서술형은 도함수 그림에서 삼차 계수를 읽고, 극댓값·극솟값으로 연립해 함수를 복원합니다.
3. 도함수의 활용 (3) (4·9·16번) — 3문항
4번 하 속도·가속도와 운동 방향(속도 단근에서 첫 방향 전환 위치), 9번 상 개수 세기형 계단함수의 극한 · 방정식 f(x)=k의 실근의 개수(실근 개수의 계단함수 극한, 절댓값 방정식의 실근 수), 16번 중상 서술형 삼차방정식의 근의 판별(세 실근 경계 접선과 최소 정수).
9번은 실근의 개수를 함수로 놓고 그 좌우 극한을 구합니다. 극값의 높이와 절댓값 방정식의 실근 수를 먼저 정리해야 합니다.
16번 서술형은 원점에서 그은 접선이 중근의 경계가 된다는 점을 쓰고, 기울기에 따라 세 실근 조건을 나눕니다.
4. 정적분의 활용 (5·8번) — 2문항
5번 중 함수와 그 역함수의 정적분(증가 역함수의 교점과 정적분), 8번 중상 속도·가속도와 운동 방향 · 움직인 거리(운동 방향 불변의 계수 경계, 비음 속도로 이동 거리 최대).
8번은 운동 방향이 바뀌지 않을 조건으로 계수의 경계를 정한 뒤, 이동 거리가 최대가 되는 경우를 찾습니다.
5. 접선의 기울기·미분계수 (2·15번) — 2문항
2번 하 접선의 기울기(접점에서 접선 기울기 계산), 15번 상 서술형 다항함수의 결정 · 미분계수를 이용한 미정계수의 결정(극한 영점으로 삼차 구조 결정, 미분계수로 미정계수 결정).
15번 서술형은 극한식의 분모가 0이 되는 점을 따져 삼차함수의 구조를 정하고, 미분계수로 계수를 연립합니다.
주의 문항 — 상 6문항, 중상 4문항
9번 상 (실근 개수의 계단함수 극한) — 선택형 상 네 문항의 시작입니다.
10번 상 (정적분으로 정의된 함수의 최대·최소) — 치역의 포함 조건으로 바꾸는 발상이 필요합니다.
11번 상 (극소 조건과 정적분 계수) — 미분가능성, 극소 조건, 정적분 계산이 이어집니다.
12번 상 (구간 최댓값과 미분 불능) — 사차함수의 구조와 끝점이 바뀌는 지점을 함께 봐야 합니다.
14번 상 서술형 (정적분으로 정의된 함수의 최소 조건) 과 15번 상 서술형 (다항함수의 결정) — 서술형 첫 두 문항이 모두 상입니다.
중상 4문항은 7·8·13번(선택형)과 16번(서술형) 입니다. 7번 이후로는 중 난이도가 선택형에 없다는 점을 기억하고 시간 배분을 정하세요.
중앙고 고2 2학기 기말 대비 학습 순서
- 정적분 기본 계산, 미적분의 기본정리 — 1·18번 대비. 확보 구간.
- 접선의 기울기, 사차함수의 최솟값 — 2·3번 대비.
- 속도·가속도와 운동 방향 — 4번 대비.
- 역함수의 정적분 — 5번 대비.
- 접선의 절편과 최솟값 — 6번 대비.
- 도함수 그래프로 함수 복원 — 17번 서술형 대비.
- 정적분을 포함한 등식(변수) — 7번 대비.
- 운동 방향과 움직인 거리 — 8번 대비.
- 삼차방정식의 근의 판별 — 16번 서술형 대비.
- 구간별 함수의 미분가능성 — 13번 대비.
- ★ 미정계수의 결정(극대·극소, 최대·최소) — 11·12·13번 대비.
- ★ 정적분으로 정의된 함수의 최대·최소 — 10·14번 대비.
- 실근 개수 함수의 극한 — 9번 대비.
- 극한과 미분계수로 다항함수 결정 — 15번 서술형 대비.
자주 나오는 질문
중앙고 2학년 2학기 기말 수학Ⅱ는 몇 문항인가요?
2025학년 기준 18문항입니다. 정답 기록 기준 1~13번은 선택형, 14~18번 다섯 문항은 서술형입니다.
어느 단원이 가장 많이 나오나요?
배치 단원 기준 08 정적분이 6문항으로 가장 많습니다. 05 도함수의 활용 (2) 5문항, 06 도함수의 활용 (3) 3문항, 09 정적분의 활용 2문항, 04 도함수의 활용 (1)과 03 미분계수와 도함수가 각 1문항입니다. 07 부정적분 배치 문항은 없습니다.
킬러 문항이 있나요?
상 난이도가 6문항(9·10·11·12·14·15번) 입니다. 선택형 9~12번이 연달아 상이고, 서술형 14·15번도 상입니다.
쉬운 문항은 몇 개인가요?
하 난이도는 1·2·3·4·18번 다섯 문항입니다. 중 3문항(5·6·17번)까지 합치면 8문항이 기본 점수 구간입니다.
과년도 중앙고 기출도 볼 수 있나요?
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